In recent years many discoveries have been made that reveal a close relation between quantum information and geometry in the context of the AdS/CFT correspondence. In this duality between a conformal quantum field theory (CFT) and a theory of gravity on Anti-de Sitter spaces (AdS) quantum information quantities in CFT are associated with geometric objects in AdS. Subject of this thesis is the examination of this intriguing property of AdS/CFT. We study two central elements of quantum information: subregion complexity -- which is a measure for the effort required to construct a given reduced state -- and the modular Hamiltonian -- which is given by the logarithm of a considered reduced state. While a clear definition for subregion complexity in terms of unitary gates exists for discrete systems, a rigorous formulation for quantum field theories is not known. In AdS/CFT, subregion complexity is proposed to be related to certain codimension one regions on the AdS side. The main focus of this thesis lies on the examination of such candidates for gravitational duals of subregion complexity. We introduce the concept of \textit{topological complexity}, which considers subregion complexity to be given by the integral over the Ricci scalar of codimension one regions in AdS. The Gauss-Bonnet theorem provides very general expressions for the topological complexity of CFT\(_2\) states dual to global AdS\(_3\), BTZ black holes and conical defects. In particular, our calculations show that the topology of the considered codimension one bulk region plays an essential role for topological complexity. Moreover, we study holographic subregion complexity (HSRC), which associates the volume of a particular codimension one bulk region with subregion complexity. We derive an explicit field theory expression for the HSRC of vacuum states. The formulation of HSRC in terms of field theory quantities may allow to investigate whether this bulk object indeed provides a concept of subregion complexity on the CFT side. In particular, if this turns out to be the case, our expression for HSRC may be seen as a field theory definition of subregion complexity. We extend our expression to states dual to BTZ black holes and conical defects. A further focus of this thesis is the modular Hamiltonian of a family of states \(\rho_\lambda\) depending on a continuous parameter \(\lambda\). Here \(\lambda\) may be associated with the energy density or the temperature, for instance. The importance of the modular Hamiltonian for quantum information is due to its contribution to relative entropy -- one of the very few objects in quantum information with a rigorous definition for quantum field theories. The first order contribution in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) of the modular Hamiltonian to the relative entropy between \(\rho_\lambda\) and a reference state \(\rho_{\lambda_0}\) is provided by the first law of entanglement. We study under which circumstances higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) are to be expected. We show that for states reduced to two entangling regions \(A\), \(B\) the modular Hamiltonian of at least one of these regions is expected to provide higher order contributions in \(\tilde{\lambda}\) to the relative entropy if \(A\) and \(B\) saturate the Araki-Lieb inequality. The statement of the Araki-Lieb inequality is that the difference between the entanglement entropies of \(A\) and \(B\) is always smaller or equal to the entanglement entropy of the union of \(A\) and \(B\). Regions for which this inequality is saturated are referred to as entanglement plateaux. In AdS/CFT the relation between geometry and quantum information provides many examples for entanglement plateaux. We apply our result to several of them, including large intervals for states dual to BTZ black holes and annuli for states dual to black brane geometries. / In den letzten Jahren wurden viele Entdeckungen gemacht, welche eine enge Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie im Kontext der AdS/CFT-Korrespondenz aufzeigen. In dieser Dualität zwischen einer konformen Quantenfeldtheorie (CFT) und einer Gravitationstheorie auf Anti-de-Sitter-Räumen (AdS) werden Quanteninformationsgrößen der CFT mit geometrischen Objekten in AdS assoziiert. In der vorliegenden Arbeit wird dieser faszinierende Aspekt von AdS/CFT untersucht. Wir studieren zwei Objekte welche eine zentrale Rolle in der Quanteninformation spielen: Die Teilregionkomplexität (subregion complexity) -- welche ein Maß für den nötigen Aufwand zur Konstruktion eines vorgegebenen reduzierten Zustandes ist -- und den modularen Hamiltonoperator -- welcher durch den Logarithmus eines reduzierten Zustandes gegeben ist. Während eine klare Definition der Teilregionkomplexität mittels unitärer Gatter für diskrete Systeme angegeben werden kann, ist eine präzise Formulierung für Quantenfeldtheorien nicht bekannt. In der AdS/CFT-Korrespondenz wird angenommen, dass die Teilregionkomplexität mit bestimmten Regionen der Kodimension eins in AdS-Räumen in Beziehung stehen. Der Hauptfokus der vorliegenden Arbeit ist die Untersuchung derartiger Kandidaten für Gravitationsduale der Teilregionkomplexität. Wir führen das Konzept der \textit{topologischen Komplexität} (topological complexity) ein, welches das Integral über den Ricci-Skalar bestimmter Teilregionen von AdS-Räumen als das Gravitationsdual der Teilregionkomplexität ansieht. Der Satz von Gauss-Bonnet erlaubt es uns sehr allgemeine Ausdrücke für die Teilregionkomplexität von CFT\(_2\)-Zuständen mit globalem AdS\(_3\), BTZ-Schwarzen-Löchern oder konischen Defekten als Gravitationsdual zu konstruieren. Unsere Berechnungen zeigen insbesondere, dass die Topologie der betrachteten Kodimension-Eins-Regionen eine große Rolle für die topologische Komplexität spielt. Weiterhin befassen wir uns mit der holographischen Teilregionkomplexität (holographic subregion complexity, HSRC), welche annimmt, dass die Teilregionkomplexität durch das Volumen bestimmter Kodimension-Eins-Regionen in AdS-Räumen gegeben ist. Wir leiten einen expliziten Ausdruck für die HSRC von Vakuumzuständen in Größen der Feldtheorie her. Die Formulierung der HSRC in Feldtheoriegrößen könnte es ermöglichen zu untersuchen ob diese Größe tatsächlich als die Teilregionkomplexität der CFT interpretiert werden kann. Sollte sich dies bestätigen, kann unser Feldtheorieausdruck für HSRC als Definition für die Teilregionkomplexität der CFT angesehen werden. Wir verallgemeinern unseren Ausdruck für HSRC dahingehend, dass er auch für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und konischen Defekten gültig ist. Ein weiterer Fokus der vorliegenden Arbeit ist der modulare Hamiltonoperator einer Familie von Zuständen \(\rho_\lambda\), welche von einem kontinuierlichen Parameter \(\lambda\) abhängen. Hierbei kann \(\lambda\) beispielsweise der Energiedichte oder der Temperatur entsprechen. Die Bedeutung des modularen Hamiltonoperator für die Quanteninformation ist auf seinen Beitrag zur relativen Entropie zurückzuführen -- eine der wenigen Größen der Quanteninformation für welche eine formale Definition für Quantenfeldtheorien bekannt ist. Der Beitrag erster Ordnung in \(\tilde{\lambda}=\lambda-\lambda_0\) des modularen Hamiltonoperators zur relativen Entropie zwischen \(\rho_\lambda\) und einem Referenzzustand \(\rho_{\lambda_0}\) ist gegeben durch den ersten Hauptsatz der Verschränkung (first law of entanglement). Wir untersuchen unter welchen Umständen Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zu erwarten sind. Wir zeigen, dass für Zustände die auf zwei Teilregionen \(A\), \(B\) reduziert wurden in der Regel mindestens einer dieser Beiträge höherer Ordnung in \(\tilde{\lambda}\) zur relativen Entropie liefert, wenn \(A\) und \(B\) die Araki-Lieb-Ungleichung saturieren. Die Araki-Lieb-Ungleichung besagt, dass die Differenz der Verschränkungsentropien von \(A\) und \(B\) stets kleiner oder gleich der Verschränkungsentropie der Vereinigung von \(A\) und \(B\) ist. Regionen für welche die Araki-Lieb-Ungleichung saturiert ist werden als Verschränkungsplateaus (entanglement plateaux) bezeichnet. In der AdS/CFT-Korrespondenz gibt es aufgrund der Beziehung zwischen Quanteninformation und Geometrie viele Beispiele für derartige Plateaus. Wir wenden unser Resultat auf einige dieser an. Unter anderem diskutieren wir große Intervalle für Zustände dual zu BTZ-Schwarzen-Löchern und Annuli für Zustände dual zu schwarzen Branen.

