Dans un local de mesure, les réflexions sur les parois échos) peuvent s'avérer gênantes. Comme les performances des matériaux absorbants actuels sont réduites aux basses fréquences, le contrôle actif en temps réel des échos à basse fréquence est l'objet d'études au LMA depuis plusieurs années. La principale difficulté rencontrée dans la mise en œuvre de ce contrôle réside dans l'estimation de ces échos, grandeurs non directement mesurables à l'aide d'un capteur. L'objectif de ce travail de thèse a donc été de trouver une méthode d'estimation. Le dispositif envisagé repose sur la discrétisation d'une surface fermée sur laquelle sont disposés des microphones de pression. Des « filtres d'échos », qui relient les signaux de pression sur la surface de microphone aux échos dans le local, sont identifiés in situ en utilisant un protocole expérimental spécifique ou, dans des cas de géométries et de conditions aux limites simples, via un modèle numérique. Les expériences menées dans une maquette de 2×1.1×1.2 m3 munie de 32 microphones ont ainsi montré qu'il était possible d'estimer raisonnablement les échos dans une cavité réfléchissante ou partiellement absorbante, jusqu'à une fréquence d'environ 350 Hz.

La diffraction d'une onde électromagnétique par une structure présentant des échelles d'espace petites devant la longueur d'onde est un phénomène complexe qui décrit à la fois l'interaction entre l'onde et la géométrie de la structure et la matière qui la constitue. Quand la fréquence n'est pas résonnante, l'onde incidente interagit faiblement avec des petites irrégularités de la structure. En langage mathématique, ceci se traduit par le fait que la différence entre les champs électromagnétiques de la structure perturbée et ceux de la structure de référence est de l'ordre de la perturbation. Par contre, quand la fréquence est résonante, le comportement de l'onde est très sensible aux petites déformations singulières de la géométrie de la structure. Cette sensibilité est susceptible d'être détectée dans les mesures du champ lointain, et est la brique de base de plusieurs capteurs et filtres plasmoniques. Dans ce projet de thèse nous nous sommes intéressés aux propriétés optiques de surfaces métalliques comportant des cavités sub-longueur d'onde distribués périodiquement ou non, et de couches métalliques minces. Ces structures possèdent des résonances électromagnétiques proches de l’axe réel, et sont capables de concentrer l’énergie électromagnétique dans des volumes bien inférieurs à la cubique de la longueur d’onde incidente. La compréhension de ce phénomène est un enjeu important pour le développement des spectroscoepies ultra-sensibles, mais aussi dans le domaine des bio-capteurs et de l’opto-électronique. En utilisant des techniques asymptotiques couplées avec des équations intégrales, nous avons déterminé le développement asymptotique des fréquences de résonance de ces structures quand le rapport entre l'échelle de la structuration spatiale et la longueur d'onde tend vers zéro. Les modèles asymptotiques dérivés sont beaucoup plus simples à étudier et à simuler et rendent parfaitement compte des résultats expérimentaux. Ils permettent de prédire les fréquences résonnantes, la quantité d’énergie localisée en fonction de la géométrie des structures et des propriétés des matériaux qui les constituent. / Rough metallic surfaces with subwavelength structurations possess extraordinary diffractive properties: at certain frequencies, one may observe fine localization and very large enhancement of the electromagnetic fields. The discovery of these phenomena has raised considerable interest as potential applications are numerous (optical switches, sensors, devices for microscopy). This behavior results from the combination of very complex interaction between the incident excitation, the geometry and the material properties of the scatterer. The main goal of this thesis is to better understand these phenomena from the mathematical point of view.In mathematical terms, the localization and concentration of the fields is the mark of a resonance phenomenon. In our context, the corresponding resonant field may be surface plasmons, i.e., waves that propagate along the interface of the grating, and that decay exponentially away from it. Another type of resonance is due to possible cavity modes. Thus, the study of these phenomena pertains to eigenvalue problems for the solutions of the Maxwell system, in geometric configurations where in the whole of a dielectric (generally air) and a metal are separated by an infinite rough interface.We are interested in particular micro-structured devices, namely metallic surfaces that contain rectangular grooves with sub-wavelength apertures, and thin plane layers. Configurations of this type can be manufactured quite precisely and have been subject to many experimental works. The simple geometry of these structures allows us to transform the eigenvalue problem for the Maxwell system into a nonlinear eigenvalue problem for an integral operator that depends on a small parameter, which, using tools from analytic perturbation of operators theory, lends itself to a precise asymptotic analysis. Precisely, we showed that the resonances of these structures converge tothe zeros of some explicit dispersion equations when the ratio between the roughness parameter and the wavelength tends to zero. These asymptotic models provide a precise localization of the resonances in the complex plane, and are suited for numerical approximation, shape and material optimization.

