La théorie de l'homologie généralise en dimensions supérieures la notion de connectivité dans les graphes. Étant donné un domaine, décrit par un complexe simplicial, elle définit une famille de groupes qui capturent le nombre de composantes connexes, le nombre de trous, le nombre de cavités et le nombre de motifs équivalents en dimensions supérieures. En pratique, l'homologie permet d'analyser des systèmes de données complexes, interprétés comme des nuages de points dans des espaces métriques. La théorie de l'homologie persistante introduit une notion robuste d'homologie pour l'inférence topologique. Son champ d'application est vaste, et comprend notamment la description d'espaces des configurations de systèmes dynamiques complexes, la classification de formes soumises à des déformations et l'apprentissage en imagerie médicale. Dans cette thèse, nous étudions les ramifications algorithmiques de l'homologie persistante. En premier lieu, nous introduisons l'arbre des simplexes, une structure de données efficace pour construire et manipuler des complexes simpliciaux de grandes dimensions. Nous présentons ensuite une implémentation rapide de l'algorithme de cohomologie persistante à l'aide d'une matrice d'annotations compressée. Nous raffinons également l'inférence de topologie en décrivant une notion de torsion en homologie persistante, et nous introduisons la méthode de reconstruction modulaire pour son calcul. Enfin, nous présentons un algorithme de calcul de l'homologie persistante zigzag, qui est une généralisation algébrique de la persistance. Pour cet algorithme, nous introduisons de nouveaux théorèmes de transformations locales en théorie des représentations de carquois, appelés principes du diamant. Ces algorithmes sont tous implémentés dans la librairie de calcul Gudhi. / The theory of homology generalizes the notion of connectivity in graphs to higher dimensions. It defines a family of groups on a domain, described discretely by a simplicial complex that captures the connected components, the holes, the cavities and higher-dimensional equivalents. In practice, the generality and flexibility of homology allows the analysis of complex data, interpreted as point clouds in metric spaces. The theory of persistent homology introduces a robust notion of homology for topology inference. Its applications are various and range from the description of high dimensional configuration spaces of complex dynamical systems, classification of shapes under deformations and learning in medical imaging. In this thesis, we explore the algorithmic ramifications of persistent homology. We first introduce the simplex tree, an efficient data structure to construct and maintain high dimensional simplicial complexes. We then present a fast implementation of persistent cohomology via the compressed annotation matrix data structure. We also refine the computation of persistence by describing ideas of homological torsion in this framework, and introduce the modular reconstruction method for computation. Finally, we present an algorithm to compute zigzag persistent homology, an algebraic generalization of persistence. To do so, we introduce new local transformation theorems in quiver representation theory, called diamond principles. All algorithms are implemented in the computational library Gudhi.

Dans ce travail, nous étudions le cadre de la morphologie mathématique sur les complexes simpliciaux. Complexes simpliciaux sont une structure versatile et largement utilisée pour représenter des données multidimensionnelles, telles que des maillages, qui sont des complexes tridimensionnels, ou des graphes, qui peuvent être interprétées comme des complexes bidimensionnels. La morphologie mathématique est l'un des cadres les plus puissants pour le traitement de l'image, y compris le traitement des structures numériques, et est largement utilisé pour de nombreuses applications. Toutefois, les opérateurs de morphologie mathématique sur des espaces complexes simpliciaux n'est pas un concept entièrement développé dans la littérature. Dans ce travail, nous passons en revue certains opérateurs classiques des complexes simpliciaux sous la lumière de la morphologie mathématique, de montrer qu'ils sont des opérateurs de morphologie. Nous définissons certains treillis de base et les opérateurs agissant sur ces treillis: dilatations, érosions, ouvertures, fermetures et filtres alternés séquentiels, et aussi leur extension à simplexes pondérés. Cependant, les principales contributions de ce travail sont ce que nous appelions les opérateurs dimensionnels, petites et polyvalents opérateurs qui peuvent être utilisés pour définir de nouveaux opérateurs sur les complexes simpliciaux, qui garde les propriétés de la morphologie mathématique. Ces opérateurs peuvent également être utilisés pour exprimer pratiquement n'importe quel