S. G. Krantz a montré qu'une solution u de l'équation de Cauchy-Riemann pour une donnée f à coefficients bornés appartient à l'espace de Lipschitz $\Lambda^(\frac(1)(2))$ dans les domaines strictement pseudoconvexes. Plus récemment, A. Cumenge d'une part et B. Fischer, J. E. Fornaess, K. Diederich d'autre part ont obtenu dans le cas des domaines convexes de type fini m des estimations en $\Lambda^(\frac(1)(m))$ . Cependant, le résultat de S. G. Krantz dans les domaines strictement pseudoconvexe a ensuite été amélioré par P. Greiner et E. Stein qui ont obtenu sous les mêmes hypothèses une solution dans l'espace anisotrope höldérien $\Lambda^(\frac(1)(2), 1)$. Ce résultat indique qu'une meilleure régularité de la solution est attendue dans les directions tangentes complexes. Notre travail consiste alors à obtenir les estimations lipschitziennes optimales des solutions de l'équation de Cauchy-Riemann dans un domaine $\Omega$ à frontière lisse borné et convexe de type fini. Dans la première partie de notre travail, nous reprenons la formule de représentation intégrale construite par A. Cumenge avec des noyaux de type Berndtsson-Andersson où le poids dépend du noyau de Bergman. Elle est ``semi-géométrique'' dans le sens où le noyau est construit en partie à l'aide du noyau de Bochner-Martinelli qui, bien qu'universel, ne nous permettra pas a priori d'exploiter toute la géométrie du domaine. Dans tous les résultats précités, la donnée $f$ est dans l'espace $L^(\infty)$. C'est ainsi la solution qui porte l'anisotropie induite par la géométrie des strictement pseudoconvexes ou des convexes de type fini. Il nous a semblé intéressant de donner aussi une approche où la donnée appartient à un espace anisotrope. Pour cela, nous utilisons la norme $|||f|||_(\kappa)$ qui est définie à l'aide d'une norme de type Kobayashi pour les vecteurs. La solution appartient alors à l'espace de Zygmund isotrope $\Lambda^1(\Omega)$. Pour montrer les techniques usuelles de résolution, et les difficultés d'approche pour les estimations de la partie euclidienne du noyau résolvant, nous donnons aussi un résultat où la donnée appartient à l'espace des (0,1)-formes $L^(\infty)$. Ce résultat n'est pas optimal et nous l'améliorons dans la troisième partie. La seconde partie donne la construction d'un noyau entièrement géométrique. Il ne fait plus intervenir que le noyau et la métrique de Bergman et nous pouvons espérer être donc à même de l'exploiter pour obtenir les résultats les plus fins. Cette construction est similaire à celle de Berndtsson-Andersson en choisissant comme section une approximation de la métrique de Bergman à l'ordre 2. Ce noyau permet d'obtenir une formule de représentation valable pour les (p,q)-formes en général. Le choix du poids permet l'annulation du terme d'intégration sur le bord qui apparaît dans les formules d'homotopie, ce qui nous donne directement une solution de l'équation de Cauchy-Riemann pour les (p,q)-formes $\overline \partial$ fermée. Dans la troisième partie, nous donnons un premier résultat qui utilise ce noyau et améliore le second résultat de la première partie. Nous obtenons un résultat optimal : pour une donnée dans $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que l'équation de Cauchy-Riemann admet une solution dans l'espace de fonction anisotrope $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ introduit par J. McNeal et E. Stein. C'est un espace de type Lipschitz $\frac(1)(m)$ pour une métrique $\rho$ faisant intervenir la pseudométrique de McNeal, donc reflétant la géométrie du domaine. Pour obtenir ce résultat, nous avons dû adapter un lemme de type ``Hardy-Littlewood anisotrope'' pour pouvoir estimer directement les termes du noyau ne contenant pas la singularité maximale. Pour le dernier terme, nous avons dû introduire une définition directe de $\Gamma_(\rho)^(\frac(1)(m))(\Omega)$ qui nécessitait l'introduction d'une approximation de l'unité adapté à la géométrie des convexes de type fini. Nous terminons par une seconde application : nous retrouvons un théorème de P. Greiner et E. Stein dans les domaines strictement pseudoconvexes. C'est-à-dire que pour une donnée $L^(\infty)(\Omega)$, nous montrons que nous pouvons trouver une solution dans $\Lambda^(\frac(1)(2),1)(\Omega)$. Il est assez naturel de pouvoir y arriver puisque notre solution est construite afin de dominer les aspects géométriques des domaines.

