Cette thèse est consacrée au problème d’évolution des théories de gravité modifiée : après avoir rappelé ce qu’il en est pour la Relativité Générale (RG), nous exposons le formalisme n + 1 des théories ƒ(R), Brans-Dicke et tenseur-scalaire et redémontrons un résultat connu : le problème de Cauchy est bien posé pour ces théories, et les équations de contrainte se réduisent à celles de la RG avec un champ de matière. Puis nous effectuons la même décomposition n + 1 pour les théories de Lovelock et, ce qui est nouveau, ƒ(Lovelock). Nous étudions ensuite les équations de contrainte des théories de Lovelock et montrons qu’elles sont, dans le cas conformément plat et symétrique en temps, la prescription d’une somme de σk-courbures. Afin de résoudre cette équation de prescription, nous introduisons une nouvelle famille de polynômes semi-symétriques homogènes et développons des résultats de concavité pour ces polynômes. Nous énonçons une conjecture qui, si elle était avérée, nous permettrait de résoudre l’équation de prescription dans de nombreux cas : ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P et Q sont scindés => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) est scindé / This thesis is devoted to the evolution problem for modified gravity theories. After having explained this problem for General Relativity (GR), we present the n + 1 formalism for ƒ(R) theories, Brans-Dicke and scalar-tensor theories. We recall a known result: the Cauchy problem for these theories is well-posed, and the constraint equations are reduced to those of GR with a matter field. Then we proceed to the same n+1 decomposition for Lovelock and ƒ(Lovelock) theories, the latter being an original result. We show that in the locally conformally flat timesymmetric case, they can be written as the prescription of a sum of σk-curvatures. In order to solve the prescription equation, we introduce a new family of homogeneous semisymmetric polynomials and prove some concavity results for those polynomials. We express the following conjecture: if this is true, we are able to solve the prescription equation in many cases. ∀ P;Q ∈ ℝ[X], avec deg P = deg Q = p, P and Q are real-rooted => p ∑ k=0 P(k) Q(p-k) is real-rooted:

Nous étudions l’analyse asymptotique en relativité générale sous deux aspects: le peeling et le scattering (diffusion) conforme. Le peeling est construit pour les champs scalaires linéaire et non-linéaires et pour les champs de Dirac en espace-temps de Kerr (qui est non-stationnaire et à symétrie simplement axiale), généralisant les travaux de L. Mason et J-P. Nicolas (2009, 2012). La méthode des champs de vecteurs (estimations d’énergie géométriques) et la technique de compactification conforme sont développées. Elles nous permettent de formuler les définitions du peeling à tous ordres et d’obtenir les données initiales optimales qui assurent ces comportements. Une théorie de la diffusion conforme pour les équations de champs sans masse de spîn n/2 dans l’espace-temps de Minkowski est construite.En effectuant les compactifications conformes (complète et partielle), l’espace-temps est complété en ajoutant une frontière constituée de deux hypersurfaces isotropes représentant respectivement les points limites passés et futurs des géodésiques de type lumière. Le comportement asymptotique des champs s’obtient en résolvant le problème de Cauchy pour l’équation rééchelonnée et en considérant les traces des solutions sur ces bords. L’inversibilité des opérateurs de trace, qui associent le comportement asymptotique passé ou futur aux données initiales, s’obtient en résolvant le problème de Goursat sur le bord conforme. L’opérateur de diffusion conforme est alors obtenu par composition de l’opérateur de trace futur avec l’inverse de l’opérateur de trace passé. / This work explores two aspects of asymptotic analysis in general relativity: peeling and conformal scattering.On the one hand, the peeling is constructed for linear and nonlinear scalar fields as well as Dirac fields on Kerr spacetime, which is non-stationary and merely axially symmetric. This generalizes the work of L. Mason and J-P. Nicolas (2009, 2012). The vector field method (geometric energy estimates) and the conformal technique are developed. They allow us to formulate the definition of the peeling at all orders and to obtain the optimal space of initial data which guarantees these behaviours. On the other hand, a conformal scattering theory for the spin-n/2 zero rest-mass equations on Minkowski spacetime is constructed. Using the conformal compactifications (full and partial), the spacetime is completed with two null hypersurfaces representing respectively the past and future end points of null geodesics. The asymptotic behaviour of fields is then obtained by solving the Cauchy problem for the rescaled equation and considering the traces of the solutions on these hypersurfaces. The invertibility of the trace operators, that to the initial data associate the future or past asymptotic behaviours, is obtained by solving the Goursat problem on the conformal boundary. The conformal scattering operator is then obtained by composing the future trace operator with the inverse of the past trace operator.

