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In this work we study the framework of mathematical morphology on simplicial complex spaces. Simplicial complexes are a versatile and widely used structure to represent multidimensional data, such as meshes, that are tridimensional complexes, or graphs, that can be interpreted as bidimensional complexes. Mathematical morphology is one of the most powerful frameworks for image processing, including the processing of digital structures, and is heavily used for many applications. However, mathematical morphology operators on simplicial complex spaces is not a concept fully developped in the literature. In this work, we review some classical operators from simplicial complexes under the light of mathematical morphology, to show that they are morphology operators. We define some basic lattices and operators acting on these lattices: dilations, erosions, openings, closings and alternating sequential filters, including their extension to weighted simplexes. However, the main contributions of this work are what we called dimensional operators, small, versatile operators that can be used to define new operators on simplicial complexes, while mantaining properties from mathematical morphology. These operators can also be used to express virtually any operator from the literature. We illustrate all the defined operators and compare the alternating sequential filters against filters defined in the literature, where our filters show better results for removal of small, intense, noise from binary images

Dans ce travail, nous étudions le cadre de la morphologie mathématique sur les complexes simpliciaux. Complexes simpliciaux sont une structure versatile et largement utilisée pour représenter des données multidimensionnelles, telles que des maillages, qui sont des complexes tridimensionnels, ou des graphes, qui peuvent être interprétées comme des complexes bidimensionnels. La morphologie mathématique est l'un des cadres les plus puissants pour le traitement de l'image, y compris le traitement des structures numériques, et est largement utilisé pour de nombreuses applications. Toutefois, les opérateurs de morphologie mathématique sur des espaces complexes simpliciaux n'est pas un concept entièrement développé dans la littérature. Dans ce travail, nous passons en revue certains opérateurs classiques des complexes simpliciaux sous la lumière de la morphologie mathématique, de montrer qu'ils sont des opérateurs de morphologie. Nous définissons certains treillis de base et les opérateurs agissant sur ces treillis: dilatations, érosions, ouvertures, fermetures et filtres alternés séquentiels, et aussi leur extension à simplexes pondérés. Cependant, les principales contributions de ce travail sont ce que nous appelions les opérateurs dimensionnels, petites et polyvalents opérateurs qui peuvent être utilisés pour définir de nouveaux opérateurs sur les complexes simpliciaux, qui garde les propriétés de la morphologie mathématique. Ces opérateurs peuvent également être utilisés pour exprimer pratiquement n'importe quel opérateur dans la littérature. Nous illustrons les opérateurs définis et nous comparons les filtres alternés séquentiels contre filtres définis dans la littérature, où nos filtres présentent de meilleurs résultats pour l'enlèvement du petit, intense bruit des images binaires / In this work we study the framework of mathematical morphology on simplicial complex spaces. Simplicial complexes are a versatile and widely used structure to represent multidimensional data, such as meshes, that are tridimensional complexes, or graphs, that can be interpreted as bidimensional complexes. Mathematical morphology is one of the most powerful frameworks for image processing, including the processing of digital structures, and is heavily used for many applications. However, mathematical morphology operators on simplicial complex spaces is not a concept fully developped in the literature. In this work, we review some classical operators from simplicial complexes under the light of mathematical morphology, to show that they are morphology operators. We define some basic lattices and operators acting on these lattices: dilations, erosions, openings, closings and alternating sequential filters, including their extension to weighted simplexes. However, the main contributions of this work are what we called dimensional operators, small, versatile operators that can be used to define new operators on simplicial complexes, while mantaining properties from mathematical morphology. These operators can also be used to express virtually any operator from the literature. We illustrate all the defined operators and compare the alternating sequential filters against filters defined in the literature, where our filters show better results for removal of small, intense, noise from binary images