opérateur dans la littérature. Nous illustrons les opérateurs définis et nous comparons les filtres alternés séquentiels contre filtres définis dans la littérature, où nos filtres présentent de meilleurs résultats pour l'enlèvement du petit, intense bruit des images binaires / In this work we study the framework of mathematical morphology on simplicial complex spaces. Simplicial complexes are a versatile and widely used structure to represent multidimensional data, such as meshes, that are tridimensional complexes, or graphs, that can be interpreted as bidimensional complexes. Mathematical morphology is one of the most powerful frameworks for image processing, including the processing of digital structures, and is heavily used for many applications. However, mathematical morphology operators on simplicial complex spaces is not a concept fully developped in the literature. In this work, we review some classical operators from simplicial complexes under the light of mathematical morphology, to show that they are morphology operators. We define some basic lattices and operators acting on these lattices: dilations, erosions, openings, closings and alternating sequential filters, including their extension to weighted simplexes. However, the main contributions of this work are what we called dimensional operators, small, versatile operators that can be used to define new operators on simplicial complexes, while mantaining properties from mathematical morphology. These operators can also be used to express virtually any operator from the literature. We illustrate all the defined operators and compare the alternating sequential filters against filters defined in the literature, where our filters show better results for removal of small, intense, noise from binary images

Représentations symboliques musicales et calcul spatial. La notion d'espace symbolique est fréquemment utilisée en théorie, analyse et composition musicale. La représentation de séquences dans des espaces de hauteurs, comme le Tonnetz, permet de capturer des propriétés mélodiques et harmoniques qui échappent aux systèmes de représentation traditionnels. Nous généralisons cette approche en reformulant d'un point de vue spatial différents problèmes musicaux (reconnaissance de style, transformations mélodiques et harmoniques, classification des séries tous-intervalles, etc.). Les espaces sont formalisés à l'aide de collections topologiques, une notion correspondant à la décoration d'un complexe cellulaire en topologie algébrique. Un complexe cellulaire per- met la représentation discrète d'un espace à travers un ensemble de cellules topologiques liées les unes aux autres par des relations de voisinage spécifiques. Nous représentons des objets musicaux élémentaires (par exemple des hauteurs ou des accords) par des cellules et construisons un complexe en les organisant suivant une relation de voisinage définie par une propriété musicale. Une séquence musicale est représentée dans un complexe par une trajectoire. L'aspect de la trajectoire révèle des informations sur le style de la pièce et les stratégies de composition employées. L'application d'opérations géométriques sur les trajectoires entraîne des transformations sur la pièce musicale initiale. Les espaces et les trajectoires sont construits à l'aide du langage MGS, un langage de programmation expérimental dédié au calcul spatial, qui vise à introduire la notion d'espace dans le calcul. Un outil, HexaChord, a été développé afin de faciliter l'utilisation de ces notions pour un ensemble prédéfinis d'espaces musicaux / Musical symbolic representations and spatial computing. The notion of symbolic space is frequently used in music theory, analysis and composition. Representing sequences in pitch (or chord) spaces, like the Tonnetz, enables to catch some harmonic and melodic properties that elude traditional representation systems. We generalize this approach by rephrasing in spatial terms different musical purposes (style recognition, melodic and harmonic transformations, all-interval series classification, etc.). Spaces are formalized as topological collections, a notion corresponding with the label- ling of a cellular complex in algebraic topology. A cellular complex enables the discrete representation of a space through a set of topological cells linked by specific neighborhood relationships. We represent simple musical objects (for example pitches or chords) by cells and build a complex by organizing them following a particular neighborhood relationship defined by a musical property. A musical sequence is represented in a complex by a trajectory. The look of the trajectory reveals some informations concerning the style of the piece, and musical strategies used by the composer. Spaces and trajectories are computed with MGS, an experimental programming language dedicated to spatial computing, that aims at introducing the notion of space in computation. A tool, HexaChord, has been developped in order to facilitate the use of these notions for a predefined set of musical spaces