Le problème des singularités en relativité générale remonte à la première solution exacte de la théorie obtenue en 1915, à savoir celle du trou noir de Schwarzschild. Qu'elles soient de coordonnée ou de courbure, ces singularités ont longtemps questionné les physiciens qui parvinrent à mieux les caractériser à la fin des années 1960. Cela conduisit aux fameux théorèmes sur les singularités, s'appliquant à la fois aux trous noirs et en cosmologie, basés sur un comportement classique du contenu en matière de l'espace-temps résumé par des conditions d'énergie. La violation de ces conditions dans les processus quantiques pourrait indiquer que les singularités doivent être vues comme des limitations de la relativité générale, pouvant ainsi disparaître dans une théorie plus générale de la gravité quantique.Dans l'attente d'une telle théorie, nous avons pour objectif dans cette thèse d'étudier les espaces-temps de trous noirs dépourvus de toute singularité ainsi que leurs conséquences observationnelles. A cette fin, nous considérons à la fois des modifications de la relativité générale et le couplage de la théorie à des contenus en matière exotiques. Dans le premier cas nous montrons qu'il est possible de retrouver des trous noirs réguliers à symétrie sphérique connus, tout d'abord en principe avec la théorie tenseur-scalaire de gravité mimétique, puis implicitement par le biais d'une déformation de la contrainte hamiltonienne en relativité générale inspirée des techniques de gravitation quantique à boucles. Dans le second cas nous restons dans le cadre de la relativité générale, et considérons des tenseurs énergie-impulsion effectifs. Ils sont en premier lieu associés à un modèle régulier à la Hayward en rotation fournissant dans un certain régime un premier exemple de trou noir en rotation exempt de toute singularité, puis à un espace-temps dynamique décrivant la formation et l'évaporation d'un trou noir sans singularité. Pour ce dernier, nous montrons que tout modèle basé sur l'effondrement gravitationnel de coquilles de genre lumière visant à décrire l'évaporation de Hawking est voué à violer les conditions sur l'énergie dans une région non compacte de l'espace-temps. Enfin, l'étude théorique de la métrique de Hayward en rotation est accompagnée de simulations numériques d'un tel objet au centre de la Voie Lactée, obtenues à l'aide du code de calcul de trajectoires de particules Gyoto en reproduisant les propriétés connues de la structure d'accrétion du trou noir présumé Sgr A*. Ces simulations permettent d'illustrer deux régimes très différents de la métrique, avec ou sans horizon, et soulignent la difficulté d'affirmer avec certitude la présence d'un horizon à partir d'images en champ fort telles que celles obtenues par l'instrument Event Horizon Telescope. / The issue of singularities in General Relativity dates back to the very first solution to the equations of the theory, namely Schwarzschild's 1915 black hole. Whether they be of coordinate or curvature nature, these singularities have long puzzled physicists, who managed to better characterize them in the late 60's. This led to the famous singularity theorems applying both to cosmology and black holes, and which assume a classical behaviour of the matter content of spacetime summarized in the so-called energy conditions. The violation of these conditions by quantum phenomena supports the idea that singularities are to be seen as a limitation of General Relativity, and would be cured in a more general theory of quantum gravity. In this thesis, pending for such a theory, we aim at investigating black hole spacetimes deprived of any singularity as well as their observational consequences. To that purpose, we consider both modifications of General Relativity and the coupling of Einstein's theory to exotic matter contents. In the first case, we show that one can recover the static spherically symmetric non-singular black holes of Bardeen and Hayward in principle in mimetic gravity, and implicitly by a deformation of General Relativity's hamiltonian constraint in an approach based on loop quantum gravity techniques. In the second case, we stay inside the framework of General Relativity and consider effective energy-momentum tensors associated with a fully regular rotating Hayward metric and with a dynamical spacetime describing the formation and evaporation of a non-singular black hole. For the latter, we show that all models based on the collapse of ingoing null shells and willing to describe Hawking’s evaporation are doomed to violate the energy conditions in a non-compact region of spacetime. Lastly, the theoretical study of the rotating Hayward metric comes with numerical simulations of such an object at the center of the Milky Way, using the ray-tracing code Gyoto and mimicking the known properties of the accretion structure of Sgr A*. These simulations allow exhibiting the two very different regimes of the metric, with or without horizon, and emphasize the difficulty of asserting the presence of a horizon from strong-field images as the ones provided by the Event Horizon Telescope.