The AdS/CFT correspondence is an explicit realization of the holographic principle. It describes a field theory living on the boundary of a volume by a gravitational theory living in the interior and vice-versa. With its origins in string theory, the correspondence incorporates an explicit relationship between the degrees of freedom of both theories: the AdS/CFT dictionary. One astonishing aspect of the AdS/CFT correspondence is the emergence of geometry from field theory. On the gravity side, a natural way to probe the geometry is to study boundary-anchored extremal surfaces of different dimensionality. While there is no unified way to determine the field theory dual for such non-local quantities, the AdS/CFT dictionary contains entries for surfaces of certain dimensionality: it relates two-point functions to geodesics, the Wilson loop expectation value to two-dimensional surfaces and the entanglement entropy, i.e. a measure for entanglement between states in a region and in its complement, to co-dimension two surfaces in the bulk. In this dissertation, we calculate these observables for gravity setups dual to thermal states in the field theory. The geometric dual is given by AdS Schwarzschild black holes in general dimensions. We find analytic results for minimal areas in this setup. One focus of our analysis is the high-temperature limit. The leading and subleading term in this limit have diverse interpretation for the different observables. For example, the subleading term of the entanglement entropy satisfies a c-theorem for renormalization flows and gives insights into the number of effective degrees of freedom. The entanglement entropy emerged as the favorable way to probe the geometric dual. In addition to the extremal bulk surface, the holographic entanglement entropy associates a bulk region to the considered boundary region. The volume of this region is conjectured to be a measure of complexity, i.e. a measure of how difficult it is to obtain the corresponding field-theory state. Building on our aforementioned results for the entanglement entropy, we study this complexity for AdS Schwarzschild black holes in general dimensions. In particular, we draw conclusions on how efficient holography encodes the field theory and compare these results to MERA tensor networks, a numerical tool to study quantum many-body systems. Moreover, we holographically study the complexity of pure states. This sheds light on the notion of complexity in field theories. We calculate the complexity for a simple, calculable example: states obtained by conformal transformations of the vacuum state in AdS3/CFT2. In this lower-dimensional realization of AdS/CFT, the conformal group is infinite dimensional. We construct a continuous space of states with the same complexity as the vacuum state. Furthermore, we determine the change of complexity caused by small conformal transformation. The field-theory operator implementing this transformation is known and allows to compare the holographic results to field theory expectations. / Die AdS/CFT Korrespondenz ist ein explizites Beispiel für das holographische Prinzip. Es beschreibt eine Feldtheorie auf dem Rand eines Volumens durch eine Theorie mit Gravitation im Inneren und vice-versa. Aus dem Ursprung in der Stringtheorie folgt ein expliziter Zusammenhang zwischen den Freiheitsgraden beider Theorien: das AdS/CFT Lexikon. Ein verblüffender Aspekt der AdS/CFT Korrespondenz ist die Entstehung der Geometrie aus der Feldtheorie. Ein natürlicher Weg um die Geometrie auf der Gravitationsseite zu untersuchen sind extremale Flächen, die am Rand verankert sind. Es gibt keinen einheitlichen Weg um die duale Größe in der Feldtheorie für solche nichtlokalen Größen zu bestimmen, jedoch gibt es für Flächen bestimmer Dimension Einträge im AdS/CFT Lexikon: es bringt Zweipunktfunktionen mit Geodäten, Wilson loops mit zweidimensionalen Flächen und die Verschränkungsentropie, ein Maß für Verschränkung zwischen einer Region und ihrem Komplement, mit Flächen der Kodimension zwei in Verbindung. In dieser Dissertation untersuchen wir diese Observablen für Geometrien dual zu thermischen Zuständen in der Feldtheorien. Die duale Geometrien sind AdS Schwarzschild schwarze Löcher in allgemeiner Raumzeitdimension. Wir erhalten analytische Ergebnisse. Ein Fokus liegt auf das Verhalten bei hoher Temperatur. Die in diesem Limit dominanten Terme haben vielfältige Interpretationen für die unterschiedlichen Observablen. Der Term zweiter Ordnung für die Verschränkungsentropie erfüllt zum Beispiel ein c-Theorem für Renormalizisierungsgruppen und gibt daher Aufschlüsse über die Anzahl der effektiven Freiheitsgrade. Die Verschränkungsentropie stellt sich als erfolgreicher Weg heraus um die duale Geometrie zu untersuchen. Neben der extremalen Fläche bringt die holographische Verschränkungsentropie auch eine Raumregion zu der gegebenen Randregion in Verbindung. Das Volumen dieser Raumregion wird als Maß für die Komplexität, ein Maß für den Schwierigkeitsgrad den entsprechenden Zustand in der Feldtheorie zu konstruieren, angesehen. Wir berechnen dieses Volumen für AdS Schwarzschild aufbauend auf unseren oben erwähnten Ergebnissen zu der Verschränkungsentropie. Wir ziehen Rückschlüsse wie effektiv Holographie die Feldtheorie beschreibt und vergleichen diese Ergebnisse zu MERA Tensornetzwerken, einer numerische Methode um Vielteilchensysteme zu beschreiben. Anschließend betrachten wir die Komplexität von reinen Zuständen holographisch. Dies gibt Einblicke in das Konzept von Komplexität in Feldtheorien. Wir untersuchen die Komplexität für ein einfaches, berechenbares Beispiel: Zustände erzeugt von konformen Transformationen des Vakuumzustandes in AdS3/CFT2. Die konforme Gruppe hat unendlich viele Dimensionen in diesem niedrig dimensionalen Beispiel von AdS/CFT. Wir konstruieren ein kontinuierliches Raum von Zuständen mit gleicher Komplexität wie der Vakuumzustand. Außerdem bestimmen wir die Änderung der Komplexität für kleine konforme Transformationen. Der Operator in der Feldtheorie ist bekannt und erlaubt uns unsere Ergebnisse zu Feldtheorieerwartungen zu vergleichen.

