Die Simulation von diskretisier QCD hat sich zu einem sehr erfolgreichen Verfahren entwickelt, um nicht-perturbativen Berechnungen durchzuführen. In dieser Arbeit untersuchen wir im Detail die Zeit-Momente schwerer Quark-Korrelatoren mit hoher Präzision. Diese werden verwendet, um die QCD-Kopplung durch den Vergleich von Gitter- und Störungsberechnungen zu extrahieren. Dabei müssen diese Observablen von Energien dominiert werden, bei denen beide Methoden angewendbar sind. Genaue Abschätzungen der systematischen Unsicherheiten ist notewendig, da dies Auswirkungen auf Berechnungen von, z.B., Higgs-Zerfällen zu b-Quarks oder Gluonen und Z-Bosonen-Partialbreiten haben. Wir führen eine quenched Untersuchung der Zeitmomente durch, um im großen Volumen mit L=2fm und T=6fm mit offenen Randbedingungen, Gitterabständen von bis ca. 0.01 fm zu erreichen. Wir berechnen Momente und dabei die Kopplung und den Trunkierungsfehler für wechselnde Energie von 0.8 bis 3.5 Mal die charm Masse. Um die großen Diskretisierungseffekte zu kontrollieren, verwenden wir ein nicht-perturbativ verbessertes Wilson-Clover-Fermionen-Dublett mit einem twisted mass Term. Neben der Kopplung untersuchen wir auch ihren Verlauf bis zur unendlichen Energie, kodiert im Lambda-Parameter, und die darin enthaltenen Trunkierungsfehler. Der extrahierte Lambda-Parameter bei Energieskalen von 2 Mal die Charmmasse weist, in Bezug auf step-scaling Ergebnisse, Abweichungen in der Größenordnung von 5% bis 10% auf. Eine Extrapolation bis zum Nullwert der Kopplung ist möglich, allerdings mit einer beträchtlichen Steigung. Weitverbreitete Variationen der perturbativen Renormierungsskala zur Abschätzung des Trunkierungsfehlers scheinen hier die tatsächliche Größe der Fehler zu unterschätzen. Bei der Verwendung der Störungstheorie hoher Ordnung auf den Skalen der Flavor-Physik für die Momente der Korrelatoren schwerer Quarks ist Vorsicht geboten, da große Trunkierungsfehler auftreten können. / The simulation of discretized QCD has become a very successful method to perform non-perturbative calculations. In this work we study in detail the time-moments of heavy quark correlators with high precision. These are used to extract the QCD coupling by comparing lattice and perturbative calculations. These observables must be dominated by energies at which both methods are applicable. Accurate estimates of the systematic uncertainties are needed as this has implications for calculations of, e.g., Higgs decays to b-quarks or gluons and Z-boson partial widths. We carry out a quenched investigation of the time-moments in order to achieve lattice spacings of down to approx. 0.01 fm in large volume, L=2fm and T=6fm, with open boundary conditions. We calculate moments and thereby the coupling and the truncation error for varying energy from 0.8 to 3.5 times the charm mass. To control the large discretization effects, we use a non-perturbatively enhanced Wilson-Clover fermion doublet with a twisted mass term. In addition to the coupling, we also study its evolution to infinite energy, encoded in the lambda parameter, and the truncation errors therein. The extracted lambda parameter at energy scales of 2 times the charm mass shows deviations in the order of 5% to 10% with respect to step-scaling results. Extrapolation to the zero value of the coupling is possible, but with a considerable slope. Widespread variations of the perturbative renormalization scale to estimate the truncation error seem to underestimate the actual size of the errors here. Care should be taken when using high-order perturbation theory on the scales of flavor physics for the moments of heavy quark correlators, as large truncation errors can occur.

In dieser Arbeit studieren wir durch numerische Simulationen die Theorie der starken Wechselwirkung Quantenchromodynamik auf einem Raumzeit-Gitter (Gitter-QCD) mit vier dynamischen Quark-Flavors. In den Anfaengen der Gitter QCD wurden die Effekte der Quark-Polarisation aufgrund von technischer Begrenzung der Rechenkapazitaet vernachlaessigt und die sogennante "quenched Approximation" angewendet. Der Grund fuer die "quenched" Approximation war, dass der numerische Aufwand um die Fermion-Determinante auszuwerten die damaligen technischen Moeglichkeiten ueberstieg. In der Tat ist dies immer noch eine grosse Herausforderung fuer die numerische Simulation der QCD aber durch neue technische und algorithmische Entwicklungen kann man heutzutage die Quark-Polarisationseffekte mit mindestens zwei Quark-Flavors beruecksichtigen. Seit einigen Jahren werden solche Simulationen in verschiedenen Kollaborationen durchgefuehrt. In unserem Projekt wird die Gitter-QCD mit vier degenerierten O(a) verbesserten Wilson Quarks im Schroedinger Funktional Schema untersucht mit dem Ziel, die Energieabhaengigkeit der starken Kopplung zu berechnen. Zu diesem Zweck bestimmen wir erst den O(a) Verbesserungskoeffizienten csw mit vier Flavors und benutzen dieses Ergebnis um die Step-Scaling Funktion der QCD zu bestimmen, die das Laufen der Kopplung ueber einen grossen Skalenbereich beschreibt. Unter Benutzung eines Finite-Size Verfahrens berechnen wir den Lambda Parameter in Einheiten von einer Skala Lmax, die eine eindeutig definierte Laenge im hadronischen Bereich darstellt. Die QCD-Kopplung alpha_SF im sogenannten Schroedinger Funktional Schema wird dann ueber einen weiten Bereich der Energie bestimmt und ein Vergleich mit 2-loop und 3-loop Stoerungstheorie sowie mit dem nicht-perturbativen Ergebnis fuer den Fall von zwei Flavors durchgefuehrt. / In this thesis we study the theory of strong interaction Quantum Chromodynamics on a space-time lattice (lattice QCD) with four flavors of dynamical fermions by numerical simulations. In the early days of lattice QCD, only pure gauge field simulations were accessible to the computational facilities and the effects of quark polarization were neglected. The so-called fermion determinant in the path integral was set to one (quenched approximation). The reason for this approximation was mainly the limitation of computational power because the inclusion of the fermion determinant required an enormous numerical effort. However, for full QCD simulations the virtual quark loops had to be taken into account and the development of new machines and new algorithmic techniques made the so-called dynamical simulations with at least two flavors possible. In recent years, different collaborations studied lattice QCD with dynamical fermions. In our project we study lattice QCD with four degenerated flavors of O(a) improved Wilson quarks in the Schroedinger functional scheme and calculate the energy dependence of the strong coupling constant. For this purpose, we determine the O(a) improvement coefficient csw with four flavors and use this result to calculate the step scaling function of QCD with four flavors which describes the scale evolution of the running coupling. Using a recursive finite-size technique, the Lambda parameter is determined in units of a technical scale Lmax which is an unambiguously defined length in the hadronic regime. The coupling alpha_SF of QCD in the so-called Schroedinger functional scheme is calculated over a wide range of energies non-perturbatively and compared with 2-loop and 3-loop perturbation theory as well as with the non-perturbative result for only two flavors.