Orientador : Prof. Dr. Carlos Alberto Bavastri / Coorientadora : Profª. Drª. Ana Gabriela Martinez / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Defesa: Curitiba, 25/02/2016 / Inclui referências : fls. 104-110 / Resumo: A instabilidade presente em sistemas girantes com rotações elevadas é uma das principais causas de graves problemas nos mesmos, podendo levar o rotor a falhas catastróficas ou desgastes prematuros de seus componentes. Uma forma de reduzir este problema em dinâmica de rotores é a adição de amortecimento nos mancais. O uso de materiais viscoelásticos (MVEs) em controle de vibrações, seja através de isolamento ou neutralizadores dinâmicos, tem sido aplicado com relativo sucesso já há alguns anos, pois além da elevada capacidade de dissipar energia vibratória, os MVEs possuem baixos custos iniciais de implementação e de manutenção. Porém, os modelos utilizados para descrever o comportamento dinâmico destes materiais com exatidão no domínio da frequência, levam a matrizes de rigidez complexas, em função da frequência e da temperatura. Uma forma de constatar a instabilidade de um sistema é verificar a parte real dos autovalores associados a este tipo de problema. No presente caso, a dinâmica destes sistemas deve ser resolvida no espaço de estado, um espaço dimensional, onde é o número de graus de liberdade ou frequências naturais. Em modelos numéricos que utilizam matrizes com coeficientes reais, é possível observar, no espaço de estado, que os autovalores aparecem com multiplicidade dupla em pares complexos conjugados. Por outro lado, quando utilizado o modelo de derivadas fracionárias para descrever o comportamento dinâmico de materiais viscoelásticos (polímeros, borrachas, entre outros), a matriz de rigidez possui coeficientes complexos. Neste caso, os autovalores, que devem estar relacionados de alguma forma pela redundância de informação, podem aparecer repetidos e em pares complexos conjugados, e/ou em pares complexos e seu oposto. Sendo assim, uma simples inspeção na parte real dos autovalores não pode mais ser realizada, já que os códigos numéricos não poderiam determinar quem é o autovalor e quem é o oposto. Dentro deste contexto, o objetivo deste trabalho é propor um método para estimar com exatidão a instabilidade dinâmica de rotores quando os mesmos são compostos com materiais viscoelásticos. Para tal, é proposto o acompanhamento da trajetória dos autovalores no plano de Laplace. Partindo de um ponto de equilíbrio, quando o autovalor cruzar o eixo da parte imaginária, o sistema se tornará instável. Para corroborar esta proposta, é considerado um sistema com amortecimento histerético, que é solucionado no domínio do tempo para algumas velocidades de rotação predeterminadas. Com isto, o método apresenta resultados satisfatórios, ao ser analisado um caso particular. Palavras-chave: Instabilidade. Rotor. Autovalor. Material viscoelástico. / Abstract: The instability in high-speed rotors is one of the main causes of their problems, which may lead to catastrophic rotor failure or premature weakening. One way to reduce this problem is the addition of damping in the bearings. The use of viscoelastic materials (VEM) for vibration control, either through isolation or dynamic neutralizers, has been applied with relative success in the last years, because, besides its high capacity to dissipate vibrational energy, the VEM have lower initial costs of implementation and maintenance. However, the models used to describe the dynamic behavior of such materials with accuracy lead to complex stiffness matrices as function of frequency and temperature. One way to verify the instability of a system is to check the real part of the associated eigenvalues. In this case, this problem should be solved in the state space, a dimensional space, where is the number of degrees of freedom or natural frequencies. In numerical models involving matrices with real coefficients, it is possible to observe in the state space that the eigenvalues appear with double multiplicity and complex conjugate pairs. On the other hand, when using the fractional-derivative model describing the dynamic behavior of viscoelastic materials (polymers, rubbers and so on) the matrix has complex coefficients. In this case, the eigenvalues should be in some way related by redundant information that may appear in complex conjugate pairs and repeated, and also in complex and opposite pairs, as has been observed in some numerical simulations and previous work. If this is the case, a simple inspection of the real part of the eigenvalues cannot be performed, since the numeric codes could not determine which eigenvalue is physically relevant. Within this context, the aim of this work is to propose a method for accurately estimate the dynamic instability of rotors when they are built with viscoelastic materials. For that, it is proposed to monitor the trajectory of eigenvalues in Laplacian plan. Starting from an equilibrium point, when the trajectory of eigenvalues crosses the axis of the imaginary part, the system will become unstable. To confirm this proposal, it is considered a system with hysteretic damping, which is solved in the time domain to some pre-determined speed. Thus, the method shows satisfactory results, when taken into account a special case. Key-words: Instability. Rotor. Eigenvalue. Viscoelastic material.