The celebrated AdS/CFT dualities provide a window to strongly-coupled quantum field theories (QFTs), which are realized in nature at the most fundamental level on the one hand, but are hardly accessible for the standard mathematical tools on the other hand. The prototype examples of AdS/CFT relate classical supergravity theories on (d+1)-dimensional anti-de Sitter space (AdS) to strongly-coupled d-dimensional conformal field theories (CFTs). The AdS spacetimes admit a timelike conformal boundary, on which the dual CFT is defined. In that sense the AdS/CFT dualities are holographic, and this new approach has led to remarkable progress in understanding strongly-coupled QFTs defined on Minkowski space and on the Einstein cylinder. On the other hand, the study of QFT on more generic curved spacetimes is of fundamental interest and non-trivial already for free theories. Moreover, understanding the properties of gravity as a quantum theory remains among the hardest problems to solve in physics. Both of these issues can be studied holographically and we investigate here generalizations of AdS/CFT involving on the lower-dimensional side QFTs on curved backgrounds and as a further generalization gravity. In the first part we expand on the holographic description of QFT on fixed curved backgrounds, which involves gravity on an asymptotically-AdS space with that prescribed boundary structure. We discuss geometries with de Sitter and AdS as conformal boundary to holographically describe CFTs on these spacetimes. After setting up the procedure of holographic renormalization we study the reflection of CFT unitarity properties in the dual bulk description. The geometry with AdS on the boundary exhibits a number of interesting features, mainly due to the fact that the boundary itself has a boundary. We study both cases and resolve potential tensions between the unitarity properties of the bulk and boundary theories, which would be incompatible with a duality. The origin of these tensions is partly in the structure of the geometry with AdS conformal boundary, while another one arises for a particular limiting case where the bulk and boundary descriptions naively disagree. Besides technical challenges, the hierarchy of boundaries for the geometry with AdS conformal boundary offers an interesting option. Namely, having the dual theory on the conformal boundary itself defined on an AdS space offers the logical possibility of implementing a second instance of AdS/CFT. We discuss an appropriate geometric setting allowing for the notion of the boundary of a boundary and identify limitations for such multi-layered dualities. In the second part we consider five-dimensional supergravities whose solutions can be lifted to actual string-theory backgrounds. We work out the asymptotic structure of the theories on asymptotically-AdS spaces and calculate the Weyl anomaly of the dual CFTs. These holographic calculations confirm the expectations from the field-theory side and provide a non-trivial test of the AdS/CFT conjecture. Moreover, building on the previous results we show that in addition to the usual Dirichlet also more general boundary conditions can be imposed. That allows to promote the boundary metric to a dynamical quantity and is expected to yield a holographic description for a conformal supergravity on the boundary. The boundary theory obtained this way exhibits pathologies such as perturbative ghosts, which is in fact expected for a conformal gravity. The fate of these ghosts beyond perturbation theory is an open question and our setting provides a starting point to study it from the string-theory perspective. That discussion leads to a regime where the holographic description of the boundary theory requires quantization of the bulk supergravity. A necessary ingredient of any supergravity is a number of gravitinos as superpartners of the graviton, for which we thus need an effective-QFT description to make sense of AdS/CFT beyond the limit where bulk theory becomes classical. In particular, quantization should be possible not only on rigid AdS, but also on generic asymptotically-AdS spacetimes which may not be Einstein. In the third part we study the quantization and causality properties of the gravitino on Friedmann-Robertson-Walker spacetimes to explicitly show that a consistent quantization can be carried out also on non-Einstein spaces, in contrast to claims in the recent literature. Furthermore, this reveals interesting non-standard effects for the gravitino propagation, which in certain cases is restricted to regions more narrow than the expected light cones. / Die AdS/CFT-Dualitäten ermöglichen einen Zugang zu stark gekoppelten Quantenfeldtheorien (QFT), welche einerseits für die Beschreibung der Natur eine große Rolle spielen, andererseits aber mittels der üblichen mathematischen Methoden schwer zu behandeln sind. Die etablierten Beispiele solcher Dualitäten identifizieren klassische supersymmetrische Gravitationstheorien auf (d+1)-dimensionalen anti-de Sitter Räumen (AdS) mit d-dimensionalen stark gekoppelten konformen Feldtheorien (CFT). Die AdS Raumzeiten besitzen einen zeitartigen konformen Rand, auf dem die duale CFT definiert ist. In diesem Sinn sind die Dualitäten also holographisch, und dieser Zugang hat zu beachtlichen Fortschritten im Verständnis von CFT auf der Minkowski-Raumzeit und dem Einstein-Zylinder geführt. Auf der anderen Seite ist das Verständnis von QFT auf allgemeineren gekrümmten Raumzeiten von besonderem Interesse und nicht-trivial bereits für freie Theorien. Darüber hinaus bleibt das Verständnis von Gravitation als Quantentheorie eines der schwierigsten Probleme in der Physik. Beide Fragestellungen können holographisch betrachtet werden, und wir untersuchen hier Verallgemeinerungen der AdS/CFT-Dualitäten, welche auf der niederdimensionalen Seite QFT auf gekrümmten Räumen und als weitere Verallgemeinerung auch Gravitation beschreiben. Im ersten Teil erweitern wir die holographische Beschreibung von QFT auf festen gekrümmten Raumzeiten, welche sich Gravitationstheorien auf asymptotisch-AdS Räumen mit der entsprechenden Randstruktur bedient. Wir diskutieren Geometrien, deren konformer Rand mit de Sitter oder AdS