Let $\overline{R}$ be a finitely bordered Riemann surface, and let $\mathfrak{E}_\rho(\overline{R})$ be a flat matrix $PU_n(\mathbb{C})$-bundle over $\overline{R}$. Let $\Gamma_c(\overline{R}, \mathfrak{E}(\overline{R}))$ denote the $C^*$-algebra of continuous cross-sections of $\mathfrak{E}(\overline{R})$, and let $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$ denote the subalgebra consisting of the continuous holomorphic sections, i.e.~the continuous cross-sections that are holomorphic on the interior of $\overline{R}$. The algebra $\Gamma_c(\overline{R}, \mathfrak{E}(\overline{R}))$ is an example of an $n$-homogeneous $C^*$-algebra, and the subalgebra $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$ is the principal object of study of this thesis. The algebras $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$ appeared in the earlier works \cite{Abrahamse1976} and \cite{Blecher2000}. Operators that can be viewed as elements in $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$ are the subject of \cite{Abrahamse1976}. The Morita theory of $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$, under the guise of a fixed-point algebra and in the special case of an annulus $R$, is studied in \cite[Ex.~8.3]{Blecher2000}. This thesis studies these algebras and their topological data $\mathfrak{E}_\rho(\overline{R})$ motivated by several problems in the theory of nonselfadjoint operator algebras. Boundary representations are an invariant of operator algebras that were introduced by Arveson in 1969. However, it took nearly 50 years to show that boundary representations existed in sufficient abundance in all cases. I show that every boundary representation of $\Gamma_c(\overline{R}, \mathfrak{E}(\overline{R}))$ for $\Gamma_h(\overline{R}, \mathfrak{E}(\overline{R}))$ is given by evaluation at some point $r \in \partial R$. As a corollary, the $C^*$-envelope of $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$ is $\Gamma_c(\partial R, \mathfrak{E}(\partial R))$. Using the $C^*$-envelope, I show that for certain choices of fibre and base space, $\Gamma_h(\overline{R}, \mathfrak{E}_\rho(\overline{R}))$ is not completely isometrically isomorphic to $A(\overline{R})\otimes M_n(\mathbb{C})$ unless the representation $\rho$ is the trivial representation. I also show that $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$ is an Azumaya over its center. Azumaya algebras are the ``pure-algebra'' analogues to $n$-homogeneous $C^*$-algebras \cite{Artin1969}. Thus the structure of the nonselfadjoint subalgebra $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}(\overline{R}))$ reflects some of the structure of its $C^*$-envelope (which is $n$-homogeneous). Finally, I answer a question raised in \cite[Ex.~8.3]{Blecher2000} on the $cb$ and strong Morita theory of $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}_\rho(\overline{R}))$, showing in particular that $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}_\rho(\overline{R}))$ is $cb$ Morita equivalent to its center $A(\overline{R})$. As suggested in \cite[Ex.~8.3]{Blecher2000}, I provide additional evidence that $\Gamma_h(\overline{R},\mathfrak{E}_\rho(\overline{R}))$ may not be strongly Morita equivalent to its center. This evidence, in turn, suggests that there may be a Brauer group -like analysis for these algebras.

We begin this dissertation by presenting a brief introduction to the theory of solitons and integrability (plus some classical methods applied in this field) in Chapter 1, mainly using the Korteweg-de Vries equation as a typical model. At the end of this Chapter a mathematical framework of notations and terminologies is established for the whole dissertation. In Chapter 2, we first introduce two specific matrix spectral problems (with 3 potentials) associated with matrix Lie algebras $\mbox{sl}(2;\mathbb{R})$ and $\mbox{so}(3;\mathbb{R})$, respectively; and then we engender two soliton hierarchies. The computation and analysis of their Hamiltonian structures based on the trace identity affirms that the obtained hierarchies are Liouville integrable. This chapter shows the entire process of how a soliton hierarchy is engendered by starting from a proper matrix spectral problem. In Chapter 3, at first we elucidate the Gauge equivalence among three types $u$-linear Hamiltonian operators, and construct then the corresponding B\"acklund transformations among them explicitly. Next we derive the if-and-only-if conditions under which the linear coupling of the discussed u-linear operators and matrix differential operators with constant coefficients is still Hamiltonian. Very amazingly, the derived conditions show that the resulting Hamiltonian operators is truncated only up to the 3rd differential order. Finally, a few relevant examples of integrable hierarchies are illustrated. In Chapter, 4 we first present a generalized modified Korteweg-de Vries hierarchy. Then for one of the equations in this hierarchy, we build the associated Riemann-Hilbert problems with some equivalent spectral problems. Next, computation of soliton solutions is performed by reducing the Riemann-Hilbert problems to those with identity jump matrix, i.e., those correspond to reflectionless inverse scattering problems. Finally a special reduction of the original matrix spectral problem will be briefly discussed.