La théorie d'invariants de type fini des 3-variétés et leurs entrelacs de Goussarov-Habiro repose sur le calcul de claspers, un ensemble d'outils de calcul topologique. Dans cette thèse, on calcule explicitement les invariants en bas degré pour certaines classes d'objets, par une méthode dite graphique. Nous étudions ainsi les cylindres d'homologie sur une surface à 0 ou 1 composante de bord et les string-links framés des boules d'homologie. Leurs invariants de degré 1 sont caractérisés en termes d'invariants classiques, et une correspondance est établie entre les deux cas. On regarde aussi les invariants de Vassiliev des string-links, du point de vue des claspers. Le calcul des invariants de degré 2 implique la construction d'un certain invariant des string-links à 2 cordes. Le lien entre invariants de Vassiliev et de Goussarov-Habiro est étudié pour les string-links.

En 1984 Jones découvrit son invariant polynomial, qui ne ressemblait à aucun concept connu auparavant. En quelques années cette découverte a provoqué l'invention de nombreux autres invariants polynomiaux et des invariants dits quantiques ou de type fini, issus des représentations du groupe des tresses et souvent inspirés par des analogies avec la physique théorique. Malgré leurs mérites pour la théorie des nœuds et des 3-variétés, ces invariants restent peu compris du coté de la topologie algébrique, et parfois de la topologie tout court. Ce mémoire présente et discute quelques éléments de réponse.

M. Goussarov et K. Habiro ont introduit au milieu des années 90 une théorie d'invariants de type fini pour les 3-variétés compactes orientées. Dans cette thèse, nous raffinons la théorie de Goussarov-Habiro aux cas où ces variétés sont équipées de structures spinorielles ou spinorielles complexes. Dans le cas des 3-variétés fermées spinorielles, nous caractérisons géométriquement les invariants de degré 0 en révélant le rôle joué par certaines formes quadratiques. Nous montrons aussi que l'invariant de Rochlin des 3-variétés spinorielles est un invariant de type fini de degré 1. Nous nous intéressons ensuite aux cylindres d'homologie au-dessus d'une surface compacte orientée avec 0 ou 1 composante de bord. En nous aidant du raffinement spinoriel de la théorie de Goussarov-Habiro, nous caractérisons les invariants de degré 1 des cylindres d'homologie. Dans le cas des 3-variétés spinorielles complexes, nous donnons une caractérisation géométrique des invariants de degré 0. Celle-ci s'exprime par une fonction quadratique canoniquement associée à toute 3-variété fermée spinorielle complexe. Enfin, nous calculons la variation subie par la torsion abélienne de Reidemeister-Turaev d'une 3-variété fermée spinorielle complexe, lorsque celle-ci est twistée le long d'une surface fermée connexe scindante par un difféomorphisme agissant trivialement en homologie. Nous en déduisons en particulier que, dans un sens restreint, la torsion abélienne de Reidemeister-Turaev est multiplicativement un invariant de type fini de degré 1.