Raumzeiten identifiziert werden kann, um CFTs auf diesen Räumen holographisch zu beschreiben. Nachdem wir die holographische Renormierung etabliert haben, studieren wir die Unitaritätseigenschaften der CFTs mit Hilfe der dualen bulk-Beschreibung. Die Geometrie mit AdS als Rand zeigt eine Reihe von interessanten Eigenschaften, hauptsächlich da der Rand dieser Geometrie selbst einen Rand hat. Wir untersuchen beide Geometrien und lösen potenzielle Differenzen zwischen den Rand- und bulk-Theorien, welche mit einer Dualität inkompatibel wären. Der Ursprung dieser Differenzen liegt zum einen in der Struktur der Geometrie mit AdS als Rand und rührt zum anderen von einem speziellen Grenzfall, in dem sich die beiden Beschreibungen auf den ersten Blick unterscheiden. Neben technischen Herausforderungen bietet die Hierarchie von Rändern bei der Geometrie mit AdS als Rand eine interessante Option: Mit der dualen CFT wiederum definiert auf einem AdS Raum besteht zumindest prinzipiell die Möglichkeit, eine weitere Instanz von AdS/CFT zu implementieren. Wir diskutieren den passenden geometrischen Rahmen, in dem der Begriff des Randes eines Randes ein wohldefiniertes Konzept ist, und identifizieren Einschränkungen für solche mehrstufige Dualitäten. Im zweiten Teil behandeln wir fünfdimensionale supersymmetrische Gravitationstheorien, deren Lösungen als Stringtheorie-Konfigurationen interpretiert werden können. Wir arbeiten die asymptotische Struktur dieser Theorien auf asymptotisch-AdS Räumen heraus und berechnen die Weyl-Anomalie der dualen CFTs. Diese Rechnungen bestätigen die Erwartungen von der Feldtheorieseite und liefern damit einen nicht-trivialen Test der AdS/CFT-Vermutung. Aufbauend auf diesen Resultaten zeigen wir, dass zusätzlich zu den üblichen Dirichlet- auch allgemeinere Randbedingungen gestellt werden können. Damit wird die Randmetrik zu einer dynamischen Größe und es ergibt sich eine duale Beschreibung für eine konforme Supergravitationstheorie auf dem Rand. Die so erhaltene Randtheorie weist pathologische Eigenschaften wie perturbative Geister auf, was für konforme Gravitationstheorien zu erwarten ist. Die Rolle dieser Geister über die Störungstheorie hinaus ist eine offene Frage und unsere Konstruktion bietet einen Startpunkt, sie von der Stringtheorie-Perspektive zu untersuchen. Dies führt uns in einen Bereich, in dem die holographische Beschreibung der Randtheorie die Quantisierung der bulk-Theorie erfordert. Ein Bestandteil jeder supersymmetrischen Gravitationstheorie ist das Gravitino als Partner des Gravitons, für welches wir daher eine Beschreibung in Form von effektiver QFT benötigen. Insbesondere sollte die Quantisierung auch auf allgemeineren Hintergründen, die nicht notwendig die Einstein-Bedingung erfüllen, möglich sein. Im dritten Teil studieren wir die Quantisierung und Kausalitätseigenschaften des Gravitinos auf Friedmann-Robertson-Walker Raumzeiten. Dabei zeigen wir, dass eine konsistente Quantisierung auch auf Raumzeiten möglich ist, die nicht der Einstein-Bedingung genügen, im Gegensatz zu anderslautenden Schlussfolgerungen in der aktuellen Literatur. Darüber hinaus finden wir interessante Effekte für die Propagation der Gravitinos, welche in bestimmten Fällen auf echte Teilmengen der zu erwartenden Lichtkegel eingeschränkt ist.

We employ the AdS/CFT correspondence and hydrodynamics to analyze the transport properties of \(2+1\) dimensional electron fluids. In this way, we use theoretical methods from both condensed matter and high-energy physics to derive tangible predictions that are directly verifiable in experiment. The first research topic we consider is strongly-coupled electron fluids. Motivated by early results by Gurzhi on the transport properties of weakly coupled fluids, we consider whether similar properties are manifest in strongly coupled fluids. More specifically, we focus on the hydrodynamic tail of the Gurzhi effect: A decrease in fluid resistance with increasing temperature due to the formation of a Poiseuille flow of electrons in the sample. We show that the hydrodynamic tail of the Gurzhi effect is also realized in strongly coupled and fully relativistic fluids, but with modified quantitative features. Namely, strongly-coupled fluids always exhibit a smaller resistance than weakly coupled ones and are, thus, far more efficient conductors. We also suggest that the coupling dependence of the resistance can be used to measure the coupling strength of the fluid. In view of these measurements, we provide analytical results for the resistance as a function of the shear viscosity over entropy density \(\eta/s\) of the fluid. \(\eta/s\) is itself a known function of the coupling strength in the weak and infinite coupling limits. In further analysis for strongly-coupled fluids, we propose a novel strongly coupled Dirac material based on a kagome lattice, Scandium-substituted Herbertsmithite (ScHb). The large coupling strength of this material, as well as its Dirac nature, provides us with theoretical and experimental access to non-perturbative relativistic and quantum critical physics. A highly suitable method for analyzing such a material's transport properties is the AdS/CFT correspondence. Concretely, using AdS/CFT we derive an estimate for ScHb's \(\eta/s\) and show that it takes a value much smaller than that observed in weakly coupled materials. In turn, the smallness of \(\eta/s\) implies that ScHb's Reynolds number, \(Re\), is large. In fact, \(Re\) is large enough for turbulence, the most prevalent feature of fluids in nature, to make its appearance for the first time in electronic fluids. Switching gears, we proceed to the second research topic considered in this thesis: Weakly coupled parity-breaking electron fluids. More precisely, we analyze the quantitative and qualitative changes to the classical Hall effect, for electrons propagating hydrodynamically in a lead. Apart from the Lorentz force, a parity-breaking fluid's motion is also impacted by the Hall-viscous force; the shear-stress force induced by the Hall-viscosity. We show that the interplay of these two forces leads to a hydrodynamic Hall voltage with non-linear dependence on the magnetic field. More importantly, the Lorentz