Représentations symboliques musicales et calcul spatial. La notion d'espace symbolique est fréquemment utilisée en théorie, analyse et composition musicale. La représentation de séquences dans des espaces de hauteurs, comme le Tonnetz, permet de capturer des propriétés mélodiques et harmoniques qui échappent aux systèmes de représentation traditionnels. Nous généralisons cette approche en reformulant d'un point de vue spatial différents problèmes musicaux (reconnaissance de style, transformations mélodiques et harmoniques, classification des séries tous-intervalles, etc.). Les espaces sont formalisés à l'aide de collections topologiques, une notion correspondant à la décoration d'un complexe cellulaire en topologie algébrique. Un complexe cellulaire per- met la représentation discrète d'un espace à travers un ensemble de cellules topologiques liées les unes aux autres par des relations de voisinage spécifiques. Nous représentons des objets musicaux élémentaires (par exemple des hauteurs ou des accords) par des cellules et construisons un complexe en les organisant suivant une relation de voisinage définie par une propriété musicale. Une séquence musicale est représentée dans un complexe par une trajectoire. L'aspect de la trajectoire révèle des informations sur le style de la pièce et les stratégies de composition employées. L'application d'opérations géométriques sur les trajectoires entraîne des transformations sur la pièce musicale initiale. Les espaces et les trajectoires sont construits à l'aide du langage MGS, un langage de programmation expérimental dédié au calcul spatial, qui vise à introduire la notion d'espace dans le calcul. Un outil, HexaChord, a été développé afin de faciliter l'utilisation de ces notions pour un ensemble prédéfinis d'espaces musicaux / Musical symbolic representations and spatial computing. The notion of symbolic space is frequently used in music theory, analysis and composition. Representing sequences in pitch (or chord) spaces, like the Tonnetz, enables to catch some harmonic and melodic properties that elude traditional representation systems. We generalize this approach by rephrasing in spatial terms different musical purposes (style recognition, melodic and harmonic transformations, all-interval series classification, etc.). Spaces are formalized as topological collections, a notion corresponding with the label- ling of a cellular complex in algebraic topology. A cellular complex enables the discrete representation of a space through a set of topological cells linked by specific neighborhood relationships. We represent simple musical objects (for example pitches or chords) by cells and build a complex by organizing them following a particular neighborhood relationship defined by a musical property. A musical sequence is represented in a complex by a trajectory. The look of the trajectory reveals some informations concerning the style of the piece, and musical strategies used by the composer. Spaces and trajectories are computed with MGS, an experimental programming language dedicated to spatial computing, that aims at introducing the notion of space in computation. A tool, HexaChord, has been developped in order to facilitate the use of these notions for a predefined set of musical spaces

Various data structures have been proposed for representing the connectivity of manifold triangle meshes. For example, the Extended Corner Table (ECT) stores V+6T references, where V and T respectively denote the vertex and triangle counts. ECT supports Random Access and Traversal (RAT) operators at Constant Amortized Time (CAT) cost. We propose two novel variations of ECT that also support RAT operations at CAT cost, but can be used to represent and process Simplicial 2-Complexes (S2Cs), which may represent star-connecting, non-orientable, and non-manifold triangulations along with dangling edges, which we call sticks. Vlist stores V+3T+3S+3(C+S-N) references, where S denotes the stick count, C denotes the number of edge-connected components and N denotes the number of star-connecting vertices. Ering stores 6T+3S+3(C+S-N) references, but has two advantages over Vlist: the Ering implementation of the operators is faster and is purely topological (i.e., it does not perform geometric queries). Vlist and Ering representations have two principal advantages over previously proposed representations for simplicial complexes: (1) Lower storage cost, at least for meshes with significantly more triangles than sticks, and (2) explicit support of side-respecting traversal operators which each walks from a corner on the face of a triangle t across an edge or a vertex of t, to a corner on a faces of a triangle or to an end of a stick that share a vertex with t, and this without ever piercing through the surface of a triangle.

Η παρούσα διατριβή αφορά στη μελέτη του συνόρου υπερβολικών δισδιάστατων πολυέδρων. Οι χώροι οι οποίοι μελετώνται κατασκευάζονται κολλώντας υπερβολικά τρίγωνα τα οποία έχουν 2 τουλάχιστον κορυφές στο άπειρο. Οι συγκολλήσεις γίνονται με ισομετρίες κατά μήκος των πλευρών των τριγώνων και οι χώροι οι οποίοι προκύπτουν εφοδιάζονται φυσιολογικά με μία γεωμετρία η οποία έχει ομοιότητες με την γεωμετρία των υπερβολικών πολλαπλοτήτων. Αρχικά μελετάμε τις βασικές ιδιότητες των δισδιάστατων ιδεωδών πολυέδρων και αποδεικνύουμε ότι: «Για κάθε δύο σημεία του συνόρου του καθολικού καλύμματος του χώρου που κατασκευάζουμε, υπάρχει άπειρο πλήθος υποχώρων του συνόρου ομοιομορφικών με το οι οποίοι περιέχουν τα σημεία αυτά». Στη συνέχεια, για μια ειδική κλάση πολυέδρων που κατασκευάζουμε κολλώντας με ισομετρίες κατά μήκος των πλευρών τους πεπερασμένα υπερβολικά τρίγωνα τα οποία έχουν δύο κορυφές στο άπειρο, αποδεικνύουμε επιπλέον ότι: «το σύνορο του καθολικού καλύμματος του χώρου που κατασκευάζουμε είναι τοπικά συνεκτικό κατά τόξα». Τέλος, στην τρίτη ενότητα δίδουμε μια τοπολογική περιγραφή του συνόρου των ιδεωδών πολυέδρων διάστασης 2. / The present work is related to the study of the visual boundary of hyperbolic two dimensional simplicial complexes. We construct (and study) spaces by gluing hyperbolic triangles with at least two vertices at infinity. We glue the triangles by isometries along their sides and we study the derived spaces. In the first chapter it is proved that for every two points in the visual boundary of the universal covering of a two dimensional ideal polyhedron, there is an infinity of paths joining them. In the second chapter, a class of hyperbolic two dimensional complexes X is defined. Is is shown that the limit set of the action of π1(X) on the universal covering of X, is equal to the visual boundary and also that the visual boundary is path connected and locally path connected. Finally, in the third chapter a kind of Sierpinski set is described which is homeomorphic to the visual boundary of certain ideal polyhedra.