En topologie de dimension trois, les invariants de type fini se caractérisent par leur comportement polynomial vis-à-vis de certaines opérations chirurgicales qui préservent l'homologie des variétés. Motivée par l'approche perturbative des "invariants quantiques", la notion d'invariant de type fini a été initialement formulée par T. Ohtsuki qui en contruisit les premiers exemples ; les fondements théoriques des invariants de type fini ont ensuite été posés par plusieurs auteurs dont M. Goussarov et K. Habiro. Grâce à une construction de T. Le, J. Murakami & T. Ohtsuki basée sur l'intégrale de Kontsevich, on dispose pour les sphères d'homologie d'un invariant de type fini universel à valeurs diagrammatiques. Ce mémoire expose d'une manière synthétique certains aspects de la théorie des invariants de type fini, pour les variétés de dimension trois en général, et pour les cylindres d'homologie en particulier. Nous présentons notamment une extension fonctorielle de l'invariant LMO à une certaine catégorie de cobordismes, et nous appliquons ce foncteur à l'étude du monoïde des cylindres d'homologie. Nous expliquons comment nos constructions et résultats se relient aux travaux antérieurs de D. Johnson, S. Morita et R. Hain sur le groupe de Torelli d'une surface. Nous concluons par quelques problèmes et perspectives de recherche. Certains des travaux exposés dans ce mémoire ont été réalisés en collaboration avec D. Cheptea, K. Habiro et J.-B. Meilhan.

Un nœud est un plongement du cercle dans une variété de dimension 3. Dans la sphère S3 , les nœuds peuvent être codés combinatoirement par des diagrammes de Gauss. Ceux-ci peuvent être étudiés indépendamment, en oubliant les véritables nœuds: c'est ce qu'on appelle la théorie des nœuds virtuels. En première partie nous définissons une version générale de nœuds virtuels, dépendant d'un groupe G muni d'un morphisme à valeurs dans Z/2. Lorsque ces paramètres sont bien choisis, la théorie obtenue généralise les nœuds dans une surface épaissie quelconque (c'est-à-dire un fibré en droites réelles sur une surface). Outre l'encodage des nœuds, les diagrammes de Gauss sont aussi un outil puissant pour décrire les invariants de type fini de Vassiliev. En seconde partie, nous donnons un ensemble complet de critères pour détecter ces invariants. Notamment, le critère d'invariance sous Reidemeister III est une réponse positive à une conjecture de M.Polyak. Parmi les exemples donnés figure une nouvelle preuve et une généralisation du théorème de Grishanov-Vassiliev sur les invariants par chaînes planaires. La troisième partie est une ébauche de plan visant à trouver un algorithme pour décider si un diagramme donné dans l'anneau R × S1 représente une tresse fermée dans le tore solide, à isotopie près. La première étape est franchie, consistant à trouver un critère reconnaissant les diagrammes de Gauss des tresses fermées. Nous conjecturons que ce critère suffit pour les diagrammes à nombre minimal de croisements, et proposons des pistes dans cet objectif. La dernière partie est un travail commun avec T.Fiedler, explorant les propriétés d'objets non génériques liés à l'espace de toutes les immersions du cercle dans R3 . Cet espace est de dimension infinie, stratifié par le degré de non généricité des immersions. Alors que la théorie de Vassiliev se cantonne à l'étude des strates contenant uniquement des points doubles ordinaires, ici nous interdisons ces points doubles et autorisons uniquement un certain type de points triples. Nous montrons que l'espace qui en résulte n'est pas simplement connexe en exhibant un 1-cocycle non trivial. Une pondération de ce 1-cocycle fournit une nouvelle formule pour l'invariant de Casson des nœuds.