and Hall-viscous forces become equal at a non-vanishing magnetic field, leading to a trivial hydrodynamic Hall voltage. Moreover, for small magnetic fields we provide analytic results for the dependence of the hydrodynamic Hall voltage on all experimentally-tuned parameters of our simulations, such as temperature and density. These dependences, along with the zero of the hydrodynamic Hall voltage, are distinct features of hydrodynamic transport and can be used to verify our predictions in experiments. Last but not least, we consider how a distinctly electronic property, spin, can be included into the hydrodynamic framework. In particular, we construct an effective action for non-dissipative spin hydrodynamics up to first order in a suitably defined derivative expansion. We also show that interesting spin-transport effects appear at second order in the derivative expansion. Namely, we show that the fluid's rotation polarizes its spin. This is the hydrodynamic manifestation of the Barnett effect and provides us with an example of hydrodynamic spintronics. To conclude this thesis, we discuss several possible extensions of our research, as well as proposals for research in related directions. / Wir verwenden die AdS/CFT-Korrespondenz und die Theorie der Hydrodynamik, um die Transporteigenschaften von \(2+1\)-dimensionalen Elektronisches Flüssigkeiten zu untersuchen. Somit nutzen wir sowohl theoretische Methoden der Fest\-körper\-physik als auch der Hochenergiephysik, um konkrete Vorhersagen zu treffen, die unmittelbar in Experimenten verifiziert werden können. Zunächst betrachten wir das Forschungsfeld der stark gekoppelten Elektronischen Flüssigkeiten. Motiviert durch die frühen Ergebnisse für die Transporteigenschaften schwach gekoppelter Flüssigkeiten von Gurzhi untersuchen wir, ob sich ähnliche Eigenschaften auch in stark gekoppelten Flüssigkei\-ten manifestieren. Dabei konzentrieren wir uns insbesondere auf den hydrodynamischen Teil des Gurzhi-Effekts, in welchem der Widerstand der Flüssigkeit mit steigender Temperatur sinkt, weil sich im untersuchten Material ein Poiseuillefluss von Elektronen bildet. Wir zeigen, dass dieser hydrodynamische Teil des Gurzhi-Effekts auch in stark gekoppelten und vollständig relativistischen Flüssigkeiten realisiert ist, einige Eigenschaften sich hierbei aber quantitativ unterscheiden. Insbesondere zeigen stark gekoppelte Flüssigkeiten immer kleinere Widerstände als schwach gekoppelte, und sind damit wesentlich effektivere Leiter. Wir schlagen darüber hinaus vor, die Abhängigkeit des Widerstands von der Kopplung zu nutzen, um die Kopplungsstärke der Flüssigkeit zu messen. Für diese Messungen stellen wir analytische Ergebnisse bereit, welche den Widerstand als Funktion des Quotienten aus Scherviskosität und Entropiedichte \(\eta/s\) der Flüssigkeit ausdrücken. Dabei ist \(\eta/s\) selbst eine bekannte Funktion der Kopplungsstärke in den Grenzfällen schwacher und unendlich starker Kopplung. In einer weiteren Untersuchung stark gekoppelter Flüssigkeiten schlagen wir Scandium-substituiertes Herbertsmithit (ScHb) als neuartiges, stark gekoppeltes Diracmaterial vor, welches auf dem Kagome-Gitter basiert. Die hohe Kopplungsstärke und die Dirac-Eigenschaften dieses Materials vermitteln uns theoretischen und experimentellen Zugang zu nicht perturbativer relativistischer und quantenkritischer Physik. Um die Transporteigenschaften eines solchen Materials zu untersuchen, stellt die AdS/CFT-Korrespondenz eine hervorragend geeignete Methode dar. Konkret nutzen wir AdS/CFT, um eine Abschätzung von \(\eta/s\) in ScHb herzuleiten. Der so ermittelte Wert ist wesentlich kleiner als der entsprechende Messwert für schwach gekoppelte Materialien. Der kleine Wert von \(\eta/s\) wiederum impliziert, dass die Reynolds-Zahl \(Re\) in ScHb groß ist. Tatsächlich ist \(Re\) hinreichend groß, um erstmals Turbulenz in Elektronisches Flüssigkeiten beobachten zu können, ein Effekt, der auch in viele anderen Flüssigkeiten in der Natur vorkommt. Wir gehen zum zweiten Forschungsthema über, welches in der vorliegenden Arbeit besprochen wird: schwach gekoppelte, paritätsbrechende Elektronisches Flüssigkeiten. Wir betracthen die hydrodynamische Bewegung von Elektronen in einen zwei dimensionalen Kanal, und untersuchen die sich ergebenden quantitativen und qualitativen Änderungen gegenüber dem klassischen Hall-Effekt. Außer der Lorentzkraft ist die Bewegung einer paritätsbrechenden Flüss auch den Einflüssen der Hallviskositätskraft ausgesetzt, welche die von der Hall Viskosität induzierte Scherspannungskraft ist. Wir zeigen, dass das Wechselspiel dieser beiden Kräfte zu einer hydrodynamischen Hall-Spannung führt, die nicht linear vom magnetischen Feld abhängt. Noch wichtiger ist, dass Lorentz- sowie hallviskose Kraft für ein nicht verschwindendes Magnetfeld gleich werden und damit zu einer trivialen hydrodynamischen Hall-Spannung führen. Darüber hinaus geben wir für kleine Magnetfeldstärken analytische Ergebnisse an, die die Abhängigkeit der hydrodynamischen Hall-Spannung von allen experimentell festgelegten Parametern unserer Simulation, wie z.B. Temperatur und Dichte, beschreiben. Diese Abhängigkeiten sind zusammen mit der verschwindenden hydrodynamischen Hall-Spannung charakteristische Eigenschaften hydrodynamischen Transports und können daher verwendet werden, um unsere Vorhersagen experimentell zu verifizieren. Zu guter Letzt untersuchen wir, wie eine charakteristische Eigenschaft von Elektronen, der Spin, in die hydrodynamische Theorie einbezogen werden kann. Dazu konstruieren wir eine effektive Wirkung, die nicht dissipative Spin-Hydrodynamik bis zur ersten Ordnung in einer geeigneten Ableitungsentwicklung beschreibt. Wir zeigen darüber hinaus, dass in zweiter Ordnung dieser Entwicklung interessante Spin-Transporteffekte auftreten. Dabei stellt sich heraus, dass die Rotation der Flüssigkeit seinen Spin polarisiert. Dies ist die hydrodynamische Manifestation des Barnett-Effekts, die als Beispiel für hydrodynamische Spintronics dient. Zum Abschluss der vorliegenden Arbeit diskutieren wir mehrere mögliche Erweiterungen unserer Untersuchungen und unterbreiten Vorschläge für weitergehende Forschung in verschiedene Richtungen.