Le travail effectué dans cette thèse a consisté à analyser différents aspects mathématiques et numériques d'une stratégie de résolution des problèmes de propagation d'onde acoustique et électromagnétique en domaine extérieur. Nous nous intéressons plus particulièrement à la méthode de couplage entre éléments finis et représentation intégrale (CEFRI) où nous analysons un algorithme de résolution itérative par analogie avec une méthode de décomposition de domaine ainsi que l'utilisation de la méthode multipôles rapide (FMM). Le système à résoudre fait intervenir des opérateurs intégraux ce qui rend crucial le recours à des méthodes rapides telles que la FMM. L'analogie avec une méthode de décomposition de domaine s'obtient par extension au problème de Maxwell des résultats établis par F. Ben Belgacem et al. pour le problème de Helmholtz posé en domaine non borné. Pour cela, nous avons montré le lien entre la méthode CEFRI et la méthode de Schwarz avec recouvrement total pour la résolution du problème de Maxwell en domaine non borné. Cette relecture de la méthode CEFRI offre également une technique de préconditionnement pour les solveurs de Krylov et nous a permis d'avoir une idée préliminaire sur la convergence de ces méthodes. Ainsi, nous nous intéressons plutôt à des méthodes itératives rapides. Pour cela, nous avons mené une analyse théorique afin de montrer la convergence superlinéaire du GMRES dans une configuration sphérique. La validation de ces aspects a été réalisée par l'enrichissement de nombreux intégrants de la librairie éléments finis Mélina++, en C++. / We are concerned with the study of different aspects of a numerical strategy for the resolution of acoustic and electromagnetic scattering problems. We focus more particu- larly on a coupling of finite element and integral representation (CEFRI) : we study an iterative algorithm by analogy with a domain decomposition method, and consider the use of the Fast Multipole Method (FMM). The system to be solved involves integral operators which requires the use of fast methods such as the FMM. The correspondence with a domain decomposition method is obtained by extending to the exterior Maxwell problem the results derived by F. Ben Belgacem et al. for the Helmholtz problem posed in unbounded domain. To this aim, we show the analogy to the Schwarz method with total overlap. This interpretation of CEFRI suggests a preconditioner for Krylov solvers and enables us to have a preliminary idea of their convergence. We derive in this context an analytical proof of a superlinear convergence of GMRES in a spherical configuration. The validation of these aspects has been achieved by the enrichment of the finite element library Mélina++ in C++.

L'analyse idempotente étudie les espaces linéaires de dimension infinie dans lesquels l'opération maximum se substitue à l'addition habituelle. Nous démontrons un ensemble de résultats dans ce cadre, en soulignant l'intérêt des outils d'approximation fournis par la théorie des domaines et des treillis continus. Deux champs d'étude sont considérés : l'intégration et la convexité. En intégration idempotente, les propriétés des mesures maxitives à valeurs dans un domaine, telles que la régularité au sens topologique, sont revues et complétées ; nous élaborons une réciproque au théorème de Radon-Nikodym idempotent ; avec la généralisation Z de la théorie des domaines nous dépassons différents travaux liés aux représentations de type Riesz des formes linéaires continues sur un module idempotent. En convexité tropicale, nous obtenons un théorème de type Krein-Milman dans différentes structures algébriques ordonnées, dont les semitreillis et les modules idempotents topologiques localement convexes ; pour cette dernière structure nous prouvons un théorème de représentation intégrale de type Choquet : tout élément d'un compact convexe K peut être représenté par une mesure de possibilité supportée par les points extrêmes de K. Des réflexions sont finalement abordées sur l'unification de l'analyse classique et de l'analyse idempotente. La principale piste envisagée vient de la notion de semigroupe inverse, qui généralise de façon satisfaisante à la fois les groupes et les semitreillis. Dans cette perspective nous examinons les propriétés "miroir" entre semigroupes inverses et semitreillis, dont la continuité fait partie. Nous élargissons ce point de vue en conclusion.

L'objectif de cette thèse est, d'une part, de fournir des méthodes de planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes, et d'autre part, d'étudier la contrôlabilité spectrale pour les équations de Schrödinger linéarisées. Nous avons apporté une double contribution au problème de la planification de mouvements pour les systèmes non-holonomes. Fondé sur la géométrie sous-riemannienne, nous avons conçu un nouvel algorithme qui résout complètement le problème dans un cadre général. Nous avons également proposé une implémentation numérique de la méthode de continuation qui fournit des solutions satisfaisantes au problème de la planification du roulement sur le plan, un exemple classique de systèmes non-holonomes à deux entrées. Nous avons donné des conditions nécessaires et suffisantes de contrôlabilité spectrale en temps fini des équations de Schrödinger linéarisées en dimension 2 et 3. Leur généricité par rapport au domaine a été étudiée par une technique originale basée sur les équations intégrales.