Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2017. / Submitted by Gabriela Lima (gabrieladaduch@gmail.com) on 2017-12-04T18:18:20Z No. of bitstreams: 1 2017_GérsicaValescaLimadeFreitas.pdf: 606748 bytes, checksum: 862a9c6c361512e02280e540830d43c9 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-01-25T15:39:27Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_GérsicaValescaLimadeFreitas.pdf: 606748 bytes, checksum: 862a9c6c361512e02280e540830d43c9 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-01-25T15:39:27Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_GérsicaValescaLimadeFreitas.pdf: 606748 bytes, checksum: 862a9c6c361512e02280e540830d43c9 (MD5) / Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). / Os números de Fibonacci possui várias generalizações, entre elas temos a sequência (Fn (k))n que é chamada de sequência de Fibonacci k-generalizada. Observando a identidade F2 n+F2 n+1=F2n+1, Chaves e Marques, em 2014, provaram que a equação Diofantina (Fn (k))2+ (F(k) n+1)2= Fm (k) não possui soluções em inteiros positivos n, m e k, com n > 1 e k ≥ 3. Nesse trabalho, mostramos que a equação Diofantina (Fn (k))2 +(F(k) n+1)2 = Fm (l), não possui solução para 2≤ k < l e n > k + 1. Outra generalização da sequência de Fibonacci s˜ao os coeficientes fibonomiais. Em 2015, Marques e Trojovský provaram que uma condição mais fraca. se p ≡ ± 1 (mod 5), então p † [pa+1 pa] , para todo a ≥ 1.Nesse trabalho, encontramos as classe de resíduos de módulo p, p2, p3 e p4, quando p ≡ ± 1 (mod 5) e sobre uma condição mais fraca. Em particular, provamos que se p é um número primo tal que p ≡ ± 1 (mod 5), então [pa+1 pa] ≡ 1 (mod p). / Regarding the identity F2 n+F2 n+1=F2n+1, Chaves and Marques, in 2014, proved that (Fn (k))2+ (F(k) n+1)2= Fm (k) does not have solution for integers n, m e k, with n > 1 and k ≥ 3. In this work, we show that (Fn (k))2 +(F(k) n+1)2 = Fm (l) does not have solutions for 2≤ k < l and n > k + 1. Another generalization of the Fibonacci sequence are the Fibonomial coe#cients. In 2015, Marques and Trojovský proved that if p ≡ ± 1 (mod 5), then p † [pa+1 pa] for all a ≥ 1. In this work, we also find the residue class of [pa+1 pa] modulo p, p2, p3 e p4, when p ≡ ± 1 (mod 5) under some weak hypothesis. In particular, we proved that if p is a prime number such that p ≡ ± 1 (mod 5), then [pa+1 pa] ≡ 1 (mod p).

O presente trabalho irá abordar dois temas matemáticos de diferentes contextos históricos mas que apresentam uma relação intrínseca com o número &Phi;, mais conhecido como número de ouro. Partiremos de uma breve descrição dos conjuntos numéricos N, Z, Q e algumas propriedades dos números racionais para, em seguida, deduzirmos os números irracionais &Pi; e, enfim, os números reais R. Na sequência vamos trabalhar com dois problemas muito antigos: o primeiro aparece na coletânea de livros Os Elementos do matemático grego Euclides, 300 anos a.C., e diz respeito à divisão de um segmento em média e extrema razão e, o segundo, foi publicado no livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci, século XIII, e trata da reprodução de coelhos e a sequência a qual ela origina. Veremos que o número de ouro aparece em ambos os problemas e vem ao longo dos séculos desencadeando muitas teorias que tratam de padrões e beleza. Abordaremos situações do passado e do presente que fazem uso desses padrões, além de fenômenos da natureza. Também apresentaremos um conjunto de atividades para orientar professores do ensino médio de como trabalhar, numa perspectiva interdisciplinar com vários conteúdos da matemática, e o número &Phi;. / This work addresses two mathematical topics from different historical contexts but that have an intrinsic relationship with the number &Phi;, better known as the golden number. We start with a brief description of the numerical sets N, Z, Q and some properties of rational numbers, and then deduct the set of irrational numbers &pi; and, finally, the set of real numbers R. In the sequence we work with two very old problems: the first appears in the collection of books The elements of the Greek mathematician Euclid, 300 years BC, and concerns the division of a segment in extreme and mean ratio, and the second, published in the book Liber Abaci of the Italian mathematician Leonardo Fibonacci, in the thirteenth century, and deals with the breeding of rabbits and the sequence which it originates. We will see that the golden number appears on both problems and has over the centuries triggering many theories dealing with standards and beauty. We discuss situations of past and present that makes use of these standards, as well as natural phenomena. We also present a set of activities to guide middle school teachers on how to work in an interdisciplinary perspective with various mathematical content, and the number &Phi;.