In chapter 1, we present some background knowledge about random matrices, Coulomb gas, orthogonal polynomials, asymptotics of planar orthogonal polynomials and the Riemann-Hilbert problem. In chapter 2, we consider the monic orthogonal polynomials, $\{P_{n,N}(z)\}_{n=0,1,\cdots},$ that satisfy the orthogonality condition, \begin{equation}\nonumber \int_\mathbb{C}P_{n,N}(z)\overline{P_{m,N}(z)}e^{-N Q(z)}dA(z)=h_{n,N}\delta_{nm} \quad(n,m=0,1,2,\cdots), \end{equation} where $h_{n,N}$ is a (positive) norming constant and the external potential is given by $$Q(z)=|z|^2+ \frac{2c}{N}\log \frac{1}{|z-a|},\quad c>-1,\quad a>0.$$ The orthogonal polynomial is related to the interacting Coulomb particles with charge $+1$ for each, in the presence of an extra particle with charge $+c$ at $a.$ For $N$ large and a fixed ``c'' this can be a small perturbation of the Gaussian weight. The polynomial $P_{n,N}(z)$ can be characterized by a matrix Riemann--Hilbert problem \cite{Ba 2015}. We then apply the standard nonlinear steepest descent method \cite{Deift 1999, DKMVZ 1999} to derive the strong asymptotics of $P_{n,N}(z)$ when $n$ and $N$ go to $\infty.$ From the asymptotic behavior of $P_{n,N}(z),$ we find that, as we vary $c,$ the limiting distribution behaves discontinuously at $c=0.$ We observe that the mother body (a kind of potential theoretic skeleton) also behaves discontinuously at $c=0.$ The smooth interpolation of the discontinuity is obtained by further scaling of $c=e^{-\eta N}$ in terms of the parameter $\eta\in[0,\infty).$ To obtain the results for arbitrary values of $c$, we used the ``partial Schlesinger transform'' method developed in \cite{BL 2008} to derive an arbitrary order correction in the Riemann--Hilbert analysis. In chapter 3, we consider the case of multiple logarithmic singularities. The planar orthogonal polynomials $\{p_n(z)\}_{n=0,1,\cdots}$ with respect to the external potential that is given by $$Q(z)=|z|^2+ 2\sum_{j=1}^lc_j\log \frac{1}{|z-a_j|},$$ where $\{a_1, a_2, \cdots, a_l\}$ is a set of nonzero complex numbers and $\{c_1, c_2, \cdots, c_l\}$ is a set of positive real numbers. We show that the planar orthogonal polynomials $p_{n}(z)$ with $l$ logarithmic singularities in the potential are the multiple orthogonal polynomials $p_{{\bf{n}}}(z)$ (Hermite-Pad\'e polynomials) of Type II with $l$ measures of degree $|{\bf{n}}|=n=\kappa l+r,$ ${\bf{n}}=(n_1,\cdots,n_l)$ satisfying the orthogonality condition, $$ \frac{1}{2\ii}\int_{\Gamma}p_{{\bf{n}}}(z) z^k\chi_{{\bf{n}}-{\bf{e}}_j}(z)\dd z=0, \quad 0\leq k\leq n_j-1,\quad 1\leq j\leq l,$$ where $\Gamma$ is a certain simple closed curve with counterclockwise orientation and $$ \chi_{{\bf{n}}-{\bf{e}}_j}(z):= \prod_{i=1}^l(z-a_i)^{c_i }\int_{0}^{\overline{z}\times\infty}\frac{\prod_{i=1}^l(s-\bar{a}_i)^{n_i+c_i}}{(s-\bar{a}_j)\ee^{zs}}\,\dd s. $$ Such equivalence allows us to formulate the $(l+1)\times(l+1)$ Riemann--Hilbert problem for $p_n(z)$. We also find the ratio between the determinant of the moment matrix corresponding to the multiple orthogonal polynomials and the determinant of the moment matrix from the original planar measure.

