Cette thèse porte sur l'interaction entre un plasma de bord de tokamak et une perturbation magnétique résonante (RMP), utilisée principalement pour le contrôle de phénomènes de relaxations quasi-périodiques, présents dans un régime de confinement amélioré. Il permet notamment d'atteindre des conditions favorables aux réactions de fusion nucléaire. Il a été observé que la présence de perturbations magnétiques modifie la topologie magnétique au bord ce qui engendre une diminution de l'amplitude des relaxations, voire leur suppression. De précédents travaux ont étudié l'effet de perturbations magnétiques sur un plasma relaxant via des simulations numériques. Le modèle utilisé était dans un cas électrostatique, c'est à dire que la topologie magnétique n'évoluait pas dans le temps. Dans cette thèse, l'étude est faite dans un modèle de plasma de bord prenant en compte les fluctuations magnétiques via le code numérique EMEDGE3D. Ce code a été modifié pour pouvoir imposer une perturbation magnétique résonante. Des vérifications par des modèles réduits ont été menées sur la pénétration d'une perturbation magnétique ainsi que sur l'effet d'une vitesse cisaillée sur la pénétration. Ensuite, un RMP a été imposé dans un plasma non turbulent avec et sans vitesse cisaillée. Un phénomène d'écrantage, empêchant la pénétration d'une perturbation, a été identifié analytiquement et observé dans les simulations. Cette étude a été réitérée dans un plasma turbulent, et aussi en présence d'une barrière (vitesse cisaillée). Le plasma turbulent engendre une amplification du RMP, tandis que la barrière est affectée par la présence de cellules de convection fixes générées par la perturbation. / In this thesis, the interaction between tokamak edge plasma and resonant magnetic perturbation (RMPs) is studied. It is mainly used to mitigate quasi-periodic relaxations in enhanced confinement regime. This regime allows to obtain good conditions for nuclear fusion. Introduction of a RMP in a tokamak plasma has been observed to modified the magnetic topology at the edge and decrease the relaxation amplitude up to complete suppression. Previous works studied the RMP effect on a plasma with relaxations, via numerical simulations. The model used for that consider the electrostatic approximation, where the magnetic topology does not evolve in time. In this thesis, the study is done with an edge plasma model taking into account magnetic fluctuations via the numerical code EMEDGE3D. This code has been modified to include the resonant magnetic perturbation. Comparison with reduced models has been carried out on the RMP penetration and the effect of sheared velocity on it. Then a RMP has been induced in a stable plasma, with or without imposed sheared rotation. A condition on the sheared velocity has been identified to avoid the screening effect, that would prevent the RMP penetration, analytically and in numerical simulations. This works has been repeated in a turbulent plasma in presence or not of transport barrier (sheared velocity). The turbulent plasma generate an effective RMP amplification, while the transport barrier is affected by locked convective cells due to the RMP.

Cette thèse adresse des problèmes liés à la modélisation des écosystèmes microbiens dans les sols.Les modèles de transport réactif sont très performants pour modéliser la biogéochimie d'un milieu poreux variablement saturé en tenant compte de plusieurs paramètres physiques et géochimiques mais ils n'intègrent pas (ou sinon de facon très sommaire) les activités microbiologiques dans les sols. Le modèle mathématique du chemostat est couramment utilisé en écologie microbienne. Dans le but d'une représentation spatiale plus simplifiée que les modèles de transport réactif mais suffisamment pertinente pour rendre compte de phénomènes biologiques, cette thèse est une première tentative pour comprendre la fonction entrées-sorties dans un chemostat structuré, et étudier comment une structure spatiale peut modifier cette fonction, et quels sont les paramètres clés. / The aim of this thesis is to study some problems related to the modeling of microbial ecosystems in soil. Considering different physical and biogeochemical parameters, the reactif transport models are very performing to represent the biochemistry of a variably saturated porous media. In contrast, these models don't integrate (or sparsely) the microbiological activities in the soils. The mathematical model of chemostat is frequently used in microbial ecology. For the purpose of a more simplified spatial representation than the reactif transport models, but sufficiently relevant to represent biological phenomena, this thesis is a first attempt to understand the "input-output" function in a structured chemostat, and to study how a special structure can alter this function, and what are the key parameters.

