Heidelberg, Universiẗat, Diss., 2001.

University, Diss., 2001--Dortmund.

In der vorliegenden Arbeit werden versteckte Symmetrien innnerhalb der N=4 supersymmetrischen Yang--Mills Theorie oder der nach der AdS/CFT Korrespondenz dualen Beschreibung durch eine String-Theorie in AdS5 x S5 besprochen. Dabei betrachten wir die Maldacena--Wilson Schleife, die sich für diese Untersuchungen besonders eignet, da ihr Vakuum-Erwartungswert für glatte Kurven nicht divergiert und die vermutete Dualität zu Streuamplituden wenigstens konzeptionell eine Möglichkeit bietet, etwaige Symmetrien zu anderen Observablen zu übertragen. Ihre Beschreibung durch Minimalflächen in AdS5 erlaubt es, Symmetrien mithilfe der Integrabilität der zugrunde liegenden klassischen String-Theorie zu konstruieren. Dieser Zugang wurde bereits in der Herleitung der Yang'schen Symmetrie der Maldacena--Wilson Schleife bei starker Kopplung sowie in der Beschreibung von Deformationen gleiches Flächeninhalts von Minimalflächen in AdS3 verwendet. Diese beiden Ergebnisse werden in der vorliegenden Arbeit miteinander verbunden und erweitert. Im Sinne einer systematischen Herangehensweise besprechen wir zunächst die Symmetriestruktur der zugrunde liegenden String-Theorie. Diese Diskussion lässt sich auf die Diskussion von String-Theorien in symmetrischen Räumen verallgemeinern. Dabei zeigt sich, dass die Symmetrie, welche die Deformationen gleiches Flächeninhalts in AdS3 erzeugt, in der Symmetriestruktur dieser Modelle eine zentrale Rolle einnimmt: Sie wirkt als Aufsteige-Operator auf den unendlich vielen erhalten Ladungen und generiert somit den Spektralparameter. Weiterhin lässt sie sich anwenden, um ausgehend von der globalen Symmetrie sämtliche Symmetrien des zugrunde liegenden Modells zu konstruieren. Sie wird daher als die Master-Symmetrie dieser Modelle bezeichnet. Zusätzlich wird die Algebra der Symmetrie-Variationen sowie der erhaltenen Ladungen ausgearbeitet. Für den konkreten Fall von Minimalflächen in AdS5 diskutieren wir die Deformation der Minimalflächenlösung für den Fall eines lichtartigen Vierecks. Diese liefert die duale Beschreibung der Streuamplitude für vier Gluonen. Damit unternehmen wir einen ersten Schritt zur Übertragung der Master-Symmetrie auf Streuamplituden. Weiterhin berechnen wir die Variation der Randkurven der Minimalflächen unter der Master- und Yang'schen Symmetrie für allgemeine, glatte Randkurven. Das Ergebnis dieser Rechnung führt auf eine Verallgemeinerung der Master-Symmetrie zu einer Variation, die von der Kopplungskonstanten abhängt und für beliebige Werte der Kopplungskonstanten eine Symmetrie der Maldacena--Wilson Schleife darstellt. Unsere Diskussion erklärt das Scheitern vorheriger Versuche, die entsprechende Symmetrie im Spezialfall von Minimalflächen in AdS3 zu schwacher Kopplung zu übertragen. Wir besprechen verschiedene Ansätze, die Yang'sche Symmetrie zu schwacher oder beliebiger Kopplung zu übertragen, schlussfolgern aber letztendlich, dass eine Yang'sche Symmetrie der Maldacena--Wilson Schleife nicht vorzuliegen scheint. Die Situation ändert sich, wenn wir Wilson Schleifen in Superräumen betrachten. Diese sind die natürlichen supersymmetrischen Erweiterungen der Maldacena--Wilson Schleife. Für die Yang'sche Invarianz ihres Vakuum-Erwartungswerts wurden wichtige Anhaltspunkte gefunden und sowohl die Beschreibung dieser Operatoren als auch der Beweis der Yang'schen Invarianz bei schwacher Kopplung wurden parallel zur Arbeit an der vorliegenden Dissertation vervollständigt. Wir diskutieren das Gegenstück zu diesem Ergebnis bei starker Kopplung. Dort wird die Wilson Schleife durch eine Minimalfläche beschrieben, welche im Superraum der Superstring-Theorie vom Typ IIB in AdS5 x S5 liegt. Der Vergleich der bei starken Kopplung etablierten Invarianz mit den entsprechenden Generatoren bei schwacher Kopplung zeigt, dass die Symmetrie-Generatoren einen lokalen Anteil enthalten, der auf nicht-triviale Weise vom Wert der Kopplungskonstanten abhängt. Zusätzlich finden wir sogenannte Bonus-Symmetrien. Diese sind die analogen Generatoren in den höheren Ordnungen zum Hyperladungs-Generator, der selbst keine Symmetrie darstellt. Wir zeigen, dass diese Symmetrien in allen höheren Ordnungen der Yang'schen Algebra vorliegen. / This thesis discusses hidden symmetries within N=4 supersymmetric Yang--Mills theory or its AdS/CFT dual, string theory in AdS5 x S5. Here, we focus on the Maldacena--Wilson loop, which is a suitable object for this study since its vacuum expectation value is finite for smooth contours and the conjectured duality to scattering amplitudes provides a conceptual path to transfer its symmetries to other observables. Its strong-coupling description via minimal surfaces in AdS5 allows to construct the symmetries from the integrability of the underlying classical string theory. This approach has been utilized before to derive a strong-coupling Yangian symmetry of the Maldacena--Wilson loop and describe equiareal deformations of minimal surfaces in AdS3. These two findings are connected and extended in the present thesis. In order to discuss the symmetries systematically, we first discuss the symmetry structure of the underlying string model. The discussion can be generalized to the discussion of generic symmetric space models. For these, we find that the symmetry which generates the equiareal deformations of minimal surfaces in AdS3 has a central role in the symmetry structure of the model: It acts as a raising operator on the infinite tower of conserved charges, thus generating the spectral parameter, and can be employed to construct all symmetry variations from the global symmetry of the model. It is thus referred to as the master symmetry of symmetric space models. Additionally, the algebra of the symmetry variations and the conserved charges is worked out. For the concrete case of minimal surfaces in AdS5, we discuss the deformation of the four-cusp solution, which provides the dual description of the four-gluon scattering amplitude. This marks the first step toward transferring the master symmetry to scattering amplitudes. Moreover, we compute the master and Yangian symmetry variations of generic, smooth boundary curves. The results leads to a coupling-dependent generalization of the master symmetry, which constitutes a symmetry of the Maldacena--Wilson loop at any value of the coupling constant. Our discussion clarifies why previous attempts to transfer the deformations of minimal surfaces in AdS3 to weak coupling were unsuccessful. We discuss several attempts to transfer the Yangian symmetry to weak or arbitrary coupling, but ultimately conclude that a Yangian symmetry of the Maldacena--Wilson loop seems not to be present. The situation changes when we consider Wilson loops in superspace, which are the natural supersymmetric generalizations of the Maldacena--Wilson loop. Substantial evidence for the Yangian invariance of their vacuum expectation value has been provided at weak coupling and the description of the operator as well as its weak-coupling Yangian invariance were subsequently established in parallel to the work on this thesis. We discuss the strong-coupling counterpart of this finding, where the Wilson loop in superspace is described by minimal surfaces in the superspace of type IIB superstring theory in AdS5 x S5. The comparison of the strong-coupling invariance derived here with the respective generators at weak coupling shows that the generators contain a local term, which depends on the coupling in a non-trivial way. Additionally, we find so-called bonus symmetry generators. These are the higher-level recurrences of the superconformal hypercharge generator, which does not provide a symmetry itself. We show that these symmetries are present in all higher levels of the Yangian.