This thesis studies connections between quantum information measures and geometric features of spacetimes within the AdS/CFT correspondence. These studies are motivated by the idea that spacetime can be thought of as an effect emerging from an underlying entanglement structure in the AdS/CFT correspondence. In particular, I study generalized entanglement measures in two-dimensional conformal field theories and their holographic duals. Unlike the ordinary entanglement entropy of a spatial subregion typically used in the AdS/CFT context, the generalization considered here measures correlations between different fields as well as between spatial degrees of freedom. I present a new gauge invariant definition of the generalized entanglement entropy applicable to both mixed and pure states as well as explicit results for thermal states of the S_N-orbifold theory of the D1/D5 system. Along the way, I develop computation techniques for conformal blocks on the torus and apply them to the calculation of the ordinary entanglement entropy for large central charge CFTs at finite size and finite temperature. The generalized Ryu-Takayanagi formula arising from these studies provides further support for the idea that entanglement and geometry are intrinsically linked in AdS/CFT. The results show that the holographic dual to the generalized entanglement entropy given by the length of a geodesic winding around black hole horizons or naked singularities probes subregions of spacetime that are inaccessible to Ryu-Takayanagi surfaces, thereby solving the puzzle of how these features of the spacetime are encoded in the boundary theory. Furthermore, I investigate quantum circuits embedded in two-dimensional conformal field theories as well as computational complexity measures therein. These investigations are motivated by conjectures relating computational complexity in conformal field theories to geometric features of black hole geometries. In this thesis, I study quantum circuits built up from conformal transformations. I investigate examples of computational complexity measures in these circuits related to geometric actions on coadjoint orbits of the Virasoro group and to the Fubini-Study metric. I then work out relations between these computational complexity measures and the dual gravitational theory. Moreover, I construct a bulk dual to the circuits in consideration and use this construction to study geometric realizations of computational complexity measures from first principles. The results of this part on the one hand rule out some possibilities for dual realizations of computational complexity in two-dimensional CFTs put forward in previous work while on the other hand providing a new robust dual realization of a computational complexity measure based on the Fubini-Study distance. / Diese Dissertation befasst sich mit Zusammenhängen zwischen Quanteninformationsmaßen und geometrischen Eigenschaften von Raumzeiten im Rahmen der AdS/CFT-Korrespondenz. Diese Untersuchungen sind motiviert durch die Idee, dass die Raumzeit in der AdS/CFT-Korrespondenz als ein Effekt verstanden werden kann, der aus einer zugrundeliegenden Verschränkungsstruktur entsteht. Insbesondere untersuche ich in dieser Arbeit verallgemeinerte Verschränkungsmaße in zweidimensionalen konformen Feldtheorien und deren holographisch duale Realisierungen. Anders als die normale Verschränkungsentropie einer räumlichen Teilregion, die üblicherweise im AdS/CFT-Kontext betrachtet wird, misst die verallgemeinerte Verschränkungsentropie Korrelationen sowohl zwischen verschiedenen Feldern als auch zwischen räumlichen Freiheitsgraden. Ich stelle eine neue eichinvariante Definition der verallgemeinerten Verschränkungsentropie, die sowohl für reine als auch für gemischte Zustände anwendbar ist, sowie explizite Berechnungen dieser Verschränkungsentropie in der S_N-Orbifaltigkeitstheorie des D1/D5-Systems vor. Nebenbei entwickle ich Berechnungsmethoden für konforme Blöcke auf dem Torus und wende diese auf die Berechnung der normalen Verschränkungsentropie für konforme Feldtheorien mit großer zentraler Ladung bei endlicher Systemgröße und endlicher Temperatur an. Die verallgemeinerte Ryu-Takayanagi-Formel, die sich aus diesen Betrachtungen ergibt, unterstützt die Idee, dass Verschränkung und Geometrie in der AdS/CFT-Korrespondenz untrennbar miteinander verbunden sind. Die Ergebnisse zeigen, dass das holographische Dual zur verallgemeinerten Verschränkungsentropie, gegeben durch die Länge einer Geodäte die sich um einen Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs oder eine nackte Singularität windet, in Teilregionen der Raumzeit eindringt die für Ryu-Takayanagi-Flächen unerreichbar sind. Damit klären sie auf wie diese Eigenschaften der Raumzeit in der Randtheorie kodiert sind. Des weiteren untersuche ich Quantenschaltkreise eingebettet in zweidimensionale konforme Feldtheorie und deren Komplexität. Diese Untersuchungen sind motiviert durch Hypothesen, die Komplexitätstheorie mit Eigenschaften von Raumzeiten schwarzer Löcher in Verbindung bringen. In dieser Dissertation analysiere ich Quantenschaltkreise, die aus konformen Transformationen aufgebaut sind. Ich betrachte Komplexitätsmaße in diesen Schaltkreisen zusammenhängend mit geometrischen Wirkungen auf koadjungierten Orbits der Virasoro-Gruppe oder mit der Fubini-Study-Metrik und arbeite Zusammenhänge zwischen diesen Komplexitätsmaßen und Aspekten der dualen Gravitationstheorie heraus. Außerdem konstruiere ich das Dual der betrachteten Schaltkreise in der Gravitationstheorie und untersuche damit geometrische Realisierungen von Komplexitätsmaßen. Die Ergebnisse dieses Teils schließen einerseits einige Möglichkeiten für duale Realisierungen von Komplexitätsmaßen aus, die in vorigen Arbeiten vorgeschlagen wurden, ergeben aber andererseits eine robuste neue duale Realisierung eines Komplexitätsmaßes basierend auf der Fubini-Study-Metrik.

In this thesis, I establish new relations between quantum information measures in a two-dimensional CFT and geometric objects in a three-dimensional AdS space employing the AdS/CFT correspondence. I focus on two quantum information measures: the computational cost of quantum circuits in a CFT and Berry phases in two entangled CFTs. In particular, I show that these quantities are associated with geometric objects in the dual AdS space. / In dieser Arbeit stelle ich neue Beziehungen zwischen Quanteninformationsmaßen in einer zweidimensionalen CFT und geometrischen Objekten in einem dreidimensionalen AdS-Raum unter Verwendung der AdS/CFT-Korrespondenz her. Ich betrachte zwei Quanteninformationsmaße: die Rechenkosten eines Quantenschaltkreises in der CFT und Berry-Phasen in zwei verschränkten CFTs. Insbesondere zeige ich, dass diese Größen mit geometrischen Objekten im AdS-Raum assoziiert sind.

Wir untersuchen die perturbative Quantentheorie verschiedener integrabler Yang-Baxter-Deformationen des freien Superstrings auf AdS-Räumen. Dazu berechnen wir die Zwei-Körper-Streumatrix auf Baum-Niveau auf dem Weltenblatt mit Feynman-Diagramm-Methoden. Die verschiedenen Deformationen sind: (1) Alle abelschen Deformationen von AdS₅ ⨉ S⁵, die die Fixierung der Lichtkegel-Eichung erlauben. Diese sind dual zur nicht-kommutativen Super-Yang-Mills-Theorie und werden äquivalent durch TsT-Transformationen oder verwundene Randbedingungen beschrieben. Wir berechnen die bosonische Streumatrix auf Baum-Niveau für den BMN-String in uniformer Lichtkegel-Eichung. Die Streumatrix wird in den meisten Fällen durch einen Drinfeld-Verwindungen ausgedrückt; in einigen Fällen wird sie stattdessen durch eine verschobene Impulsabhängigkeit ausgedrückt. Abschließend vergleichen wir die aus diesen Ergebnissen abgeleiteten Bethe-Gleichungen mit denen des Modells mit verwundene Randbedingungen und stellen eine perfekte Übereinstimmung fest. Für Deformationen des GKP-Strings können wir aufgrund konzeptioneller Hindernisse keine deformierte Streumatrix um die Null-Cusp-Lösung bestimmen. (2) Die inhomogene oder eta-Deformation von AdS₅ ⨉ S⁵ entsprechend dem fermionischen Dynkin-Diagramm. Wir berechnen die Zwei-Körper-Streumatrix auf Baum-Niveau zu quadratischer fermionischer Ordnung in uniformer Lichtkegel-Eichung. Sie erfüllt die klassische Yang-Baxter-Gleichung, faktorisiert in zwei Blöcke und entspricht der exakten Streumatrix für ein Modell mit trigonometrisch quantendeformierter Symmetrie. (3) Inhomogene bi-Yang-Baxter-Deformationen von AdS₃ ⨉ S³ ⨉ T⁴ für mehrere Dynkin-Diagramme. Wir berechnen die Zwei-Körper-Streumatrix auf Baum-Niveau zu quadratischer fermionischer Ordnung in uniformer Lichtkegel-Eichung. Alle Deformationen ergeben die gleiche Streumatrix, die mit der erwarteten exakten Streumatrix bei trigonometrisch quantendeformierter Symmetrie übereinstimmt. / We study the perturbative quantum theory of various integrable Yang-Baxter deformations of the free superstring on AdS spaces. For this we compute the two-body tree-level scattering matrix on the worldsheet using Feynman diagram methods. The various deformations are: (1) All distinct Abelian deformations of AdS₅ ⨉ S⁵ allowing light-cone gauge fixing. These are dual to noncommutative super Yang-Mills theory and equivalently described through TsT transformations or twisted boundary conditions. We compute the bosonic tree-level scattering matrix for the BMN string in uniform light-cone gauge. The scattering matrix is expressed through a Drinfeld twist for most cases; for some cases it is expressed instead through a shifted momentum dependence. Lastly, we compare the Bethe equations derived from these results to the equations of the model with twisted boundary conditions and find perfect agreement. For deformations of the GKP string we are not able to determine a deformed scattering matrix around the null-cusp solution due to actions incompatible with perturbation theory in momentum space. (2) The inhomogeneous or eta deformation of AdS₅ ⨉ S⁵ corresponding to the fermionic Dynkin diagram. We compute the two-body tree-level scattering matrix up to second order in fermions in uniform light-cone gauge. It satisfies the classical Yang-Baxter equation, factorizes into two blocks and matches the exact scattering matrix for a model with trigonometrically quantum-deformed symmetry. (3) Inhomogeneous bi-Yang-Baxter deformations of AdS₃ ⨉ S³ ⨉ T⁴ for multiple Dynkin diagrams. We compute the two-body tree-level scattering matrix up to second order in fermions in uniform light-cone gauge. All deformations give the same scattering matrix, which matches the expected exact scattering matrix with trigonometrically quantum-deformed symmetry.

