Le travail présenté dans cette thèse concerne l'analyticité et l'algébricité d'applications de Cauchy-Riemann (CR) lisse entre variétés CR analytiques ou algébriques réelles. Ce sujet a trait aux propriétés de prolongement d'applications et a récemment connu un regain d'activité. Notre contribution porte principalement sur l'étude du cas non équidimensionnel et sur le passage à la codimension supérieure à un. Dans la première partie de la thèse, nous considérons la question de l'algébricité d'une application holomorphe locale f envoyant une sous-variété algébrique réelle générique minimale M de Cn, n > 1, dans un sous-ensemble algébrique réel M' de Cn'. Ce problème a pour origine les travaux de Poincaré (1907), et plus récemment de Webster (1977). L'introduction de "variétés caractéristiques" associées à la fois aux ensembles M et M' et à l'application f nous permet de donner deux nouvelles conditions pour que f soit algébrique. Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le problème de l'analyticité d'une application CR lisse f : M -> M' entre une sous-variété analytique réelle générique minimale M de Cn, n>1, et un sous-ensemble analytique réel M' de Cn'. Nous établissons une généralisation du principe de réflexion de Lewy-Pinchuk (1975-77) et prouvons que si la variété caractéristique est de dimension zéro, f est analytique réelle. Dans la troisième partie de la thèse, nous traitons la situation plus générale où la variété caractéristique est de dimension arbitraire. Nous démontrons que si M' ne contient pas de courbe complexe, f est analytique sur un ouvert dense de M. Plus généralement, nous établissons une estimation supérieure de l'analyticité partielle de f, en fonction de la dimension maximale des feuilletages holomorphes locaux contenus dans M'.

L'ensemble des opérateurs de Cauchy-Riemann réels sur un fibré vectoriel complexe N muni d'une structure réelle cN au-dessus d'une courbe réelle est un espace affine de dimension infinie. L'union des déterminants de ces opérateurs est un fibré en droites réelles au-dessus de cet espace. L'objet de cette thèse est l'étude de l'action des automorphismes du fibré (N, cN) sur les orientations de ce fibré déterminant ainsi que de ses conséquences sur l'orientabilité des espaces de modules de courbes réelles dans une variété symplectique réelle. Nous commençons par interpréter l'action des automorphismes qui induisent l'identité sur le fibré en droites complexes det(N) en termes d'action sur les structures Pin± de la partie réelle de N. Nous remarquons ensuite qu'un automorphisme au-dessus de l'identité agit sur les classes de bordisme de structures Spin réelles de la courbe et nous utilisons cette action afin d'obtenir une description en termes topologiques de l'action sur les orientations du fibré déterminant. Enfin, pour comprendre l'action des automorphismes de (N, cN) qui ne relèvent pas l'identité, nous introduisons la notion de relevé d'un difféomorphisme de la courbe associé à un diviseur compatible avec (N, cN) et nous calculons le signe de l'action d'un tel relevé sur les orientations du fibré déterminant. Dans une dernière partie, nous appliquons les résultats obtenus à l'étude de l'orientabilité des espaces de modules de courbes réelles dans des variétés symplectiques réelles. Nous calculons en particulier la première classe de Stiefel-Whitney de l'espace de modules des courbes réelles dans l'espace projectif complexe de dimension trois.

<p>A compact Riemann surface can be realized as a quotient space $\mathcal{U}/\Gamma$, where $\mathcal{U}$ is the sphere $\Sigma$, the euclidian plane $\mathbb{C}$ or the hyperbolic plane $\mathcal{H}$ and $\Gamma$ is a discrete group of automorphisms. This induces a covering $p:\mathcal{U}\rightarrow\mathcal{U}/\Gamma$.</p><p>For each $\Gamma$ acting on $\mathcal{H}$ we have a polygon $P$ such that $\mathcal{H}$ is tesselated by $P$ under the actions of the elements of $\Gamma$. On the other hand if $P$ is a hyperbolic polygon with a side pairing satisfying certain conditions, then the group $\Gamma$ generated by the side pairing is discrete and $P$ tesselates $\mathcal{H}$ under $\Gamma$.</p>

This paper is a survey of relative elliptic theory (i.e. elliptic theory in the category of smooth embeddings), closely related to the Sobolev problem, first studied by Sternin in the 1960s. We consider both analytic aspects to the theory (the structure of the algebra of morphismus, ellipticity, Fredholm property) and topological aspects (index formulas and Riemann-Roch theorems). We also study the algebra of Green operators arising as a subalgebra of the algebra of morphisms.

A compact Riemann surface can be realized as a quotient space $\mathcal/\Gamma$, where $\mathcal$ is the sphere $\Sigma$, the euclidian plane $\mathbb$ or the hyperbolic plane $\mathcal$ and $\Gamma$ is a discrete group of automorphisms. This induces a covering $p:\mathcal\rightarrow\mathcal/\Gamma$. For each $\Gamma$ acting on $\mathcal$ we have a polygon $P$ such that $\mathcal$ is tesselated by $P$ under the actions of the elements of $\Gamma$. On the other hand if $P$ is a hyperbolic polygon with a side pairing satisfying certain conditions, then the group $\Gamma$ generated by the side pairing is discrete and $P$ tesselates $\mathcal$ under $\Gamma$.