Submitted by SAMUEL VILELA DE LIMA FRANCISCO null (samvilela@hotmail.com) on 2017-02-28T23:58:46Z No. of bitstreams: 1 TCC - Vesão final - Samuel vilela de lima.pdf: 6672918 bytes, checksum: a9b85452d594c16d9cfe679f612d0561 (MD5) / Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2017-03-07T13:33:10Z (GMT) No. of bitstreams: 1 francisco_svl_me_sjrp.pdf: 6672918 bytes, checksum: a9b85452d594c16d9cfe679f612d0561 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-07T13:33:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 francisco_svl_me_sjrp.pdf: 6672918 bytes, checksum: a9b85452d594c16d9cfe679f612d0561 (MD5) Previous issue date: 2017-02-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Apresentamos, neste trabalho, um estudo sobre um número que tem fascinado muitos estudiosos ao longo da história da humanidade, o Número de Ouro. Este número é representado pela letra grega (lê-se: "Fi") no qual alguns estudiosos atribuem-se que foi escolhido em homenagem ao grande escultor grego Fídias. Mostramos um pouco do contexto histórico, algumas de suas propriedades e a sua relação intrínseca com a sequência de Fibonacci. Desenvolvemos neste trabalho uma metodologia de natureza teórica e prática, na qual realizamos algumas construções geométricas relacionando-as com a Razão Áurea, retratando assim, como o conteúdo de construções geométricas e a geométrica em que foi perdendo espaço no ensino fundamental ao longo do tempo, e buscamos o resgate deste conteúdo no panorama atual da educação. Tendo como objetivo principal o de promover a reflexão da importância desse número através do projeto desenvolvido paralelamente às aulas de matemática para alunos do ensino fundamental. / We present, in this work, a study on a number that has fascinated many scholars throughout the history of humanity, the Gonden Number. This number is represented by the Greek letter phi (reads: "Fi") in which some scholars are attributed that it was chosen in honor of the great Greek sculptor Fídias. We show some of the historical context, some of its properties and its intrinsic relation with the Fibonacci Sequence. In this work we develop a methodology of theoretical and practical nature, in which we perform some geometric constructions relating them to the Golden Ratio, thus portraying, as the content of geometric constructions and the geometric in which it lost space in elementary education over time, And we seek the rescue of this content in the current panorama of education. Its main objective is to promote the reflection of the importance of this number through the project developed parallel to the mathematics classes for elementary school students.

Submitted by Marcos Samuel (msamjunior@gmail.com) on 2017-05-31T15:41:16Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - José Jackson.pdf: 1298423 bytes, checksum: 911920da0ec3ff9bfb3648ed45a64b32 (MD5) / Approved for entry into archive by Vanessa Reis (vanessa.jamile@ufba.br) on 2017-06-06T14:37:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - José Jackson.pdf: 1298423 bytes, checksum: 911920da0ec3ff9bfb3648ed45a64b32 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-06-06T14:37:44Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação - José Jackson.pdf: 1298423 bytes, checksum: 911920da0ec3ff9bfb3648ed45a64b32 (MD5) / Este trabalho pretende destacar a importância da utilização das sequências Fibonacci como ferramenta que irá auxiliar em alguns temas do ensino da Matemática, em especial o ensino médio. O professor de Matemática, com sua habilidade e bem orientado, deverá provocar no aluno a construção dos conceitos matemáticos utilizando essas sequências. No entanto, na sala de aula, o docente deve trabalhar com resoluções de problemas que despertem e provoquem no aluno a vontade de aprender, levando-o a perceber as ligações com os conteúdos afi ns. Além de auxiliar no ensino aprendizagem dos conte udos propostos, temos a possibilidades de explorar alguns aspectos da História da matemática, objetivando introduzir e complementar os conteúdos do currículo. Temos também a oportunidade, neste trabalho de conclusão, de apresentar e demonstrar como as sequências Fibonacci se conectam com os conteúdos da disciplina.