Nous considérons les fibrés à connexion non-singulière ou méromorphe, de rang 2 et sans trace sur les surfaces de Riemann compactes de genre quelconque. <br />En déformant la courbe, la position des pôles et la connexion, nous construisons la déformation isomonodromique universelle d'un tel fibré à connexion. Notre construction spécifique au cas du rang 2 et sans trace est plus élémentaire que la construction en rang quelconque due à B. Malgrange et I. Krichever au sens où elle ne nécessite pas d'analyse de Stokes des singularités irrégulières. De plus, elle englobe le cas des singularités résonantes de manière naturelle.<br />Nous montrons que le fibré vectoriel sous-jacent à la déformation isomonodromique universelle est génériquement 'maximalement' stable, pourvu que le fibré à connexion initial soit irréductible. À cette fin, nous démontrons une version analytique du résultat de semicontinuité de M. Maruyama, puis nous nous ramenons à un problème de transversalité de feuilletages. À l'aide d'exemples explicites, nous montrons que la condition d'irréductibilité est nécessaire et que l'ensemble analytique des paramètres non génériques au sens ci-dessus peut être non algébrique.

Ce mémoire est consacré à la résolution du problème de Plateau à bord polygonal dans l'espace euclidien et dans l'espace de Minkowski de dimension trois. Il s'appuie sur la méthode de résolution proposée par René Garnier dans le cas euclidien dans un article publié en 1928 et qui a été oublié depuis, voire ignoré à l'époque. Plus géométrique et constructive que la méthode variationnelle, l'approche de Garnier est cependant parfois très compliquée, voire obscure et incomplète. On retranscrit sa démonstration dans un formalisme moderne, tout en proposant de nouvelles preuves plus simples, et en en complétant certaines lacunes. Ce travail repose principalement sur l'utilisation plus systématique des systèmes fuchsiens et la mise en évidence du lien entre la réalité de ces systèmes et leur monodromie. Ceci nous permet d'étendre le résultat de Garnier dans l'espace de Minkowski. La méthode de Garnier repose sur le fait que, par la représentation de Weierstrass spinorielle des surfaces minimales, on peut associer une équation fuchsienne réelle du second ordre définie sur la sphère de Riemann à tout disque minimal à bord polygonal. La monodromie de cette équation est déterminée par les directions orientées des côtés du bord. Pour résoudre le problème de Plateau, on est donc amené à résoudre un problème de Riemann-Hilbert. On procède ensuite en deux étapes : on construit d'abord, par déformations isomonodromiques, la famille de tous les disques minimaux dont le bord est un polygone de directions orientées données. Puis on montre, en étudiant les longueurs des côtés des bords polygonaux, qu'on obtient ainsi tout polygone comme bord d'un disque minimal.

Le fil conducteur est celui des conditions de compatibilité des systèmes aux dérivées partielles de la Mécanique des Solides Déformables. L'idée initiale, présentée dans l'ouvrage de Gaston Darboux sur la théorie générale des surfaces, est reprise. Elle consiste à remplacer les symboles de Christoffel par des vecteurs appelés vecteurs de Darboux. Ces vecteurs sont associés à des rotations de la même manière qu'un vecteur rotation instantanée est mis en évidence lors de l'étude du mouvement d'un solide rigide. <br />Les conditions de compatibilité en grandes déformations sont ainsi revisitées à la Darboux. Deux systèmes aux dérivées partielles découplés permettent d'obtenir le déplacement du milieu déformé en deux intégrations successives. L'étude de la nature tensorielle des objets exhibés montre la validité de nos concepts. Une étude inédite des variétés riemanniennes de dimension 3 de même courbure que la sphère est développée. De même, la théorie des surfaces est revue en introduisant les vecteurs de Darboux. La reconstruction d'une surface connaissant ses deux formes fondamentales est proposée conformément au théorème de Bonnet. L'étude particulière d'une surface minimale conduit à un processus de construction effectif à partir de la connaissance du bord. La notion de surface minimale sœur est dégagée, deux exemples sont présentés. Enfin l'équivalence entre l'annulation du tenseur de courbure de Riemann-Christoffel dans une coque et les conditions de Gauss-Codazzi-Mainardi sur sa surface moyenne est établie. Des perspectives, regardant le solide rigide comme une variété riemannienne de dimension 6, sont évoquées.