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:28:33Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2011-02-14Bitstream added on 2014-06-13T18:57:52Z : No. of bitstreams: 1 agostini_ce_me_bauru.pdf: 983936 bytes, checksum: 820b8b8253ca5eab2b12c27892c83928 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho, analisaram-se as freqüencias natuais (axiais, torsionais e de flexão) e as respostas em frequencia de um rotor vertical com um disco rígido na extremidade através da análise modal clássica e complexa. A equação que governa o movimento foi obtida através da formulação Lagrangeana. O modelo considerou os efeitos à flexão, torção e deformação axial do eixo, além dos efeitos giroscópicos e gravitacionais. o método dos elementos finitos foi utilizado para discretização da estrutura em elementos cilíndricos vazados com 12 graus de liberdade. As matrizes de massa, rigidez e giroscópia foram explicitadas de forma consistente. A análise modal tradicional, normalmente aplicada a estrutura estacionárias, não considera uma importante característica das máquinas rotativas que são os modos de precessão direta e retrógrada. Inicialmente, através da análise modal clássica, foram obtidas as frequencias naturais axionais e torsionais no eixo estacionário, já que estas não sofrem influência dos efeitos giroscópicos. Posteriormente a investigação foi executada através da análise modal complexa. Este tipo de ferramenta, que se baseia na utilização de coordenadas direcionais para descrever o comportamento dinâmico do eixo rotativo, permite a decomposição dos modos do sistema em dois submodos, sendo um direto e outro retrógrado. Dessa forma, consegue-se visualizar de maneira clara a órbita e a direção do movimento precessional em torno da linha não deformada do eixo rotativo. Um programa de elementos finitos foi desenvolvido utilizando o software MATLAB e simulações numéricas foram efetuadas de forma a validar o modelo construído. Foram obtidas as frequencias naturais e a resposta forçada em frequencia direcional (dFRF), com o uso da análise modal complexa, para um rotor vertical simples e também para uma coluna de perfuração típica utilizada na construção de poços de petróleo / In this study, natural frequencies were analyzed (axial, torsional and flexural) and frequency response of a vertical rotor with a hard disk at the edge through the classical modal and complex analysis. The equation that rules the movement was obtained through the Lagragian formulation. The model considered the effects of bending, torsion and axial deformation of the shaft, besides the gravitational and gyroscopic effects. The finite element method was used to discretize the structure into hollow cylindrical elements with 12 degrees of freedom. Mass, stiffness and gyroscopic matrices were explained consistently. The classical modal analysis, usually applied to stationary structures, does not consider an important characteristic of rotating machinery which are the method of forward and backward whirl. Initially, through the traditional modal analysis, axial and torsional natural frequencies were obtained in a static shaft, since they do not suffer the influence of gyroscopic effects. Later research was performed by complex modal analysis. This type of tool, based on the use of complex coordinates to describe the dynamic behavior of rotating shaft, allows the decomposition of the system in two submodes, backward and forward. Thus, it is possible to clearly visualize that the orbit and direction of the precessional motion around the line of the precessional motion around the line of the rotating shaft is not deformed. A finite element program was developed using MATLAB, and numerical simulations were performed to validate this model. Natural frequencies and directional frequency forced response (dFRF) were obtained using the complex modal analysis for a simple vertical rotor and also for a typical drill string used in the construction of oil wells