Cette thèse traite de l'étude des objets reliés au codage de Bowen-Series du flot géodésique pour des surfaces hyperboliques de volume fini. On démontre d'abord que le billard géodésique associé à domaine fondamental "even corners" d'un groupe fuchsien cofini est conjugué à une bijection du tore, appelée codage étendu, dont l'un des facteurs est la transformation de Bowen-Series. L'intérêt principal de cette conjugaison est qu'elle ne fait toujours intervenir qu'un nombre fini d'objets. On retrouve ensuite des résultats classiques sur le codage de Bowen-Series : il est orbite-équivalent au groupe, ses points périodiques sont denses, et ses orbites périodiques sont en bijection avec les classes d'équivalence d'hyperboliques primitifs du groupe ; ce qui permet finalement de relier sa fonction zeta de Ruelle à la fonction zeta de Selberg. Les preuves de ces résultats s'appuient sur un lemme combinatoire qui abstrait la propriété d'orbite-équivalence à des familles de relations qui peuvent être définies sur tout ensemble sur lequel agit le groupe. Il est aussi possible de conjuguer le codage étendu à un sous-shift de type fini, sauf pour un ensemble dénombrable de points. Enfin, on prouve que les distributions propres pour la valeur propre 1 de l'opérateur de transfert sont les distributions de Helgason de fonctions propres du laplacien sur la surface, puis que l'on peut associer à toute telle distribution propre une fonction propre non triviale de l'opérateur de transfert et que ce procédé admet un inverse dans certains cas

Cette thèse présente une nouvelle optimisation de l'interprétation fonctionnelle (dite "Dialectica") de Gödel pour l'extraction de programmes plus efficaces à partir de preuves arithmétiques et même analytiques (classiques). La version dite "légère" de Dialectica se combine aussi et encore plus facilement avec l'optimisation dite "monotone" de Kohlenbach sur l'interprétation fonctionnelle de Gödel pour l'extraction de majorants et marges plus efficaces à partir de preuves monotones (classiques). La Dialectica légère est obtenue par l'adaptation des quantificateurs "uniformes" (sans signification computationnelle) de Berger. En plus, sa présentation est faite dans le style de la Déduction Naturelle, comme amélioration de l'adaptation récente de Jørgensen s! ur la Dialectica originelle de Gödel. Un bon nombre d'exemples concrèts sont traités sur l'ordinateur par la nouvelle technique d'extraction de programmes. La comparaison en machine avec la technique de synthèse de programmes appelée "A-traduction raffinée" de Berger, Buchholz et Schwichtenberg montre une très bonne performance de la Dialectica légère. Cette dernière n'est dépassée que dans le cas du Lemme de Dickson. Nous développons aussi la théorie de la synthèse de programmes efficaces, de complexité calculatoire polynômiale en temps, par la nouvelle Dialectica légère (monotone). Dans ce but nous métissons deux structures préexistantes de Cook-Urquhart-Ferreira et respectivement Kohlenbach pour obtenir une "Analyse bornée par des polynômes en temps". Ici, le résultat théorique est prometteur mais des exemple! s pratiques restent encore à trouver pour montrer la diff! ére nce de cette structure par rapport à l'"Analyse bornée par un polynôme" de Kohlenbach.

Cette thèse porte sur les invariants des sphères d'homologie entière de dimension 3, et en particulier sur les invariants de type fini pour la filtration de Goussarov-Habiro.<br />Dans une première partie, on étudie la variation d'un invariant de degré 2n après chirurgie le long d'une surface par un élément du 2n-ième terme de la série centrale descendante du groupe de Torelli. Dans le cas d'un commutateur de 2n éléments du groupe de Torelli, on exprime cette variation en fonction de l'homomorphisme de Johnson évalué sur ces 2n éléments et du système de poids de l'invariant.<br /><br />Le calcul des claspers de Goussarov-Habiro donne des équivalences topologiques entre des chirurgies sur des corps en anses plongés dans les variétés. Ce calcul a déjà permis de préciser le comportement des invariants de type fini lors de nombreuses modifications topologiques. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à un raffinement de ce calcul. Ce raffinement est ensuite appliqué à l'obtention d'une formule de chirurgie géométrique sur les noeuds pour les invariants de degré 4, c'est-à-dire que l'on exprime la variation d'un tel invariant après chirurgie sur un noeud en fonction d'invariants de courbes tracées au voisinage d'une surface de Seifert de ce noeud.