D’un côté, la transition écologique et les enjeux de développement durable sont de nos jours une réalité que l’on ne peut ignorer compte tenu des impacts négatifs des activités humaines sur leurs environnements. De l’autre côté, une numérisation toujours plus importante de ces environnements entraîne la génération de volumes massifs de traces numériques, qui sont autant d’indices sur le monde dans lequel vivent les acteurs de ces activités. Une difficulté non négligeable existe pour comprendre les tenants et aboutissants faisant que d’une activité à une autre, l’impact sur l’environnement mesuré dans ces travaux de recherche à travers le concept d’Emprise Énergétique (EmE) n’est pas le même. Notre approche considère l’identification sur la base de ces traces numériques, d’activité d’entités humaines et non humaines. L’instanciation de ces dernières au sein de pratiques mobilise des ressources (physiques et virtuelles) en plus ou moins grand nombre. Leurs modélisations permettraient de mieux appréhender les enjeux liés à la transition écologique. Identifier sur la base d’indicateurs quantifiables les pratiques ayant un impact réduit sur l’environnement serait une piste permettant de contribuer à cette transition. Ces pratiques, au sens de coordination de multiples entités hétérogènes dans le temps et l’espace, peuvent être formalisées sous forme de structures d’activités multidimensionnelles à l’aide de la théorie de l’Agencement et d’un ensemble d’outils mathématiques (Complexes Simpliciaux, Hypernetworks). Ces travaux de recherche tentent de modéliser le phénomène d’activité humaine et non humaine en s’appuyant sur la caractérisation du contexte de celles-ci à partir de données massives. Ces agencements sont calculés et représentés dans une application (IMhoTEP) ayant pour but de construire ces structures complexes non pas sur des catégorisations faites a priori des entités, mais en se focalisant sur les relations que celles-ci entretiennent dans plusieurs dimensions. L’objectif final est de proposer un outil d’accompagnement à la transition écologique à destination des acteurs participant à des activités induisant la consommation, voire la production de ressources. Ces travaux de recherche en informatique s’appuient sur la numérisation continue des espaces et particulièrement les espaces urbains (Smart City, Internet of Everything). / On one hand, the ecological transition and sustainable development issues are today a reality that cannot be ignored given the negative impacts of human activities on their environments. On the other side, an increasingly important digitization of these environments results in the generation of massive volumes of digital traces, which are all signs of actors’ activities. A significant challenge is to understand the ins and outs of environmental impact due activities and considering Emprise of Energy (EmE) as a key indicator and how this indicator can strongly change from an activity to another. Our approach considers the identification of Practice on the basis of these digital traces generated by human and non-human entities during specific activities. Practice (instantiation of activity) uses more or less resources (physical and virtual) during their existence. Be able to identify which one is more resources dependent would help to better understand how to promote ecological transition. Promoting or at least identifying on the basis of quantifiable indicators (i.e Energy Emprise), practices that have a low impact on the environment, could be an innovative approach. These practices, in the sense of coordination of multiple heterogeneous entities in time and space, can be formalized in the form of multidimensional structures activities - Hypergraph of Activities – using the theory of Assemblage (Agencement in french) and using a set of mathematical tool (Simplicial Complexes, Hypernetworks). This research attempts to model the phenomenon of human and not human activity based on the characterization of the context (massive contextual data). These Assemblages are calculated and represented in an research application (IMhoTEP) which aims to build these complex structures not based on a priori entities’ classification, but by focusing on the relationships that they maintain in several dimensions. The main goal is to offer a decision tool which support actors’ ecological transition by understand activities inducing consumption or production of resources. These academic research in the field of computer science is based continuous digitization of physical and virtual spaces, particularly highly connected urban areas (Smart City, Internet of Everything).