Le théorème<br />d'uniformisation de Poincaré-Koebe permet d'affirmer que toute<br />surface de Riemann compacte de genre $g>1$ est un quotient du<br />demi-plan de Poincaré par un groupe Fuchsien.<br /> D'un autre coté, une surface de Riemann est aussi une courbe algébrique<br />complexe. En genres 2 et 3, ces courbes peuvent toujours être<br />réalisées comme des courbes planes, i.e l'ensemble des zeros<br />d'une équation polynomiale homogène à coefficients complexes<br />$P(x,y,z)=0$.<br /><br />Dans cette thèse, on s'intéresse au lien explicite entre ces deux<br />descriptions pour les surfaces de genres 2 et 3 ayant des<br />automorphismes non-triviaux.<br /><br />En genre 2, on s'intéresse d'abords aux surfaces ayant une<br />involution non-triviale. On décrit la correspondance entre les<br />actions de deux groupes opérant l'un sur les structures<br />algébriques, l'autre sur les structures hyperboliques de ces<br />surfaces. La relation liant ces deux groupes permet d'interpréter<br />en terme de twists de Dehn et demi-twists les relations entre les<br />différents revêtements ramifiés au dessus de cinq points de<br />$\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$, avec notamment une lecture sur les<br />équations de certains twists de Dehn. On fait une étude<br />similaire pour des surfaces ayant un automorphisme d'ordre 3. On<br />étudie ensuite des familles spéciales algébriques, définies par<br />moins de paramètres que l'espace ambiant (sans que cela<br />corresponde nécessairement à la présence d'automorphismes<br />supplémentaires). On s'intéresse enfin à des familles réelles.<br />On montre notamment que les différents groupes permettent<br />d'exprimer des relations algebrico-géométriques entre surfaces<br />ayant des types topologiques pour la partie réelle différents.<br /><br />En genre 3, nous étudions les relations entre les équations des<br />quatre revêtements doubles de genre 3 d'une courbe de genre 1,<br />ramifiés au dessus de quatre points donnés et montrons comment on<br />peut aussi en décrire la structure hyperbolique dans le cas où<br />ils sont pavés par deux hexagones hyperboliques droits.

S. G. Krantz a montré qu'une solution u de l'équation de Cauchy-Riemann pour une donnée f à coefficients bornés appartient à l'espace de Lipschitz $\Lambda^(\frac(1)(2))$ dans les domaines strictement pseudoconvexes. Plus récemment, A. Cumenge d'une part et B. Fischer, J. E. Fornaess, K. Diederich d'autre part ont obtenu dans le cas des domaines convexes de type fini m des estimations en $\Lambda^(\frac(1)(m))$ . Cependant, le résultat de S. G. Krantz dans les domaines strictement pseudoconvexe a ensuite été amélioré par P. Greiner et E. Stein qui ont obtenu sous les mêmes hypothèses une solution dans l'espace anisotrope höldérien $\Lambda^(\frac(1)(2), 1)$. Ce résultat indique qu'une meilleure régularité de la solution est attendue dans les directions tangentes complexes. Notre travail consiste alors à obtenir les estimations lipschitziennes optimales des solutions de l'équation de Cauchy-Riemann dans un domaine $\Omega$ à frontière lisse borné et convexe de type fini. Dans la première partie de notre travail, nous reprenons la formule de représentation intégrale construite par A. Cumenge avec des noyaux de type Berndtsson-Andersson où le poids dépend du noyau de Bergman. Elle est ``semi-géométrique'' dans le sens où le noyau est construit en partie à l'aide du noyau de Bochner-Martinelli qui, bien qu'universel, ne nous permettra pas a priori d'exploiter toute la géométrie du domaine. Dans tous les résultats précités, la donnée $f$ est dans l'espace $L^(\infty)$. C'est ainsi la solution qui porte l'anisotropie induite par la géométrie des strictement pseudoconvexes ou des convexes de type fini. Il nous a semblé intéressant de donner aussi une approche où la donnée appartient à un espace anisotrope. Pour cela, nous utilisons la norme $|||f|||_(\kappa)$ qui est définie à l'aide d'une norme de type Kobayashi pour les vecteurs. La solution appartient alors à l'espace de Zygmund isotrope $\Lambda^1(\Omega)$. Pour montrer les techniques usuelles de résolution, et les difficultés d'approche pour les estimations de la partie euclidienne du noyau résolvant, nous donnons aussi un résultat où la donnée appartient à l'espace des (0,1)-formes $L^(\infty)$. Ce résultat n'est pas optimal et nous l'améliorons dans la troisième partie. La seconde partie donne la construction d'un noyau entièrement géométrique. Il ne fait plus intervenir que le noyau et la métrique de Bergman et nous pouvons espérer être donc à même de l'exploiter pour obtenir les résultats les plus fins. Cette construction est similaire à celle de Berndtsson-Andersson en choisissant comme section une approximation de la métrique de Bergman à l'ordre 2. Ce noyau permet d'obtenir une formule de représentation valable pour les (p,q)-formes en général. Le choix du poids permet l'annulation du terme d'intégration sur le bord qui apparaît dans les formules d'homotopie, ce qui nous donne directement une solution de l'équation de Cauchy-Riemann pour les (p,q)-formes $\overline \partial$ fermée. Dans la troisième partie, nous donnons un premier résultat qui utilise ce noyau et améliore le second résultat de la première partie. Nous obtenons un résultat optimal : pour une donnée dans $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que l'équation de Cauchy-Riemann admet une solution dans l'espace de fonction anisotrope $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ introduit par J. McNeal et E. Stein. C'est un espace de type Lipschitz $\frac(1)(m)$ pour une métrique $\rho$ faisant intervenir la pseudométrique de McNeal, donc reflétant la géométrie du domaine. Pour obtenir ce résultat, nous avons dû adapter un lemme de type ``Hardy-Littlewood anisotrope'' pour pouvoir estimer directement les termes du noyau ne contenant pas la singularité maximale. Pour le dernier terme, nous avons dû introduire une définition directe de $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ qui nécessitait l'introduction d'une approximation de l'unité adapté à la géométrie des convexes de type fini. Nous terminons par une seconde application : nous retrouvons un théorème de P. Greiner et E. Stein dans les domaines strictement pseudoconvexes. C'est-à-dire que pour une donnée $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que nous pouvons trouver une solution dans $\Lambda^(\frac(1)(2),1)(\Omega)$. Il est assez naturel de pouvoir y arriver puisque notre solution est construite afin de dominer les aspects géométriques des domaines.