O presente trabalho irá abordar dois temas matemáticos de diferentes contextos históricos mas que apresentam uma relação intrínseca com o número &Phi;, mais conhecido como número de ouro. Partiremos de uma breve descrição dos conjuntos numéricos N, Z, Q e algumas propriedades dos números racionais para, em seguida, deduzirmos os números irracionais &Pi; e, enfim, os números reais R. Na sequência vamos trabalhar com dois problemas muito antigos: o primeiro aparece na coletânea de livros Os Elementos do matemático grego Euclides, 300 anos a.C., e diz respeito à divisão de um segmento em média e extrema razão e, o segundo, foi publicado no livro Liber Abaci do matemático italiano Leonardo Fibonacci, século XIII, e trata da reprodução de coelhos e a sequência a qual ela origina. Veremos que o número de ouro aparece em ambos os problemas e vem ao longo dos séculos desencadeando muitas teorias que tratam de padrões e beleza. Abordaremos situações do passado e do presente que fazem uso desses padrões, além de fenômenos da natureza. Também apresentaremos um conjunto de atividades para orientar professores do ensino médio de como trabalhar, numa perspectiva interdisciplinar com vários conteúdos da matemática, e o número &Phi;. / This work addresses two mathematical topics from different historical contexts but that have an intrinsic relationship with the number &Phi;, better known as the golden number. We start with a brief description of the numerical sets N, Z, Q and some properties of rational numbers, and then deduct the set of irrational numbers &pi; and, finally, the set of real numbers R. In the sequence we work with two very old problems: the first appears in the collection of books The elements of the Greek mathematician Euclid, 300 years BC, and concerns the division of a segment in extreme and mean ratio, and the second, published in the book Liber Abaci of the Italian mathematician Leonardo Fibonacci, in the thirteenth century, and deals with the breeding of rabbits and the sequence which it originates. We will see that the golden number appears on both problems and has over the centuries triggering many theories dealing with standards and beauty. We discuss situations of past and present that makes use of these standards, as well as natural phenomena. We also present a set of activities to guide middle school teachers on how to work in an interdisciplinary perspective with various mathematical content, and the number &Phi;.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2017. / Submitted by Raquel Almeida (raquel.df13@gmail.com) on 2018-02-28T17:35:55Z No. of bitstreams: 1 2017_FábioAlvesBarbosa.pdf: 3290907 bytes, checksum: 1b72d12d1dee2442472904338bc19d83 (MD5) / Approved for entry into archive by Raquel Viana (raquelviana@bce.unb.br) on 2018-03-14T18:07:12Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2017_FábioAlvesBarbosa.pdf: 3290907 bytes, checksum: 1b72d12d1dee2442472904338bc19d83 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-03-14T18:07:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2017_FábioAlvesBarbosa.pdf: 3290907 bytes, checksum: 1b72d12d1dee2442472904338bc19d83 (MD5) Previous issue date: 2018-03-13 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). / Este trabalho visa apresentar o assunto Sequência de Fibonacci para uma abordagem no Ensino Médio, apresentando-a com rigor matemático, envolvendo histórico, conceitos, definições, propriedades e teoremas básicos. Foi feita uma breve análise do cenário do sistema educacional brasileiro, enfatizando o Ensino Médio, e a abordagem da importância de ensinar a Matemática nesta modalidade, apresentando aos alunos aplicações práticas da disciplina, seja no cotidiano, na Natureza, artes, ciências, bem como o fundamento para o desenvolvimento de algo relevante. Por fim, foram propostas atividades que trabalhem o assunto sequência de Fibonacci e razão áurea em uma turma de ensino médio, envolvendo história da Matemática, a abordagem algébrica e teórica e aplicações. O trabalho foi desenvolvido mediante pesquisa bibliográfica e experiências vivenciadas em sala de aula em turmas de Ensino Médio. / This theory presents Fibonacci sequence subject for an approach in high school, presenting it with mathematical rigor, involving history, concepts, de_nitions, properties and basic theorems. A brief analysis of the Brazilian educational system scenario was made, emphasizing the high school, and the approach of the importance of teaching mathematics in this teaching level, presenting students with practical applications of the subject, whether in daily life, in nature, arts, sciences and the foundation for development of something relevant. Finally, it was proposed activities that deal with Fibonacci Sequence and Golden Ratio in high school classes, involving the history of mathematics, algebra and theoretical approach and application. The study was conducted by bibliographic research and experiences in the classroom in high school classes.