Diese Doktorarbeit behandelt quantentheoretische Aspekte von Typ II Superstringtheorien in AdS5xS5- und AdS4xCP3-Hintergründen für die AdS/CFT Korrespondenz. Dabei werden perturbative Methoden und Verfahren der Gitterfeldtheorie benutzt. Die Konstruktion des Supercoset-Sigma-Modell für Strings im AdS5xS5wird skizziert, während die generelle Quantendynamik des Superstring in AdS4xCP3 mit Hilfe einer dimensionaler Reduktion der Supermembrane-Wirkung in AdS4xS7 beschrieben wird. Ein manifest kovarianter Formalismus zur semi-klassischen Quantisierung von Strings um beliebige Minimalflächen in AdS5xS5 wird präsentiert, der durch die Darstellung der Fluktuationsoperatoren in Form von intrinsischen und extrinsischen Varianten der Hintergrundgeometrie erreicht wird. Eine Verallgemeinerung der Lame-Differentialgleichung zur 4. Ordnungwird mit Hilfe der Spektralmethode exakt gelöst. Dadurch konnten in 1-Schleifennäherung die Energie des String im SU(2)-Sektor, im Grenzfall beschrieben durch ein Quantum-Landau-Lifshitz-Modell, und der bosonische Beitrag zur Energie des in AdS5 und S5 rotierenden String bestimmt werden. In ähnlicher Weise erhält man in 1-Schleifennäherung den ¼-BPS-Latitude Wilson-Loop in N=4-SYM-Theorie normiert durch den ½-BPS-Loop. Das Regularisierungsschema reproduziert die Vorhersage aus supersymmetrischer Lokalisierung bis auf einen Rest, welcher diskutiert wird. Außerdem wird die Wirkung des AdS4xCP3-String, entwickelt um den null-cusp Hintergrund, studiert und die Cusp-Anomalie in 2-Schleifennäherung berechnet. Das Ergebnis stimmt mit dem vermuteten exakten Ausdruck, der ABJM-Interpolationsfunktion, überein. Schließlich wird die AdS5xS5-Superstringtheorie in AdS-Lichtkegel-Eichung diskretisiert und mit Monte-Carlo-Algorithmen Gittersimulationen bei endlicher Kopplung durchgeführt. Dabei werden die Stringwirkung, aus der mit Hilfe von AdS/CFT die null-cusp anomale Dimension von N=4 SYM extrahiert werden kann, und die Masse einer AdS Anregung bestimmt. / This thesis discusses quantum aspects of type II superstring theories in AdS5xS5 and AdS4xCP3 backgrounds relevant for the AdS/CFT correspondence, using perturbative methods at large string tension and lattice field theory techniques inspired by a work of Roiban and McKeown. We review the construction of the supercoset sigma-model for strings in the AdS5xS5 background, whereas the general quantum dynamics of the superstring in AdS4xCP3 is described by a double dimensional reduction of the supermembrane action in AdS4xS7. We present a manifestly covariant formalism for semiclassical quantization of strings around arbitrary minimal-area surfaces in AdS5xS5, expressing the fluctuation operators in terms of intrinsic and extrinsic invariants of the background geometry. We exactly solve the spectral problem for a fourth-order generalization of the Lame'' differential equation with doubly periodic coefficients in a complex variable. This calculates the one-loop energy of the (J1,J2)-string in the SU(2) sector in the limit described by a quantum Landau-Lifshitz model and the bosonic contribution to the energy of the (S,J)-string rotating in AdS5 and S5. Similar techniques calculate the 1/4-BPS latitude Wilson loops in N=4 SYM theory at one loop, normalized to the 1/2-BPS circular loop. Our regularization scheme reproduces the next-to-leading order predicted by supersymmetric localization, up to a remainder function that we discuss upon. We also study the AdS4xCP3 string action expanded around the null cusp background and compute the cusp anomaly up to two loops. This agrees with an all-loop conjectured expression of the ABJM interpolating function. We finally discretize the AdS5xS5 superstring theory in the AdS light-cone gauge and perform lattice simulations at finite coupling with a Monte Carlo algorithm. We measure the string action, from which we extract the null cusp anomalous dimension of N=4 SYM as derived from AdS/CFT, as well as the mass of an AdS excitation.