Orientador : Prof. Dr. Carlos Alberto Bavastri / Tese (doutorado) - Universidade Federal do Paraná, Setor de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. Defesa: Curitiba, 06/05/2016 / Inclui referências : f. 117-122 / Área de concentração : Mecânica dos sólidos e projeto mecânico / Resumo: A atual demanda por eficiência energética torna necessária a utilização de controle de vibrações em máquinas rotativas. Técnicas de controle para tais máquinas vem sendo desenvolvidas ao longo das últimas décadas, contudo, uma alternativa é a utilização de suportes compostos por materiais viscoelásticos (SVEs), devido ao seu baixo custo e à elevada capacidade de dissipar energia vibratória. Porém, a utilização de SVEs é incipiente, devido provavelmente às abordagens clássicas de modelagem matemática largamente utilizadas para tais dispositivos. Por uma razão de simplificação matemática, muitos trabalhos abordam SVEs utilizando modelos matemáticos, para os MVEs, pouco precisos como: Maxwell, Kelvin-Voigt, Zenner, GHM, e inclusive modelos independentes da frequência e temperatura; os quais, em uma ampla faixa de frequência e temperatura tem precisão inferior aos modelos fracionários, desde que a comparação seja baseada no mesmo número de parâmetros materiais. Inclusive, nesses trabalhos, é evidente a necessidade de adicionar graus de liberdade ao sistema devido à inclusão dos SVEs, fato que dificulta a otimização dos mesmos, sendo, desse modo, negligenciada na maioria dos trabalhos. Ainda, não são observadas modelagens dos GDL angulares nos suportes, assim como a inclusão de massas adicionais com o objetivo de aprimorar o controle passivo de vibrações. Assim, dentre as contribuições deste trabalho destaca-se a proposição de uma metodologia baseada no método de (PEG) parâmetros equivalentes generalizados que evita a adição de GDL ao modelo, e de forma precisa, possibilita levantar a resposta em frequência do sistema rotor-SVE com reduzido tempo computacional, permitindo, por consequência, a otimização dos SVEs em função da minimização da resposta em frequência do sistema. Essa metodologia propõe ainda a parametrização dos GDL dos SVEs (translativos e angulares) de maneira independente, assim como a adição de massas translativas e/ou inércias rotativas como forma de aprimorar o controle passivo de vibrações, tratando os SVEs como estruturas complexas de controle de vibrações em máquinas rotativas. Para tal, o rotor é modelado através do método dos elementos finitos com formulação de Timoshenko e o material viscoelástico através do modelo de derivadas fracionárias com quatro parâmetros. Os GDL dos SVEs são devidamente parametrizados em ambos os modelos de inserção destes no sistema de equações, nomeadamente, acréscimo de GDL e PEG, e por sua vez o método de otimização adotado combina algoritmos genéticos e Nelder Mead. Simulações numéricas são realizadas para investigar a influência no controle e transmissibilidade do sistema, em razão da consideração dos GDL de translação e rotação individualmente e de maneira combinada. Um protótipo com parâmetros ótimos é construído e testado experimentalmente, demonstrando que a metodologia proposta é capaz de predizer de maneira precisa o comportamento dinâmico de sistemas rotor-SVEs provendo excelente capacidade de controle de vibrações em termos de amplitude da resposta ao desbalanceamento e transmissibilidade. Palavras-chave: Dinâmica de rotores. Suportes viscoelásticos. Cálculo fracionário. Otimização híbrida. Elementos finitos. / Abstract: The present energy efficiency demand establishes the need of vibration control in rotating machinery. Vibration control techniques for such machines are available, however, a low cost alternative is the use of viscoelastic supports (VES) due to its high ability to dissipate vibrational energy. Nonetheless the modest use of VES may be explained by the widely use of classical approaches for the mathematical modeling of such devices. Its noticed the frequent use of classical viscoelastic models - like Maxwell, Kelvin-Voigt, Zenner, GHM models and even frequency/temperature independent models - but they lack the accuracy of fractional models in a large range of frequency and temperature regarding the same number of material parameters. Even in those works, the need to add degrees of freedom to motion equations due to VES is evident, in fact, this causes a slow computation performance regarding the optimization of SVEs, which is also neglected in most studies. In addition, the angular DOFs modelling in VES as well as the inclusion of additional masses/inertias in order to improve the vibration control are not observed in those works. Thus arises the demand for the development of a fast and accurate general methodology to optimize VES with n DOF properly parameterized (translational and angular), in order to minimize the vibration response of rotating systems with multiple DOF. This thesis presents a robust methodology based mainly on generalized equivalent