This Thesis focuses on different aspects of quantum computation theory: adiabatic quantum algorithms, decoherence during the adiabatic evolution and quantum simulators. After an overview on the area of quantum computation and setting up the formal ground for the rest of the Thesis we derive a general error estimate for adiabatic quantum computing. We demonstrate that the first-order correction, which has frequently been used as a condition for adiabatic quantum computation, does not yield a good estimate for the computational error. Therefore, a more general criterion is proposed, which includes higher-order corrections and shows that the computational error can be made exponentially small – which facilitates significantly shorter evolution times than the first-order estimate in certain situations. Based on this criterion and rather general arguments and assumptions, it can be demonstrated that a run-time of order of the inverse minimum energy gap is sufficient and necessary. Furthermore, exploiting the similarity between adiabatic quantum algorithms and quantum phase transitions, we study the impact of decoherence on the sweep through a second-order quantum phase transition for the prototypical example of the Ising chain in a transverse field and compare it to the adiabatic version of Grover’s search algorithm. It turns out that (in contrast to first-order transitions) the impact of decoherence caused by a weak coupling to a rather general environment increases with system size (i.e., number of spins/qubits), which might limit the scalability of the system. Finally, we propose the use of electron systems to construct laboratory systems based on present-day technology which reproduce and thereby simulate the quantum dynamics of the Ising model and the O(3) nonlinear sigma model.

This Thesis focuses on different aspects of quantum computation theory: adiabatic quantum algorithms, decoherence during the adiabatic evolution and quantum simulators. After an overview on the area of quantum computation and setting up the formal ground for the rest of the Thesis we derive a general error estimate for adiabatic quantum computing. We demonstrate that the first-order correction, which has frequently been used as a condition for adiabatic quantum computation, does not yield a good estimate for the computational error. Therefore, a more general criterion is proposed, which includes higher-order corrections and shows that the computational error can be made exponentially small – which facilitates significantly shorter evolution times than the first-order estimate in certain situations. Based on this criterion and rather general arguments and assumptions, it can be demonstrated that a run-time of order of the inverse minimum energy gap is sufficient and necessary. Furthermore, exploiting the similarity between adiabatic quantum algorithms and quantum phase transitions, we study the impact of decoherence on the sweep through a second-order quantum phase transition for the prototypical example of the Ising chain in a transverse field and compare it to the adiabatic version of Grover’s search algorithm. It turns out that (in contrast to first-order transitions) the impact of decoherence caused by a weak coupling to a rather general environment increases with system size (i.e., number of spins/qubits), which might limit the scalability of the system. Finally, we propose the use of electron systems to construct laboratory systems based on present-day technology which reproduce and thereby simulate the quantum dynamics of the Ising model and the O(3) nonlinear sigma model.