Dans ce travail, nous etudions le cadre de la morphologie math ematique sur les complexes simpliciaux. Complexes simpliciaux sont une structure versatile et largement utilis ee pour repr esenter des donn ees multidimensionnelles, telles que des maillages, qui sont des complexes tridimensionnels, ou des graphes, qui peuvent etre interpr et ees comme des complexes bidimensionnels. La morphologie math ematique est l'un des cadres les plus puissants pour le traitement de l'image, y compris le traitement des structures num eriques, et est largement utilis e pour de nombreuses applications. Toutefois, les op erateurs de morphologie math ematique sur des espaces complexes simpliciaux n'est pas un concept enti erement d evelopp e dans la litt erature. Dans ce travail, nous passons en revue certains op erateurs classiques des complexes simpliciaux sous la lumi ere de la morphologie math ematique, de montrer qu'ils sont des op erateurs de morphologie. Nous d efi nissons certains treillis de base et les op erateurs agissant sur ces treillis : dilatations, erosions, ouvertures, fermetures et fi ltres altern es s equentiels, et aussi leur extension a simplexes pond er es. Cependant, les principales contributions de ce travail sont ce que nous appelions les op erateurs dimensionnels, petites et polyvalents op erateurs qui peuvent etre utilis es pour d efi nir de nouveaux op erateurs sur les complexes simpliciaux, qui garde les propri et es de la morphologie math ematique. Ces op erateurs peuvent egalement etre utilis es pour exprimer pratiquement n'importe quel op erateur dans la litt erature. Nous illustrons les op erateurs d e nis et nous comparons les filtres altern es s equentiels contre ltres d e finis dans la litt erature, o u nos filtres pr esentent de meilleurs r esultats pour l'enl evement du petit, intense bruit des images binaires.

La quantité de données disponibles n'a jamais été aussi grande. Se poser les bonnes questions, c'est-à-dire des questions qui soient à la fois pertinentes et dont la réponse est accessible est difficile. L'analyse topologique de données tente de contourner le problème en ne posant pas une question trop précise mais en recherchant une structure sous-jacente aux données. Une telle structure est intéressante en soi mais elle peut également guider le questionnement de l'analyste et le diriger vers des questions pertinentes. Un des outils les plus utilisés dans ce domaine est l'homologie persistante. Analysant les données à toutes les échelles simultanément, la persistance permet d'éviter le choix d'une échelle particulière. De plus, ses propriétés de stabilité fournissent une manière naturelle pour passer de données discrètes à des objets continus. Cependant, l'homologie persistante se heurte à deux obstacles. Sa construction se heurte généralement à une trop large taille des structures de données pour le travail en grandes dimensions et sa robustesse ne s'étend pas au bruit aberrant, c'est-à-dire à la présence de points non corrélés avec la structure sous-jacente.Dans cette thèse, je pars de ces deux constatations et m'applique tout d'abord à rendre le calcul de l'homologie persistante robuste au bruit aberrant par l'utilisation de la distance à la mesure. Utilisant une approximation du calcul de l'homologie persistante pour la distance à la mesure, je fournis un algorithme complet permettant d'utiliser l'homologie persistante pour l'analyse topologique de données de petite dimension intrinsèque mais pouvant être plongées dans des espaces de grande dimension. Précédemment, l'homologie persistante a également été utilisée pour analyser des champs scalaires. Ici encore, le problème du bruit aberrant limitait son utilisation et je propose une méthode dérivée de l'utilisation de la distance à la mesure afin d'obtenir une robustesse au bruit aberrant. Cela passe par l'introduction de nouvelles conditions de bruit et l'utilisation d'un nouvel opérateur de régression. Ces deux objets font l'objet d'une étude spécifique. Le travail réalisé au cours de cette thèse permet maintenant d'utiliser l'homologie persistante dans des cas d'applications réelles en grandes dimensions, que ce soit pour l'inférence topologique ou l'analyse de champs scalaires. / Massive amounts of data are now available for study. Asking questions that are both relevant and possible to answer is a difficult task. One can look for something different than the answer to a precise question. Topological data analysis looks for structure in point cloud data, which can be informative by itself but can also provide directions for further questioning. A common challenge faced in this area is the choice of the right scale at which to process the data.One widely used tool in this domain is persistent homology. By processing the data at all scales, it does not rely on a particular choice of scale. Moreover, its stability properties provide a natural way to go from discrete data to an underlying continuous structure. Finally, it can be combined with other tools, like the distance to a measure, which allows to handle noise that are unbounded. The main caveat of this approach is its high complexity.In this thesis, we will introduce topological data analysis and persistent homology, then show how to use approximation to reduce the computational complexity. We provide an approximation scheme to the distance to a measure and a sparsifying method of weighted Vietoris-Rips complexes in order to approximate persistence diagrams with practical complexity. We detail the specific properties of these constructions.Persistent homology was previously shown to be of use for scalar field analysis. We provide a way to combine it with the distance to a measure in order to handle a wider class of noise, especially data with unbounded errors. Finally, we discuss interesting opportunities opened by these results to study data where parts are missing or erroneous.