In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems that concern the integers. It is often said to have begun with Dirichlet's introduction of Dirichlet L-functions. In analytic number theory one of the main investigation objects is the Riemann zeta function. The Riemann hypothesis states that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line. In the thesis we investigate value distribution of the Riemann zeta function on the critical line. To do so we use the curve of the Riemann zeta function on the critical line. A problem connected to the curve asks the question whether the curve is dense in the complex plane. We prove that the curve expands to all directions on the complex plane. A separete case of the main result can be stated as follows Riemann zeta function has infinetly many negative values on the critical line and they are unbounded. / Analizinė skaičių teorija yra skaičių teorijos dalis, kuri, naudodama matematinės analizės ir kompleksinio kintamojo funkcijų tyrimo metodus, sprendžia uždavinius susijusius su sveikaisiais skaičiais. Manoma, kad analizinės skaičių teorijos pradžią žymi Dirichlet eilučių ir Dirichlet L-funkcijų taikymai. Vienas iš pagrindinių analizinės skaičių teorijos tyrimo objektų yra Riemann’o dzeta funkcija. Riemann’o hipotezė teigia, kad visi netrivialieji nuliai yra ant kritinės tiesės. Disertacijoje nagrinėjamas Riemann’o dzeta funckijos reikšmių pasiskirstymas ant kritinės tiesės. Tam pasitelkiama Riemann’o dzeta funkcijos kreivė. Svarbus klausimas susijęs su kreive yra ar ši kreivė yra visur tiršta kompleksinių skaičių plokštumoje. Disertacijoje įrodoma, kad kreivė plečiasi į visas puse kompleksinių skaičių plokštumoje. Atskiras disertacijos pagrindinio rezultato atvejis gali būti formuluojamas taip – Riemann’o dzeta funkcija ant kritinės tiesės įgyja be galo daug neigiamų reikšmių, kurios yra neaprėžtos.

Analizinė skaičių teorija yra skaičių teorijos dalis, kuri, naudodama matematinės analizės ir kompleksinio kintamojo funkcijų tyrimo metodus, sprendžia uždavinius susijusius su sveikaisiais skaičiais. Manoma, kad analizinės skaičių teorijos pradžią žymi Dirichlet eilučių ir Dirichlet L-funkcijų taikymai. Vienas iš pagrindinių analizinės skaičių teorijos tyrimo objektų yra Riemann’o dzeta funkcija. Riemann’o hipotezė teigia, kad visi netrivialieji nuliai yra ant kritinės tiesės. Disertacijoje nagrinėjamas Riemann’o dzeta funckijos reikšmių pasiskirstymas ant kritinės tiesės. Tam pasitelkiama Riemann’o dzeta funkcijos kreivė. Svarbus klausimas susijęs su kreive yra ar ši kreivė yra visur tiršta kompleksinių skaičių plokštumoje. Disertacijoje įrodoma, kad kreivė plečiasi į visas puse kompleksinių skaičių plokštumoje. Atskiras disertacijos pagrindinio rezultato atvejis gali būti formuluojamas taip – Riemann’o dzeta funkcija ant kritinės tiesės įgyja be galo daug neigiamų reikšmių, kurios yra neaprėžtos. / In mathematics, analytic number theory is a branch of number theory that uses methods from mathematical analysis to solve problems that concern the integers. It is often said to have begun with Dirichlet's introduction of Dirichlet L-functions. In analytic number theory one of the main investigation objects is the Riemann zeta function. The Riemann hypothesis states that all non-trivial zeros of the Riemann zeta function lie on the critical line. In the thesis we investigate value distribution of the Riemann zeta function on the critical line. To do so we use the curve of the Riemann zeta function on the critical line. A problem connected to the curve asks the question whether the curve is dense in the complex plane. We prove that the curve expands to all directions on the complex plane. A separete case of the main result can be stated as follows Riemann zeta function has infinetly many negative values on the critical line and they are unbounded.

Sudėtinės funkcijos universalumo įrodymas. / Bachelor thesis about universality of one composite function.

In 1997, Xian-Jin Li gave an equivalence to the classical Riemann hypothesis, now referred to as Li's criterion, in terms of the non-negativity of a particular infinite sequence of real numbers. We formulate the analogue of Li's criterion as an equivalence for the generalized quasi-Riemann hypothesis for functions in an extension of the Selberg class, and give arithmetic formulae for the corresponding Li coefficients in terms of parameters of the function in question. Moreover, we give explicit non-negative bounds for certain sums of special values of polygamma functions, involved in the arithmetic formulae for these Li coefficients, for a wide class of functions. Finally, we discuss an existing result on correspondences between zero-free regions and the non-negativity of the real parts of finitely many Li coefficients. This discussion involves identifying some errors in the original source work which seem to render one of its theorems conjectural. Under an appropriate conjecture, we give a generalization of the result in question to the case of Li coefficients corresponding to the generalized quasi-Riemann hypothesis. We also give a substantial discussion of research on Li's criterion since its inception, and some additional new supplementary results, in the first chapter. / Thesis (Ph.D, Mathematics & Statistics) -- Queen's University, 2012-07-31 13:14:03.414

Darbe pateikta funkcijų tyrimo apžvalga, svarbiausi žinomi rezultatai, suformuluota problema. Pagrindinė ribinė teorema įrodoma, taikant tikimybinius metodus, analizinių funkcijų savybes, aproksimavimo absoliučiai konvertuojančiu integralu principą. / The main limit theorem is proved using probabilistic methods, the analytical functions of the properties.

The Riemann zeta function ζ(s) is one of the most fundamental functions in number theory. Euler demonstrated that ζ(s) is closely connected to the prime numbers and Riemann gave proofs of the basic analytic properties of the zeta function. Values of the zeta function and its derivatives have been studied by several mathematicians. Apostol in particular gave a computable formula for the values of the derivatives of ζ(s) at s = 0. The Hurwitz zeta function ζ(s,q) is a generalization of ζ(s). We modify Apostolʼs methods to find values of the derivatives of ζ(s,q) with respect to s at s = 0. As a consequence, we obtain relations among certain important constants, the generalized Stieltjes constants. We also give numerical estimates of several values of the derivatives of ζ(s,q).

No description available.

A numerical solution algorithm based on finite volume method is developed for unsteady, two-dimensional, depth-averaged shallow water flow equations. The model is verified using test cases from the literature and free surface data obtained from measurements in a laboratory flume. Experiments are carried out in a horizontal, rectangular channel with vertical solid boxes attached on the sidewalls to obtain freesurface data set in flows where three-dimensionality is significant. Experimental data contain both subcritical and supercritical states. The shallow water equations are solved on a structured, rectangular grid system. Godunov type solution procedure evaluates the interface fluxes using an upwind method with an exact Riemann solver. The numerical solution reproduces analytical solutions for the test cases successfully. Comparison of the numerical results with the experimental two-dimensional free surface data is used to illustrate the limitations of the shallow water equations and improvements necessary for better simulation of such cases.

Ulm, Univ., Diss., 2008.

Stuttgart, Univ., Diss., 2008.