parameters (GEP) - for an optimal design of viscoelastic supports for rotating machinery - aiming at minimizing the unbalance frequency response of the system using a hybrid optimization technique (genetic algorithms and Nelder- Mead method). For this purpose the rotor is modeled based on the finite element method using Timoshenko's thick beam formulation, and the viscoelastic material is modeled based on the four-parameter fractional derivatives. The DOF of VES are properly parameterized in both models of VES, adding DOF and GEP. Numerical simulations are performed to investigate the influence of translational and angular DOF of VES - considered individually and combined - on systems vibration control and transmissibility. A prototype of VES is built with optimal parameters and subjected to experimental tests, which demonstrated that the proposed methodology is fully capable to provide accurate prediction of the dynamics behavior of rotor-VES systems as well as to control the vibrational response in terms of amplitude and transmissibility. Keywords: Rotordynamics. Viscoelastic supports. Fractional calculus. Hybrid optimization. Finite elements.

Made available in DSpace on 2015-03-03T11:52:36Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-09-02Bitstream added on 2015-03-03T12:06:23Z : No. of bitstreams: 1 000804878.pdf: 2650434 bytes, checksum: ef9e16c1a0c4300c6e8f770cf0a58ed0 (MD5) / Esta tese apresenta o desenvolvimento de uma metodologia de otimização dinâmica e estrutural para rotores com eixos em material compósito. A dinâmica destes rotores difere das análises convencionais devido à existência de amortecimento interno no eixo. As equações de movimento destes rotores apresentam a influencia do amortecimento interno sobre o comportamento dinâmico dos rotores. Materiais compósitos podem ser manufaturados em diferentes sequências de laminação. Para obter as melhores propriedades mecânicas, que possibilitem aos rotores operarem, em condições de estabilidade dinâmica e de esforços estruturais, foi necessário o desenvolvimento de uma metodologia de otimização para obter o melhor projeto. Para a aplicação desta metodologia foi desenvolvido um algoritmo de otimização. Para fundamentar este desenvolvimento foram revisados conceitos da teoria clássica de laminação, dos modelos de amortecimento estrutural, da dinâmica de rotores com amortecimento interno, de elementos finitos e dos métodos de otimização. O método de otimização escolhido foi o genético. Dentro do algoritmo de otimização foram inseridos módulos de análise para calcular as propriedades equivalentes, de avaliação estrutural por critérios de falha e de análise dinâmica de rotores. Diferentes simulações demonstraram a importância da sequência de laminação sobre a dinâmica dos rotores. Dentre os resultados finais estão simulações de otimizações e uma análise dos principais parâmetros que influenciam a obtenção de soluções ótimas pela otimização / This thesis presents a development on dynamic and structural optimization method (multiobjective) for rotors mount on composite shafts. The dynamic analysis of these rotors differs from conventional analysis due to the existence of internal damping in the shaft. The equations of motion for these rotors represent the influence of internal damping on the dynamic behavior of the rotor system. Composite materials can be manufactured using different layups. To obtain the best mechanical properties, which allow rotors to operate in stability dynamic and allowable efforts structural conditions, it was necessary to develop a methodology for design optimizing. For the application of this methodology an optimization algorithm was developed. To support this development were reviewed: the classical lamination theory, models of structural damping, rotor dynamics with internal damping, finite elements and optimization methods. The optimization method chosen was algorithm genetic. Within the optimization algorithm were inserted analysis modules responsible for: calculate the equivalent properties, evaluate structurally by failure criteria and analyze the dynamics of the rotors. Several simulations have demonstrated the importance of the layup for rotor dynamics. Among the final results from optimization simulations, there are discussions about the influence of the each optimization parameters that influence the achievement of optimal solutions

