Resumen Este trabajo se describe una parte importante de los descubrimientos obtenidos durante el siglo XX, es una introducción a la teoría de variedades complejas y sus deformaciones. Intuitivamente la deformación de una variedad compleja compacta M, compuesta de un número finito de cartas coordenadas, viene dada por el desplazamiento de estas cartas. Definimos M= {Mt : t ∈ B} y ̟ :M→ B de manera que el desplazamiento del cual hablo se llevará a cabo a través de la aplicación KSt que va del espacio tangente de una variedad compleja B, denominado espacio base de una familia diferenciable de variedades complejas compactas (M,B,̟), al primer grupo de cohomología de Mt, es decir KSt : Tt(B) → H1(Mt,_t), donde _ es el haz de gérmenes de campos vectoriales holomorfos sobre Mt, a ésta aplicación se le llama La Aplicación Infinitesimal Kodaira-Spencer, que nos permitirá medir las variaciones de primer orden de la estructura compleja. En consecuencia, dada (M,B,̟) una familia analítica compleja de variedades complejas compactas, se tiene que las deformaciones infinitesimales _ = dMt/dt de Mt = ̟−1(t) son ciertos elementos de H1(Mt,_t). Por otro lado, dada una variedad compleja compacta M, si (M,B,̟) con 0 ⊂ B ⊂ C es una familia analítica compleja tal que M = ̟−1(_ 0). ¿Podemos decir que dMt/dt _ t ∈ H1(M,_) es una deformación infinitesimal de M? Pues no está claro que cada θ deba surgir de ésta manera. Resulta que si θ surgiese así, entonces tiene que cumplir con ciertas condiciones adicionales. Si existen clases de cohomología θ que no cumplan las condiciones dicionales, entonces θ no son deformaciones infinitesimales de M, si no, son llamados Obstrucciones a la deformación de M. Esta teoría de la obstrucción, garantiza la existencia de una familia analítica compleja para cualquier H1(M,_). Finalmente, hablaremos sobre el Número de Moduli, m(M), que viene a ser el número de parámetros efectivos de la familia analítica compleja (M,B,̟) con M = ̟−1(0), que contiene todas las deformaciones suficientemente pequeñas para M y nos da a conocer cuántas de éstas estructuras o deformaciones son iguales y diferentes. / Tesis

Esta tesis presenta una visión global y prácticamente autocontenida de los avances que se llevaron a cabo en la décadas de los años 1960 y 1970 con respecto al estudio de las estructuras de contacto en variedades diferenciables. Nuestro objetivo principal sería exhibir explícitamente estructuras métricas de contacto en las denominadas variedades de Brieskorn, que surgen como el conjunto de ceros de los llamados polinomios de Brieskorn-Pham intersecado con la esfera unitaria. Para ello comenzaremos desarrollando a grandes rasgos los conceptos relacionados a la geometría simpléctica, la geometría compleja y las variedades de Kähler. Luego realizaremos un esbozo de prueba del teorema de Boothby-Wang, que constituye una generalización de la fibración de Hopf. A continuación presentaremos la construcción de estructuras métricas de contacto, en particular, las denominadas estructuras de Sasaki. El objetivo de ello es obtener estructuras de Sasaki en las variedades de Brieskorn, las cuales exhibiremos en coordenadas a fin de obtener un procedimiento para construirlas en una variedad de Brieskorn arbitraria. Por último, relacionaremos lo estudiado con la fibración de Boothby-Wang para probar que las estructuras construidas pueden ser proyectadas como hipersuperficies en el espacio proyectivo complejo. Debido a la naturaleza de las nociones presentadas, se espera que el lector tenga un conocimiento elemental de la geometría riemanniana. / Tesis