In der vorliegenden Arbeit werden versteckte Symmetrien innnerhalb der N=4 supersymmetrischen Yang--Mills Theorie oder der nach der AdS/CFT Korrespondenz dualen Beschreibung durch eine String-Theorie in AdS5 x S5 besprochen. Dabei betrachten wir die Maldacena--Wilson Schleife, die sich für diese Untersuchungen besonders eignet, da ihr Vakuum-Erwartungswert für glatte Kurven nicht divergiert und die vermutete Dualität zu Streuamplituden wenigstens konzeptionell eine Möglichkeit bietet, etwaige Symmetrien zu anderen Observablen zu übertragen. Ihre Beschreibung durch Minimalflächen in AdS5 erlaubt es, Symmetrien mithilfe der Integrabilität der zugrunde liegenden klassischen String-Theorie zu konstruieren. Dieser Zugang wurde bereits in der Herleitung der Yang'schen Symmetrie der Maldacena--Wilson Schleife bei starker Kopplung sowie in der Beschreibung von Deformationen gleiches Flächeninhalts von Minimalflächen in AdS3 verwendet. Diese beiden Ergebnisse werden in der vorliegenden Arbeit miteinander verbunden und erweitert. Im Sinne einer systematischen Herangehensweise besprechen wir zunächst die Symmetriestruktur der zugrunde liegenden String-Theorie. Diese Diskussion lässt sich auf die Diskussion von String-Theorien in symmetrischen Räumen verallgemeinern. Dabei zeigt sich, dass die Symmetrie, welche die Deformationen gleiches Flächeninhalts in AdS3 erzeugt, in der Symmetriestruktur dieser Modelle eine zentrale Rolle einnimmt: Sie wirkt als Aufsteige-Operator auf den unendlich vielen erhalten Ladungen und generiert somit den Spektralparameter. Weiterhin lässt sie sich anwenden, um ausgehend von der globalen Symmetrie sämtliche Symmetrien des zugrunde liegenden Modells zu konstruieren. Sie wird daher als die Master-Symmetrie dieser Modelle bezeichnet. Zusätzlich wird die Algebra der Symmetrie-Variationen sowie der erhaltenen Ladungen ausgearbeitet. Für den konkreten Fall von Minimalflächen in AdS5 diskutieren wir die Deformation der Minimalflächenlösung für den Fall eines lichtartigen Vierecks. Diese liefert die duale Beschreibung der Streuamplitude für vier Gluonen. Damit unternehmen wir einen ersten Schritt zur Übertragung der Master-Symmetrie auf Streuamplituden. Weiterhin berechnen wir die Variation der Randkurven der Minimalflächen unter der Master- und Yang'schen Symmetrie für allgemeine, glatte Randkurven. Das Ergebnis dieser Rechnung führt auf eine Verallgemeinerung der Master-Symmetrie zu einer Variation, die von der Kopplungskonstanten abhängt und für beliebige Werte der Kopplungskonstanten eine Symmetrie der Maldacena--Wilson Schleife darstellt. Unsere Diskussion erklärt das Scheitern vorheriger Versuche, die entsprechende Symmetrie im Spezialfall von Minimalflächen in AdS3 zu schwacher Kopplung zu übertragen. Wir besprechen verschiedene Ansätze, die Yang'sche Symmetrie zu schwacher oder beliebiger Kopplung zu übertragen, schlussfolgern aber letztendlich, dass eine Yang'sche Symmetrie der Maldacena--Wilson Schleife nicht vorzuliegen scheint. Die Situation ändert sich, wenn wir Wilson Schleifen in Superräumen betrachten. Diese sind die natürlichen supersymmetrischen Erweiterungen der Maldacena--Wilson Schleife. Für die Yang'sche Invarianz ihres Vakuum-Erwartungswerts wurden wichtige Anhaltspunkte gefunden und sowohl die Beschreibung dieser Operatoren als auch der Beweis der Yang'schen Invarianz bei schwacher Kopplung wurden parallel zur Arbeit an der vorliegenden Dissertation vervollständigt. Wir diskutieren das Gegenstück zu diesem Ergebnis bei starker Kopplung. Dort wird die Wilson Schleife durch eine Minimalfläche beschrieben, welche im Superraum der Superstring-Theorie vom Typ IIB in AdS5 x S5 liegt. Der Vergleich der bei starken Kopplung etablierten Invarianz mit den entsprechenden Generatoren bei schwacher Kopplung zeigt, dass die Symmetrie-Generatoren einen lokalen Anteil enthalten, der auf nicht-triviale Weise vom Wert der Kopplungskonstanten abhängt. Zusätzlich finden wir sogenannte Bonus-Symmetrien. Diese sind die analogen Generatoren in den höheren Ordnungen zum Hyperladungs-Generator, der selbst keine Symmetrie darstellt. Wir zeigen, dass diese Symmetrien in allen höheren Ordnungen der Yang'schen Algebra vorliegen. / This thesis discusses hidden symmetries within N=4 supersymmetric Yang--Mills theory or its AdS/CFT dual, string theory in AdS5 x S5. Here, we focus on the Maldacena--Wilson loop, which is a suitable object for this study since its vacuum expectation value is finite for smooth contours and the conjectured duality to scattering amplitudes provides a conceptual path to transfer its symmetries to other observables. Its strong-coupling description via minimal surfaces in AdS5 allows to construct the symmetries from the integrability of the underlying classical string theory. This approach has been utilized before to derive a strong-coupling Yangian symmetry of the Maldacena--Wilson loop and describe equiareal deformations of minimal surfaces in AdS3. These two findings are connected and extended in the present thesis. In order to discuss the symmetries systematically, we first discuss the symmetry structure of the underlying string model. The discussion can be generalized to the discussion of generic symmetric space models. For these, we find that the symmetry which generates the equiareal deformations of minimal surfaces in AdS3 has a central role in the symmetry structure of the model: It acts as a raising operator on the infinite tower of conserved charges, thus generating the spectral parameter, and can be employed to construct all symmetry variations from the global symmetry of the model. It is thus referred to as the master symmetry of symmetric space models. Additionally, the algebra of the symmetry variations and the conserved charges is worked out. For the concrete case of minimal surfaces in AdS5, we discuss the deformation of the four-cusp solution, which provides the dual description of the four-gluon scattering amplitude. This marks the first step toward transferring the master symmetry to scattering amplitudes. Moreover, we compute the master and Yangian symmetry variations of generic, smooth boundary curves. The results leads to a coupling-dependent generalization of the master symmetry, which constitutes a symmetry of the Maldacena--Wilson loop at any value of the coupling constant. Our discussion clarifies why previous attempts to transfer the deformations of minimal surfaces in AdS3 to weak coupling were unsuccessful. We discuss several attempts to transfer the Yangian symmetry to weak or arbitrary coupling, but ultimately conclude that a Yangian symmetry of the Maldacena--Wilson loop seems not to be present. The situation changes when we consider Wilson loops in superspace, which are the natural supersymmetric generalizations of the Maldacena--Wilson loop. Substantial evidence for the Yangian invariance of their vacuum expectation value has been provided at weak coupling and the description of the operator as well as its weak-coupling Yangian invariance were subsequently established in parallel to the work on this thesis. We discuss the strong-coupling counterpart of this finding, where the Wilson loop in superspace is described by minimal surfaces in the superspace of type IIB superstring theory in AdS5 x S5. The comparison of the strong-coupling invariance derived here with the respective generators at weak coupling shows that the generators contain a local term, which depends on the coupling in a non-trivial way. Additionally, we find so-called bonus symmetry generators. These are the higher-level recurrences of the superconformal hypercharge generator, which does not provide a symmetry itself. We show that these symmetries are present in all higher levels of the Yangian.

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