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:14Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2004-09-30Bitstream added on 2014-06-13T18:31:09Z : No. of bitstreams: 1 caldiron_l_me_ilha_prot.pdf: 995296 bytes, checksum: dc02ada2316a49ff3c8fd3dca71338ba (MD5) / Neste trabalho são otimizadas rotinas computacionais de um método de estimação de rigidez de mancais de máquinas através de um processo de ajuste de modelo, utilizando a análise de sensibilidade. Este método consiste em utilizar a análise de sensibilidade dos autovalores com relação à variação da rigidez dos mancais de um rotor. A eficácia e a robustez do método são analisadas através de simulações teóricas, bem como através de dados experimentais obtidos de um rotor de rotação variável e rigidezes dos mancais ajustáveis. O modelo matemático de ajuste do sistema é desenvolvido pelo método dos elementos finitos e o método de ajuste converge empregando-se um processo iterativo. Este método de ajuste baseia-se na minimização da diferença entre autovalores experimentais e autovalores obtidos com o modelo matemático de ajuste a partir de valores de rigidez dos mancais previamente adotados. A análise é feita com o rotor em diversas velocidades de rotação para verificar a influência do efeito giroscópio, e em diversas condições de valores da rigidez dos mancais para analisar o método quando aplicado em rotores flexíveis e em rotores rígidos. O desempenho do método é analisado com resultados teóricos e experimentais. / In this work, computational routines of estimation method of stiffness bearing of machine via a model updating process are optimized, using the sensitivity analysis. This method consists of using the eigenvalue sensitivity analysis, relating to the stiffness bearing variation of a rotor. The efficacy and the robustness of the method are analyzed through the theoretical simulations, as well as, based on the experimental data obtained of a test rotor with variable rotating speeds and adjustable bearing stiffness values. The mathematical model system is developed by the finite element method and the method of adjustment should converge employing an iterative process. The method of adjustment is based on the minimization of the difference between experimental eigenvalues and eigenvalues obtained via mathematical model from previously adopted stiffness bearing values. The analysis is made by using the rotor in different rotating speeds in order to check the influence of the gyroscopic effect, and in several conditions of the stiffness bearing values to analyze the method when applied on flexible and rigid rotors. The performance of the method is analyzed through theoretical and experimental results.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:14Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-03-03Bitstream added on 2014-06-13T18:31:08Z : No. of bitstreams: 1 goncalvesjr_r_me_ilha.pdf: 1793490 bytes, checksum: 31bd12dfbef20fead2490b33aa2d1148 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Este trabalho apresenta uma análise teórica do desempenho de um sistema de controle ativo de vibração de rotores utilizando mancais magnéticos. O esquema de controle ativo proposto utiliza a estratégia de controle ativo feedforward sobreposta ao sistema de controle feedback dos mancais magnéticos. O desempenho desse sistema de controle foi analisado em função da flexibilidade dos rotores considerando o impacto do número e da localização dos atuadores e dos sensores de erro sobre a redução dos níveis de vibração desses rotores, tanto em termos de vibração global quanto em termos de vibração local. O sistema de controle foi aplicado em um modelo teórico de rotor desenvolvido através do método da matriz de impedância. / This work presents a theoretical analysis of the performance of a system of active control of rotor vibrations using magnetic bearings. The proposed scheme of active control uses a feedforward active control strategy superimposed on the feedback control system of the magnetic bearings. The performance of this control system was analyzed as a function of the rotor flexibility considering the impact and optimization of the actuators and error sensors placement on the reduction of vibration levels of these rotors, in terms of global vibration as well as in terms of local vibration of the rotor. The control system was applied to a theoretical rotor model developed by the matrix impedance method.