El propósito de este trabajo es discutir la aplicación de la teoría de las formas armónicas con valores en un fibrado vectorial y su relación con las inmersiones en una variedad riemanniana. Sea M una variedad riemanniana y E un fibrado vectorial riemanniano sobre M, entonces podemos definir de manera natural el operador laplaciano en las formas diferenciales con valores en E y expresaremos el producto escalar ⟨θ, θ⟩, donde θ es una p-forma con valores en E, en términos de la curvatura y la diferencial covariante. Además si M es compacta, obtendremos, mediante integración sobre M una formula análoga a las formas diferenciales ordinarias de Bochner’s. Sea f una inmersión de M en una variedad riemanniana M. Consideramos la segunda forma fundamental α de (M, f) como una 1-forma con valores en Hom (T (M), N(M)). Asumiendo que M′ es de curvatura seccional constante y la curvatura media normal de (M, f ) es paralela, probaremos que la segunda forma fundamental α es armónica, es decir α = 0. En particular, si la inmersión f es una inmersión minimal, entonces α es armónica. Por el contrario, si M es compacta y α es armónica, entonces la curvatura media normal es paralela. / Tesis

This paper is an examination of the theory of discrete complex analysis that arises from the framework of a planar cell complex. Construction of this theory is largely integration-based. A combination of two cell complexes, the double and its associated diamond complex, allows for the development of a discrete Cauchy Integral Formula. / Master of Science

Music dictation as a discipline is over a century old but, to date, there has been no research that has shed light on its origins and background in Spain. The objective of this research is: 1. To clarify the idea behind music dictation prior to its systematization as a discipline by Albert Lavignac (1882) and Hugo Riemann (1889); and 2. To determine what methodology changes these works introduced regarding the previous practice. To this end, the origin of music dictation in Spain in official syllabuses of music pedagogy has been established and the works of sol-fa and music dictation relevant to its constitution and development have been identified, analysed and described. For each of these works, the implicit and explicit objectives have been drawn. A description has been made of the theoretical-musical approaches they put forward and an analysis has been carried out of the predominant elements of music and their treatment. The aim of this thesis is to put music dictation into its historical perspective, whose purpose focuses on the conscious and explicit perception of the melody. The conclusions reached in this thesis should prove to be of fundamental importance in the design and development of methodological tools and proposals related to the fields of music theory and ear training. / El dictado musical como disciplina tiene más de un siglo de antigüedad pero, hasta la fecha, no ha habido estudios que arrojaran luz sobres sus orígenes y antecedentes en España. El presente trabajo tiene como objetivos: 1. Esclarecer la concepción que se tenía del dictado musical antes de su sistematización como disciplina por Albert Lavignac (1882) y Hugo Riemann (1889); y 2. Determinar qué cambios metodológicos introdujeron estas obras con respecto a la praxis anterior. Para ello: se ha establecido el origen del dictado musical en España en las enseñanzas regladas de música, y se han identificado, analizado y descrito las obras de solfeo y dictado musical relevantes en su constitución y desarrollo. Se han extraído los objetivos implícitos y explícitos de cada una de estas obras; se han descrito qué planteamientos teórico-musicales proponen, y se han analizado qué elementos de la música predominaban y cómo se abordaban. Con esta tesis se pretende hacer un seguimiento histórico del dictado musical, primera disciplina cuya finalidad se centra en la percepción consciente y explícita de la melodía. Las conclusiones obtenidas en esta tesis serán un pilar clave para el diseño y el desarrollo de herramientas y propuestas metodológicas relacionadas con las áreas de lenguaje musical y educación auditiva. / El dictat musical com a disciplina té més d'un segle d'antiguitat però, fins avui, no hi ha hagut estudis que llançaren llum sobres els seus orígens i antecedents a Espanya. El present treball té com a objectius: 1. Esclarir la concepció que es tenia del dictat musical abans de la seua sistematització com a disciplina per Albert Lavignac (1882) i Hugo Riemann (1889); i 2. Determinar què canvis metodològics van introduir aquestes obres pel que fa a la praxi anterior. Per açò: s'ha establert l'origen del dictat musical a Espanya en els ensenyaments reglats de música, i s'han identificat, analitzat i descrit les obres de solfeig i dictat musical rellevants en la seua constitució i desenvolupament. S'han extret els objectius implícits i explícits de cadascuna d'aquestes obres; s'han descrit què plantejaments teòric-musicals proposen, i s'han analitzat què elements de la música predominaven i com s'abordaven. Amb aquesta tesi es pretén fer un seguiment històric del dictat musical, primera disciplina la finalitat de la qual se centra en la percepció conscient i explícita de la melodia. Les conclusions obtingudes en aquesta tesi seran un pilar clau per al disseny i el desenvolupament d'eines i propostes metodològiques relacionades amb les àrees de llenguatge musical i educació auditiva. / Gorbe Ferrer, L. (2017). Origen, fundamentación y sistematización de la educación auditiva en España: Caracterización del dictado musical como estrategia complementaria al solfeo [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/86194