Submitted by Cássia Santos (cassia.bcufg@gmail.com) on 2015-01-30T10:55:39Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Renato Rodrigues Silva -2014.pdf: 4704384 bytes, checksum: 1dafae2c957953e4722a13b5af371ec4 (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2015-01-30T13:24:27Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Renato Rodrigues Silva -2014.pdf: 4704384 bytes, checksum: 1dafae2c957953e4722a13b5af371ec4 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-01-30T13:24:27Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 23148 bytes, checksum: 9da0b6dfac957114c6a7714714b86306 (MD5) Dissertação - Renato Rodrigues Silva -2014.pdf: 4704384 bytes, checksum: 1dafae2c957953e4722a13b5af371ec4 (MD5) Previous issue date: 2014-11-19 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / This work goal to show a possible relationship between the Golden Ratio with nature, animals, architecture, music and also as a motivation to study mathematics content, such as: ratio, proportion and arithmetic average, making the teaching learning more enjoyable. The realization of it proceeded from the literature and field research. The literature describes the history of the Golden Mean and the Fibonacci ratio with the Golden Ratio. The Fibonacci sequence was known for the problem of pairs of rabbits (coniculorum Paia) that is found in the book Liber Abacci (Liber Abaci). Also highlights the relationship between the golden ratio and the nature, proposing that it can be widely used in daily life of the student, promoting a differentiated learning. The field research was the application of the proposed activities presented throughout the study in a rural school of the Federal District, with the purpose to promote the recognition that it is possible to understand the relationship between math and everyday living. Initially the diagnosis 1 (ATTACHMENT A), containing socio-cultural issues and also the diagnosis 2 (ATTACHMENT B) containing specific questions of reason, proportion, arithmetic mean and golden ratio was applied. After applying the diagnosis twelve o'clock classes were taught using contextualized and interdisciplinary methodologies where activities (ATTACHMENT C, D, E, F) were applied seeking to respond to the objectives of this study. In closing the interventions took place applying the same initial diagnosis in order to determine whether interventions have provided new results. In analyzing the results of the second application of diagnosis was realized a significant increase in students' understanding about the content worked. The results show that when there is an understanding of the relationship between mathematics learning and everyday life, students can define new knowledge and relate school learning and their daily lives, which facilitates learning. / Este trabalho tem por objetivo, mostrar uma possível relação da Razão Áurea com a natureza, os animais, a arquitetura, a música e também como motivação ao estudo de conteúdos de Matemática, tais como: razão, proporção e média aritmética, tornando o ensino-aprendizagem mais prazeroso. A realização do mesmo procedeu a partir da pesquisa bibliográfica e de campo. A pesquisa bibliográfica descreve a história do Número de Ouro e a relação da Sequência de Fibonacci com a Razão Áurea. A Sequência de Fibonacci ficou conhecida pelo problema dos pares de coelhos (paia coniculorum) que é encontrado no livro Liber Abacci (Líber Ábacos). Destaca ainda a relação entre a razão áurea e a natureza, propondo-se que esta pode ser amplamente utilizada no cotidiano do discente, buscando promover uma melhor aprendizagem. A pesquisa de campo consistiu na aplicação das atividades propostas apresentadas ao longo do estudo em uma escola da zona rural do Distrito Federal, tendo como fim promover o reconhecimento de que é possível compreender a relação entre o ensino de matemática e a vivência cotidiana. Inicialmente foi aplicado o diagnóstico 1 (ANEXO A), contendo questões socioculturais e também o diagnóstico 2 (ANEXO B) contendo questões específicas de razão, proporção, média aritmética e razão áurea. Após a aplicação do diagnóstico foram ministradas doze aulas utilizando-se metodologias contextualizadas e interdisciplinares em que foram aplicadas atividades (ANEXO C, D, E, F) buscando responder aos objetivos deste estudo. Ao encerrar as intervenções realizou-se a aplicação do mesmo diagnóstico inicial com o intuito de averiguar se as intervenções propiciaram novos resultados. Na análise dos resultados da segunda aplicação do diagnóstico foi percebido um aumento significativo na compreensão dos discentes em relação ao conteúdo trabalhado. Os resultados evidenciam que quando há uma compreensão da relação entre aprendizagem matemática e a vida cotidiana, os discentes conseguem delimitar novos saberes e relacionar a aprendizagem escolar e sua vivência diária, o que facilita a aprendizagem.