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:13Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-08-14Bitstream added on 2014-06-13T18:31:06Z : No. of bitstreams: 1 perini_ea_me_ilha.pdf: 25219962 bytes, checksum: af8e5bb5738ecda8c45a59f9677a5507 (MD5) / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / Este trabalho apresenta o desenvolvimento de uma análise teórica do desempenho de um sistema de controle ativo utilizando mancais magnéticos como atuadores de não-contato para a redução de vibrações em rotores. São analisados três modelos de rotores, sendo que em um deles aplica-se apenas o controle feedback e os outros são suportados apenas por mancais magnéticos, os quais também são os atuadores do controlador. Assim, Luna arquitetura de controle tipo feedforward é empregada sobreposta ao sistema de controle feedback dos atuadores nestes dois modelos, sendo urna análise realizada em relação ao desempenho do sistema de controle quanto às diferentes geometrias de distribuição de massa acopladas ao eixo do rotor. O enfoque principal deste trabalho é voltado para a análise do desempenho do sistema de controle em função da posição e quantidade dos sensores de erro (onde se deseja minimizar as vibrações) em relação à posição dos atuadores e das forças de excitação. As excitações são do tipo síncronas e sub-síncronas que normalmente aparecem em rotores com elevadas velocidades de rotação, como as turbomáquinas. Também é realizada urna análise das forças de controle necessárias a serem aplicadas pelos atuadores para se obter urna redução dos níveis de vibração do rotor na posição dos sensores de erro do sistema feedforward. A análise é executada empregando modelos de rotores desenvolvidos pelo método da matriz de impedância. Esta pesquisa também apresenta Luna aplicação da técnica de controle Feedforward em acústica, que realiza a depuração da voz para comunicação em ambientes ruidosos. / This research work brings a theoretical analysis of a control system performance that uses magnetic bearings as non-contact actuators to reduce rotor vibrations. It is analyzed three rotor models, in which one of them operates under the feedback control only. The other models are supported by magnetic bearings only, which also are the controller system actuators. Thus, a feedforward control scheme is applied over the feedback control inherent to the AMB control circuit. The analysis is carried out over these two last models regarding to the control performance for different geometry of mass distribution along the rotor. The focus of this work is to analyze the controller performance according to the sensor quantity and placement (where the vibrations are desired to be minimized) regarding to the actuator position and to the exciting forces. The subsynchronous and synchronous excitations are considered here since they frequently occur in high rotating speed rotors, as in the turbomachinery scenario. Also, the control force required by the actuators is monitored according to the sensors placement to reduce the local vibrations level and the analysis was carried out using the impedance matrix rotor modeling. Further, this work brings a modeling and an application of the feedforward active control scheme in the acoustics field used for voice extraction for communication in noisy environments.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:27:14Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2006-08-11Bitstream added on 2014-06-13T18:55:43Z : No. of bitstreams: 1 guirao_phf_me_ilha.pdf: 1687835 bytes, checksum: 03fd61b5a3923d210d53985b49bab6bd (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Neste trabalho apresenta-se uma análise teórica do desempenho de um sistema de controle ativo de vibrações de rotores utilizando mancais magnéticos. Trata-se de uma alternativa de controle ativo de vibrações de rotores onde um sistema adaptativo feedforward é empregado sobreposto ao sistema de controle feedback dos mancais magnéticos. O desempenho de algumas arquiteturas de controle, tanto em termos de vibração global como em vibração local do rotor, foi analisado dando ênfase na variação do ganho proporcional e derivativo do controlador PID, que compõe o circuito de controle do mancal magnético ativo. Também foi analisado o efeito da posição e do número de sensores de erro, bem como o efeito do mancal atuador utilizado, sobre o desempenho das estratégias de controle. O sistema de controle foi aplicado em um modelo teórico de rotor desenvolvido pelo método da matriz de impedância. / In this work a theoretical analysis of the performance of a system which actively controls vibrations of rotors using magnetic bearings is presented. The proposed system of control is an alternative of active control of rotor vibrations in which an adaptive feedforward system superimposed on the feedback control system of the magnetic bearings is used. The performance of some control architectures was analyzed, in terms of global vibration as in terms of local vibration of the rotor, giving emphasis in the variation of the proportional and derivative gain of the PID controller of the control circuit of the active magnetic bearings. Furthermore, the performance of the vibration control system was analyzed considering the effect of the number and position of the error sensors, as well as the effect of the magnetic bearing employed as actuator. The control system was applied in a theoretical rotor model developed by the matrix impedance method.