L'existence de la masse négative a un sens parfaitement physique du moment que les conditions d'énergie dominante sont satisfaites par le tenseur énergie-impulsion correspondant. Jusqu'à maintenant, seules des configurations de masses négatives avaient été trouvées. On démontre l'existence de bulles de masse négative stables dans un espace-temps qui s'approche asymptotiquement d'un espace-temps de de Sitter. Les bulles sont des solutions aux équations d'Einstein qui correspondent à une région intérieure qui contient une distribution de masse spécifique séparée par une coquille mince de l'espace-temps à masse négative de Schwarzschild-de Sitter à l'extérieur. Ensuite, on applique les conditions de jonction d'Israel à la frontière de la bulle ce qui impose la conservation d'énergie-impulsion à travers la surface. Les conditions de jonction donnent une équation pour un potentiel pour le rayon de la bulle qui dépend de la distribution de masse à l'intérieur, ou vice versa. Finalement, on trouve un potentiel qui aboutit à une solution stable, statique et non-singulière, ce qui crée une distribution de masse interne qui satisfait les conditions d'énergie dominante partout à l'intérieur. Cependant, la bulle ne satisfait pas ces conditions. De plus, on trouve une solution stable, statique et non-singulière pour une géométrie interne de de Sitter pure. La solution est fondamentalement différente: elle requiert que la densité d'énergie de la bulle change avec le rayon. La condition d'énergie dominante est satisfaite partout. / Negative mass makes perfect physical sense as long as the dominant energy condition is satisfied by the corresponding energy-momentum tensor. Until now, only configurations of negative mass have been found. We demonstrate the existence of stable, negative-mass bubbles in an asymptotic de Sitter space-time. The bubbles are solutions of the Einstein equations which correspond to an interior region of space-time containing a specific distribution of mass separated by a thin wall from the exact, negative mass Schwarzschild-de Sitter space-time in the exterior. Then, we apply the Israel junction conditions at the wall which impose the conservation of energy and momentum across the wall. The junction conditions give rise to an effective potential for the radius of the wall that depends on the interior mass distribution, or vice versa. Finally, we find a potential that gives rise to stable, non-singular, static solutions, which yields an interior mass distribution that everywhere satisfies the dominant energy condition. However, the energy momentum of the wall does not satisfy the dominant energy condition. Moreover, we find a stable, non-singular, static solution for a pure de Sitter geometry inside the bubble. The solution is fundamentally different: the energy density of the bubble is no longer a constant, but now varies with the radius. The dominant energy condition is everywhere satisfied.

Cette thèse est consacrée à l'étude des oscillations périodiques détectées lors des sursauts X des étoiles à neutrons, dans des binaires X de faible masse. Ces oscillations offrent un moyen de sonder l'intérieur de ces objets, en mesurant notamment leur masse et leur rayon, pour ainsi contraindre l'équation d'état de la matière dense. J'ai développé des méthodes de détection et d'analyse de ces signaux, de leurs propriétés temporelles et leur dépendance en énergie. J'ai analysé les oscillations détectées dans tous les sursauts X de type 1 (ainsi qu'un super-sursaut) de 3 étoiles à neutrons observées avec l'instrument Rossi X-ray Timing Explorer/Proportional Counter Array . Sur les courbes de lumière des sursauts, j'ai sélectionné les segments donnant la meilleure signification statistique, pour construire un catalogue de profils moyens d'oscillations. La forme des profils varie grandement d'un sursaut à un autre, pour une même source. Un grand nombre de paramètres peuvent affecter les oscillations. J'ai élaboré un modèle de tache chaude à la surface de l'étoile en rotation rapide pour caractériser l'émission du sursaut X, dans un espace-temps relativiste. En utilisant les chaînes de Markov Monte Carlo pour explorer efficacement un espace des paramètres conséquent, les ajustements sur un échantillon de sursauts ont démontré l'applicabilité du modèle. Par contre, les contraintes obtenues sur la masse et le rayon de l'étoile sont limitées par la qualité des données de l'instrument utilisé. Enfin, des simulations révèlent que des mesures précises sur les paramètres sont possibles en augmentant la surface collectrice des détecteurs, comme le proposent les observatoires X du futur.