Submitted by Liliane Ferreira (ljuvencia30@gmail.com) on 2018-04-11T12:39:47Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Carlos Alirio Rico Acevedo - 2018.pdf: 1289579 bytes, checksum: 0b60c803c3d9f6f61772e58e7d624086 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-04-12T11:29:32Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Carlos Alirio Rico Acevedo - 2018.pdf: 1289579 bytes, checksum: 0b60c803c3d9f6f61772e58e7d624086 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-12T11:29:32Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Carlos Alirio Rico Acevedo - 2018.pdf: 1289579 bytes, checksum: 0b60c803c3d9f6f61772e58e7d624086 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-03-16 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / Let $ k \geq 2.$ an integer. The recurrence $ \fk{n} = \sum_ {i = 0}^k \fk{n-i} $ for $ n> k $, with initial conditions $F_{-(k-2)}^{(k)}=F_{-(k-3)}^{(k)}=\cdots=F_{0}^{(k)}=0$ and $F_1^{ (k)} = 1$, which is called the $k$-generalized Fibonacci sequence. When $ k = 2 ,$ we have the Fibonacci sequence $ \{ F_n \}_{n\geq 0}.$ We will show that the equation $F_{n}^{x}+F_{n+1}^x=F_{m}$ does not have no non-trivial integer solutions $ (n, m, x) $ to $ x> 2 $. On the other hand, for $ k \geq 3,$ we will show that the diophantine equation $\epi$ does not have integer solutions $ (n, m, k, x) $ with $ x \geq 2 $. In both cases, we will use initially Matveev's Theorem, for linear forms in logarithms and the reduction method due to Dujella and Pethö, to limit the variables $ n, \; m $ and $ x $ at intervals where the problem is computable. In addition, in the case for $ k\geq 3 $, we will use the fact that the dominant root the $k$-generalized Fibonacci sequence is exponentially close to 2 to bound $k$, a method developed by Bravo and Luca. / Seja $k\geq 2$ inteiro, considere-se a recorrência $\fk{n}=\sum_{i=0}^{k}\fk{n-i}$ para $n>k$, com condições iniciais $F_{-(k-2)}^{(k)}=F_{-(k-3)}^{(k)}=\cdots=F_{0}^{(k)}=0$ e $F_{1}^{(k)}=1$, que é a sequência de Fibonacci $k$-generalizada. No caso quando $k=2$, é dizer, para a sequência de Fibonacci $\{F_n\}_{n\geq 0}$, vai-se mostrar que a equação $F_{n}^{x}+F_{n+1}^x=F_{m}$ não possui soluções inteiras não triviais $(n,m,x)$ para $x>2$. Por outro lado para, $k\geq 3$ se mostrar que a equação diofantina $\epi$ não possui soluções inteiras $(n,m,k,x)$ com $x\geq 2$. Em ambos casos, inicialmente são usados resultados como o Teorema de Matveev, para formas lineares em logaritmos e o método de redução de Dujella e Pethö, para limitar as variáveis $n, \; m$ e $x$ em intervalos onde o problema seja computável. Adicionalmente, no caso para $k\geq 3$ é usado que a raiz dominante da sequência de Fibonacci $k$-generalizada e exponencialmente próxima a 2, para limitar $k$, o que é um método desenvolvido por Bravo e Luca.

Orientadora: Profa. Dra. Ana Carolina Boero / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional, 2017. / A Razão Áurea possui uma longa história e atualmente é muito mistificada. Nesse trabalho, são apresentadas relações matemáticas e propriedades da Razão Áurea e da Sequência de Fibonacci, sendo constatado que se tratam apenas de casos particulares que podem ser obtidos através de uma recorrência linear de segunda ordem homogênea de onde surge um conjunto de números irracionais com características semelhantes. Foram mostradas, ainda, possibilidades de atividades que de fato contemplam a Razão Áurea e a Sequência de Fibonacci e os cuidados necessários com informações equivocadas e manipuladas. / The Golden Ratio has a long story and currently it¿s very mystified. In this paper, mathematical relations and properties of the Golden Ratio and the Fibonacci Sequence are introduced, stating that they are only particular cases, which can be obtained through a second homogeneous order linear recurrence from where comes a set of irrational numbers with similar characteristics. We explained, as well, possibilities of activities that actually contemplate the Golden Ratio and the Fibonacci Sequence, and the necessary cares with wrong and manipulated information.

Due to the system does not recognize equations and formulas the resumo and abstract can be found in the PDF file. / Devido ao sistema não reconhecer equações e fórmulas o resumo e abstract encontra-se no arquivo em PDF.