La première partie de la thèse porte sur l'irrationalité de valeurs de polylogarithmes. On exhibe des changements de variables entre intégrales multiples, qui généralisent les groupes de Rhin-Viola et relient les intégrales de Beukers et Vasilyev à celles de Sorokin. Puis, en commun avec Rivoal, on écrit comme solution unique d'un problème d'approximation de Padé une série hypergéométrique très générale. On en déduit notamment que l'un au moins des nombres $\Li_s(1/2)+\frac(\log(1/2)^s)((s-1)!)$, $s \in \(2,3,4\)$, est irrationnel. La seconde partie est consacrée à la transcendance dans les groupes algébriques. On démontre pour certaines variétés une conjecture de Roy (équivalente à la conjecture d'indépendance algébrique des logarithmes). Puis on prouve un lemme d'interpolation dans un groupe algébrique commutatif $G$, qui généralise celui de Masser en y incluant des multiplicités. Quand $G$ est linéaire, on exprime ce lemme et la dualité de Fourier-Borel en termes d'algèbres de Hopf.

Nous étudions la répartition des zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann. Plus précisément, nous montrons qu'il n'y en a pas dans une région à gauche de l'axe $\Re s =1$ de la forme : \Re s \ge 1- \frac1(R_0 \log (|\Im s|+2)), où R_0=5.70175. Les méthodes élaborées dans ce cas se généralisent alors à celui des fonctions de Dirichlet et nous établissons que les fonctions L associées à un module q fixé ne s'annulent jamais dans la région~: \Re s \ge 1- \frac1(R_1 \log(q\max(1,|\Im s|))) où R_1=6.4355, à l'exception d'au plus une d'entre elles qui correspondrait alors à un caractère réel et qui aurait au plus un zéro réel dans cette zone (qu'on appelle zéro de Siegel). De plus, nous précisons que chaque fonction associée à un caractère donné possède au plus quatre zéros très proches de l'axe réel dans la région \Re s \ge 1- \frac1(R_4 \log(q\max(1,|\Im s|))) où R_4=2.58208. Enfin, nous appliquons nos résultats à la répartition des nombres premiers dans une progression arithmétique de la forme (a+nq). Nous établissons ainsi que le plus petit d'entre eux (qu'on notera P(a,q)) vérifie P(a,q) \le \exp\big(\alpha(\log q)^2\big) où \alpha=6.95015 pour q\ge10^6.