El objetivo principal de este trabajo es el estudio de las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg tridimensional, a partir de su aplicación de Gauss. Inicialmente estudiamos la geometría riemanniana del grupo de Heisenberg con métrica invariante a izquierda, calculando los campos invariantes a izquierda, las curvaturas, las geodésicas y el grupo de isometrías de este espacio. Luego estudiamos las aplicaciones armónicas, desde un punto de vista geométrico, pues encontraremos que nuestra aplicación de Gauss es armónica en el disco de Poincaré. Esto nos permitirá construir una representación tipo Weierstrass para superficies mínimas en nuestro espacio ambiente. Finalmente, con esta representación obtendremos diferentes ejemplos de superficies mínimas en el grupo de Heisenberg. / Tesis

The aim of this thesis is to study in detail the work of S. Kobayashi on the Riemannian geometry on principal S1-bundles. To be more precise, we explain how to obtain metrics with constant scalar curvature on these bundles. The method that we use is based in [18]. The basic idea behind Kobayashi’s construction is to slightly deform the Hopf fibration S1 ‹→ S2n+1 −→ CPn in a such a way that the corresponding sectional curvatures are not far from the produced by the standard metrics on the sphere and the complex projective space on the Hopf fibration. This deformations can be controlled applying the notions of Riemaniann and Kahlerian pinching (see Chapter 3). Furthermore, thanks to a technique developed by Hatakeyama in [14], it is possible to obtain less generic metrics but with a larger set of symmetries on the total space: Sasaki metrics. Actually, If one chooses as a base space a K¨ahler-Einstein manifold with positive scalar curvature one can obtain a Sasaki-Einstein metric. / Tesis

J. Alcántara-Bode demuestra en [3] que la Hipótesis de Riemann es verdad si y sólo si el operador integral en L2 (0,1), (Aρf)(o)=So1p(0/x) f(x) dx es inyectivo, dondeρ es la función parte fraccionaria. El operador Aρ es Hilbert-Schmidt, no nuclear y se conoce su determinante de Fredholm. En el presente trabajo de tesis, varias herramientas del análisis funcional son usadas para obtener información adicional no trivial de los operadores Aρ y Aρ (α), donde (Aρ(α)f)(o)= ş10 ρ(αθ/x) f(x)d(x). Usando el teorema de descomposición de Ringrose de Aρ y Aρ(α), brindamos información espectral de sus partes normales y Volterras, así como una estimativa de sus números singulares. Basados en el teorema de Müntz, se demuestran fórmulas que involucran a los operadores Aρ(α) y Aρ(β), aplicamos el lema de Douglas para establecer que h E Ran (Aρ(α)) y Ker (A˚ρ (α))= {0}, para todo 0 < α<1 y h (x)= x. Situado en el contexto de trazas singulares, demostramos que si Aρ pertenece a algún ideal geométricamente estable I de L2 (0,1), entonces τ(Aρ)= 0 para toda τtraza singular no trivial en I. Esto fue posible gracias a los resultados de N. Kalton, A. Albeverio, D. Guido, T. Isola y el hecho que los operadores 1/αAρ(α)- 1/βAρ(β)son Volterra. Finalmente, formulas inductivas son presentadas para calcular las trazas de las potencias de Aρ y Aρ(α), así como la construcción de una familia de isometrías parciales con propiedades muy particulares. / J. Alcántara-Bode shows in [3] that the Riemann hypothesis is true if and only if the integral operator on L2 (0,1), (Aρf)(o)=So1p(0/x) f(x) dx is injective, where ρis the fractional part function. The operator Aρ is non-nuclear Hilbert-Schmidt and its Fredholm determinant is known. In the present thesis work, several tools of functional analysis are used to obtain non-trivial additional information of the operators Aρ y Aρ(α), where (Aρ(α)f)(o)= ş10 ρ(αθ/x) f(x)d(x). Using the Ringrose decomposition of Aρ y Aρ(α), we give spectral information of their normal and Volterra parts, as well as an estimate of their singular numbers. Based on the Muntz’s theorem, we show formulas between the operators Aρ(α) and Aρ(β), we apply the Douglas lemma to show that h E Ran (Aρ(α)) and Ker (A˚ρ (α))= {0}, for all 0 < α<1. In the context of singular traces, we show that if Aρ belongs to a geometrically stable ideal I de L2 (0,1), then τ(Aρ)= 0 for every singular trace τ on I. This was possible thanks to the results of N. Kalton, A. Albeverio, D. Guido, T. Isola and the fact that the operators 1/αAρ(α)- 1/βAρ(β)are Volterra. Finally, inductive formulas are presented to calculate the traces of the powers of Aρand Aρ(α), we also construct a family of partial isometries with special properties.