Submitted by Livia Mello (liviacmello@yahoo.com.br) on 2016-10-05T14:40:49Z No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-20T19:23:38Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) / Approved for entry into archive by Marina Freitas (marinapf@ufscar.br) on 2016-10-20T19:23:43Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-10-20T19:23:50Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissCHFP.pdf: 1216039 bytes, checksum: e21e062b0283d2bfe6ec436442e824a5 (MD5) Previous issue date: 2016-02-25 / Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP) / In this work, we will use topological methods in combinatorics and geometry to present a proof of the topological Tverberg theorem and a result about many Tverberg partitions. / O objetivo principal desta dissertação consiste em desenvolver um estudo detalhado de métodos topológicos em combinatória e geometria visando apresentar uma prova da versão topológica do teorema de Tverberg e de um teorema sobre a quantidade de partições de Tverberg. / FAPESP: 2015/01264-7

La quantité de données disponibles n'a jamais été aussi grande. Se poser les bonnes questions, c'est-à-dire des questions qui soient à la fois pertinentes et dont la réponse est accessible est difficile. L'analyse topologique de données tente de contourner le problème en ne posant pas une question trop précise mais en recherchant une structure sous-jacente aux données. Une telle structure est intéressante en soi mais elle peut également guider le questionnement de l'analyste et le diriger vers des questions pertinentes. Un des outils les plus utilisés dans ce domaine est l'homologie persistante. Analysant les données à toutes les échelles simultanément, la persistance permet d'éviter le choix d'une échelle particulière. De plus, ses propriétés de stabilité fournissent une manière naturelle pour passer de données discrètes à des objets continus. Cependant, l'homologie persistante se heurte à deux obstacles. Sa construction se heurte généralement à une trop large taille des structures de données pour le travail en grandes dimensions et sa robustesse ne s'étend pas au bruit aberrant, c'est-à-dire à la présence de points non corrélés avec la structure sous-jacente.Dans cette thèse, je pars de ces deux constatations et m'applique tout d'abord à rendre le calcul de l'homologie persistante robuste au bruit aberrant par l'utilisation de la distance à la mesure. Utilisant une approximation du calcul de l'homologie persistante pour la distance à la mesure, je fournis un algorithme complet permettant d'utiliser l'homologie persistante pour l'analyse topologique de données de petite dimension intrinsèque mais pouvant être plongées dans des espaces de grande dimension. Précédemment, l'homologie persistante a également été utilisée pour analyser des champs scalaires. Ici encore, le problème du bruit aberrant limitait son utilisation et je propose une méthode dérivée de l'utilisation de la distance à la mesure afin d'obtenir une robustesse au bruit aberrant. Cela passe par l'introduction de nouvelles conditions de bruit et l'utilisation d'un nouvel opérateur de régression. Ces deux objets font l'objet d'une étude spécifique. Le travail réalisé au cours de cette thèse permet maintenant d'utiliser l'homologie persistante dans des cas d'applications réelles en grandes dimensions, que ce soit pour l'inférence topologique ou l'analyse de champs scalaires. / Massive amounts of data are now available for study. Asking questions that are both relevant and possible to answer is a difficult task. One can look for something different than the answer to a precise question. Topological data analysis looks for structure in point cloud data, which can be informative by itself but can also provide directions for further questioning. A common challenge faced in this area is the choice of the right scale at which to process the data.One widely used tool in this domain is persistent homology. By processing the data at all scales, it does not rely on a particular choice of scale. Moreover, its stability properties provide a natural way to go from discrete data to an underlying continuous structure. Finally, it can be combined with other tools, like the distance to a measure, which allows to handle noise that are unbounded. The main caveat of this approach is its high complexity.In this thesis, we will introduce topological data analysis and persistent homology, then show how to use approximation to reduce the computational complexity. We provide an approximation scheme to the distance to a measure and a sparsifying method of weighted Vietoris-Rips complexes in order to approximate persistence diagrams with practical complexity. We detail the specific properties of these constructions.Persistent homology was previously shown to be of use for scalar field analysis. We provide a way to combine it with the distance to a measure in order to handle a wider class of noise, especially data with unbounded errors. Finally, we discuss interesting opportunities opened by these results to study data where parts are missing or erroneous.