En 1998, R. Gompf a défini un invariant homotopique des champs de plans orientés des 3-variétés fermées orientées. Cet invariant est défini pour les champs de plans orientés xi; de toute 3-variété fermée orientée M dont la première classe de Chern c_1(xi) est un élément de torsion de H_2(M;Z). Dans le premier chapitre de la thèse, nous définissons une extension de l’invariant de Gompf pour toutes les 3-variétés compactes orientées à bord et nous étudions ses variations lors de chirurgies lagrangiennes. Il en résulte que l’invariant de Gompf étendu peut être vu comme un invariant de type fini de degré 2.L’invariant Théta est un invariant de variétés de dimension 3 parallélisées qui provient de la partie de degré 1 du développement perturbatif de la théorie de Chern-Simons. G. Kuperberg et D. Thurston ont identifié l’invariant Théta(M,tau) d’une sphère d’homologie entière M munie d’une parallélisation tau; à lambda_cw(M) + 1/4·p_1(tau) où lambda_cw désigne la généralisation de Walker de l’invariant de Casson et p_1 est un invariant de la parallélisation définie à partir d’une première classe de Pontrjagin. C. Lescop a étendu l’invariant Théta aux sphères d’homologie rationnelle munies d’une classe d’homotopie de combings et elle a montré que pour toute sphère d’homologie rationnelle M munie d’un combing X, la formule Théta(M,[X]) = 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]) était encore valable pour une extension ad hoc des nombres de Pontrjagin aux combings. Elle a aussi donné une formule combinatoire pour l’invariant Théta d’une sphère d’homologie rationnelle présentée par un diagramme de Heegaard et munie d’un combing associé au diagramme, et elle a démontré combinatoirement que cette formule définit un invariant homotopique des couples (M,[X]). Dans le prolongement de ce travail, le deuxième chapitre de la thèse présente une preuve combinatoire de la décomposition de cet invariant combinatoire comme 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]). Cette preuve repose sur la théorie des invariants de type fini des sphères d’homologie rationnelle relativement aux chirurgies lagrangiennes établie par D. Moussard en 2012 / In 1998, R. Gompf defined a homotopy invariant of oriented 2-plane fields in 3-manifolds. This invariant is defined for oriented 2-plane fields xi in a closed oriented 3-manifold M when the first Chern class c_1(xi) is a torsion element of H_2(M;Z). In Chapter I, we define an extension of the Gompf invariant for all compact oriented 3-manifolds with boundary and we study its iterated variations under Lagrangian-preserving surgeries. It follows that the extended Gompf invariant has degree two for a suitable finite type invariant theory.The Theta-invariant is an invariant of parallelized 3-manifolds constructed from the degree one part of the perturbative expansion of Chern–Simons theory. G. Kuperberg and D. Thurston identified the invariant Theta(M,tau) of a rational homology 3-sphere M equipped with a parallelization tau with 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1(tau) where lambda_cw denotes Walker’s generalization of the Casson invariant and where p_1 is an invariant of parallelizations defined using a first Pontrjagin class. C. Lescop extended the Theta-invariant to rational homology 3-spheres equipped with a homotopy class of combings and she showed that for all rational homology 3-sphere M equipped with a combing X, the relation Theta(M,[X]) = 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]) still holds using an ad hoc extension of the Pontrjagin numbers for combings. She also gave a combinatorial formula for the Theta-invariant of a rational homology 3-sphere represented by a Heeagaard diagram and equipped with a combing associated to the diagram, and she proved that this formula defines a homotopy invariant of the pair (M,[X]), in a combinatorial way. Following this work, Chapter II presents a combinatorial proof of the decomposition of this combinatorial invariant as 3·lambda_cw(M) + 1/4·p_1([X]). This proof relies on the finite type invariant theory for rational homology 3-spheres with respect to Lagrangian-preserving surgeries established by D. Moussard in 2012