Dans ce mémoire, nous élaborons des méthodes pour analyser le comportement de fonctions sur les corps finis. Après avoir étudié d'une façon personnalisée la distribution des valeurs de certaines truncations naturelles de fonctions transcendantes sur Fp, nous incluons la démonstration de W. M. Schmidt de l'hypothèse de Riemann sur les corps finis, puis une démonstration du théorème de Kurepa-Barsky-Benzaghou et nous concluons avec une preuve du théorème de Thue pour mettre en évidence la puissance et le champ d'applications de la méthode élémentaire de Thue-Stepanov.

Dans ce travail, nous adaptons la méthode des symétries conditionnelles afin de construire des solutions exprimées en termes des invariants de Riemann. Dans ce contexte, nous considérons des systèmes non elliptiques quasilinéaires homogènes (de type hydrodynamique) du premier ordre d'équations aux dérivées partielles multidimensionnelles. Nous décrivons en détail les conditions nécessaires et suffisantes pour garantir l'existence locale de ce type de solution. Nous étudions les relations entre la structure des éléments intégraux et la possibilité de construire certaines classes de solutions de rang k. Ces classes de solutions incluent les superpositions non linéaires d'ondes de Riemann ainsi que les solutions multisolitoniques. Nous généralisons cette méthode aux systèmes non homogènes quasilinéaires et non elliptiques du premier ordre. Ces méthodes sont appliquées aux équations de la dynamique des fluides en (3+1) dimensions modélisant le flot d'un fluide isentropique. De nouvelles classes de solutions de rang 2 et 3 sont construites et elles incluent des solutions double- et triple-solitoniques. De nouveaux phénomènes non linéaires et linéaires sont établis pour la superposition des ondes de Riemann. Finalement, nous discutons de certains aspects concernant la construction de solutions de rang 2 pour l'équation de Kadomtsev-Petviashvili sans dispersion. / In this work, the conditional symmetry method is adapted in order to construct solutions expressed in terms of Riemann invariants. Nonelliptic quasilinear homogeneous systems of multidimensional partial differential equations of hydrodynamic type are considered. A detailed description of the necessary and sufficient conditions for the local existence of these types of solutions is given. The relationship between the structure of integral elements and the possibility of constructing certain classes of rank-k solutions is discussed. These classes of solutions include nonlinear superpositions of Riemann waves and multisolitonic solutions. This approach is generalized to first-order inhomogeneous hyperbolic quasilinear systems. These methods are applied to the equations describing an isentropic fluid flow in (3+1) dimensions. Several new classes of rank-2 and rank-3 solutions are obtained which contain double and triple solitonic solutions. New nonlinear and linear superpositions of Riemann waves are described. Finally, certain aspects of the construction of rank-2 solutions through an application to the dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation are discussed.