L'objet de cette thèse consiste en la construction de nouveaux exemples de surfaces (ou hypersurfaces) minimales dans les espaces euclidiens R^3, R^n x R avec n>2 ou dans l'espace homogène S^2 x R. Nous prouvons l'existence de surfaces minimales dans R^3 arbitrairement proches d'un polygone convexe. Nous prouvons également l'existence d'hypersurfaces minimales de type Riemann dans R^n x R, n>2. Celles-ci peuvent être interprétées comme étant une famille d'hyperplans horizontaux (des bouts) reliés les uns aux autres par des morceaux de caténoïdes déformés (des cous). Nous donnons un résultat général pour ce type d'objet quand il est périodique ou bien quand il a un nombre fini de bouts horizontaux. Cela se fait sous certaines hypothèses de contraintes sur les forces intervenant dans la construction. Nous finissons en donnant plusieurs exemples, notamment l'existence d'une hypersurface de type Wei verticale qui n'existe pas en dimension 3. Nous donnons aussi la preuve de l'existence d'une surface minimale de type Riemann dans S^2 x R telle que deux bouts sphériques sont reliés entre eux alternativement par 1 cou et 2 cous. Là aussi, nous mettons en évidence le rôle joué par les forces lors de la construction. De même que dans le chapitre précédent, la méthode repose sur un processus de recollement. Nous donnons une description très précise de la caténoïde et la surface de Riemann dans S^2 x R. Enfin, nous établissons l'existence dans R^n x R d'hypersurfaces de type Scherk lorsque n>2

Cette thèse est centrée sur l'étude des disques analytiques attachés à une sous-variété. <br /><br />Dans une première partie, nous obtenons une paramétrisation explicite d'une famille particulière de disques holomorphes attachés à différents types d'hypersurfaces réelles non-dégénérée de $\C^n$. Ces disques sont invariants sous l'action des biholomorphismes. Nous utilisons cette paramétrisation pour construire une représentation circulaire de l'hypersurface, ce qui donne également des propriétés d'unicité pour les biholomorphismes.<br /><br />Dans une seconde partie, nous considérons les applications pseudo-holomorphes propres entre domaines bornés strictement pseudoconvexes de variétés presque complexes. Nous montrons qu'une telle application se prolonge au bord. Nous établissons le lien entre la régularité hölderienne de l'application au bord et la régularité des structures presque complexes, et nous donnons des estimations explicites des normes hölderiennes.

Thèse doctorat : Mathématiques : Nancy 1 : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre.

The study of coherent states (CS) for a quantum mechanical system has received a lot of attention. The definition, applications, generalizations of such states have been the subject of work by researchers. A common starting point of all these approaches is the observation of properties of the original CS for the harmonic oscillator. It is well-known that they are described equivalently as (a) eigenstates of the usual annihilation operator, (b) from a displacement operator acting on a fundamental state and (c) as minimum uncertainty states. What we observe in the different generalizations proposed is that the preceding definitions are no longer equivalent and only some of the properties of the harmonic oscillator CS are preserved. In this thesis we propose to study a new class of coherent states and its properties. We note that in one example our CS coincide with the ones proposed by Glauber where a set of three requirements for such states has been imposed. The set of our generalized coherent states remains invariant under the corresponding time evolution and this property is called temporal stability. Secondly, there is no state which is orthogonal to all coherent states (the coherent states form a total set). The third property is that we get all coherent states by acting on one of these states ['fiducial vector'] with operators. They are highly non-classical states, in the sense that in general, their Bargmann functions have zeros which are related to negative regions of their Wigner functions. Examples of these coherent states with Bargmann function that involve the Gamma and also the Riemann ⲝ functions are represented. The zeros of these Bargmann functions and the paths of the zeros during time evolution are also studied.

Darbe nagrinėjamas begalinio indekso homogeninis kraštinis Rymano uždavinys, kurio laipsninė eilė yra 0<ρ<1. Kiekvienoje iš klasių B ir B(ρ) ieškomas sprendinys - dalimis analizinė funkcija, kai jos ribinės reikšmės realiosios ašies taškuose tenkina kraštinę sąlygą. Darbe tiriamas šio uždavinio išsprendžiamumas ypatinguoju atveju pusplokštumei, ieškomos funkcijos, kurios analizinės viršutinėje ir apatinėje pusplokštumėse. Nagrinėjama koeficiento G(t) nulių ir polių, bei koeficiento modulio augimo įtaka uždavinio išsprendžiamumui. Taip pat tiriama priklausomybė tarp duotųjų dydžių, kuriems esant kraštinis Rymano uždavinys aprėžtų sprendinių neturi. Be to sudarytas bendrasis sprendinys, išskiriant atvejus, kai uždavinys neišsprendžiamas šiose klasėse. / This paper analyses homogeneous boundary-value problem of Riemann with the infinite index, when gradual order is 0<ρ<1. In every class - B and B(ρ) - the solution is partial analitic function, when its limit values meet the marginal condition in the points of real axis. The paper also discusses solvability of the problem in the special case for the half – plane. Moreover, functions are examinated, of which analytic upside and underside half-plane. The coefficient‘s zero and piles are analyzed as possible influential factors for the problem’s solvalibility. The paper examines dependence between given variables for which boundary-value problem of Riemann does not have limited solutions. Furthermore, general solution is presented, excluding cases when the problem is unsolvable in these classes.