L’ablation partielle du foie est une chirurgie qui intervient dans le traitement des lésions du foie et lors d’une transplantation partielle de foie. Les relations entre l’hémodynamique du foie, son volume et ses fonctions restent à élucider pour mieux comprendre les causes des complications de ces chirurgies. Lors de la chirurgie, l’hémodynamique du foie est altérée suite à l’augmentation de la résistance au flux sanguin de l’organe. La régénération du foie semble dépendante des changements de débit et de pression dans la veine porte. D’autre part, comme le foie reçoit 25% du débit cardiaque, la chirurgie impacte la circulation sanguine globale.
 Dans ce contexte, le premier objectif est de mieux comprendre, grâce à des modèles mathématiques, l’influence de l’hépatectomie sur l’hémodynamique. Le second objectif est l’analyse de la perfusion et de la fonction du foie. Premièrement, la procédure chirurgicale, les conditions expérimentales ainsi que les mesures obtenues sont détaillées.
 Ensuite, les valeurs moyennes mesurées lors de douze chirurgies sont reproduites par un modèle de circulation entière, basé sur des équations différentielles ordinaires. Lors des différentes hépatectomies, des changements de forme de courbe sont observés. Un modèle de circulation entière, basée sur des équations 1D et 0D est proposé pour analyser ces changements. Ce travail pourrait permettre une meilleure compréhension des changements d’architecture du foie induits par l’hépatectomie.
 Puis, le transport dans le sang d’un composé ainsi que son traitement par le foie sont modélisés. Un modèle pharmacocinétique est développé et grâce aux mesures, les paramètres du modèle sont estimés. / Major liver resection is being performed to treat liver lesions or for adult-to-adult living donor liver transplantation. Complications of these surgeries are related to a poor liver function. The links between liver hemodynamics, liver volume and liver function remain unclear and are important to better understand these complications. The surgery increases the resistance to blood flow in the organ, therefore it modifies liver hemodynamics. Large modifications of the portal vein hemodynamics have been associated with poor liver regeneration. Moreover the liver receives 25% of the cardiac outflow, therefore liver surgery may impact the whole blood circulation. In this context, the first goal is to investigate with mathematical models the impact of liver surgery on liver hemodynamics. The second goal is to study the liver perfusion and function with mathematical models. The first part describes the experimental conditions and reports the measurements recorded. Then, the second part focuses on the liver hemodynamics during partial hepatectomy. On one hand, the hemodynamics during several surgeries is quantitatively reproduced and explained by a closed-loop model based on ODE. On the other hand, the change of waveforms observed after different levels of liver resection is reproduced with a model of the global circulation, including 0D and 1D equations. This may contribute to a better understanding of the change of liver architecture induced by hepatectomy. Next, the transport in blood of a compound is studied. And a pharmacokinetics model and its parameter identification are developed to quantitatively analyze indocyanine green fluorescence dynamics in the liver tissue.

La spectroscopie de résonance magnétique nucléaire (RMN) est un outil puissant qui permet l’étude directe de mélanges de manière non destructive. Les spectres RMN de petites molécules en solution peuvent être différenciés grâce à la stratégie DOSY (diffusion-ordered spectroscopy), une méthode de ‘chromatographie virtuelle’ qui s’appuie sur la mesure de coefficients de diffusion translationnelle. Les principaux obstacles à l’utilisation de la DOSY sont liés à la piètre sensibilité de la RMN de manière générale mais aussi à la nécessité d’introduire une dimension temporelle supplémentaire d’acquisition, ce qui va augmenter de manière significative la durée de l’expérience. Ce travail de thèse a pour objectif de mettre au point des outils inédits de RMN plus rapides et plus adaptés à la caractérisation de mélanges peu concentrés de petites molécules. Dans un premier temps, le concept de codage spatial de la diffusion dans l’expérience DOSY a été généralisé. Mis à profit dans les méthodes RMN dites ‘ultrarapides’, l’utilisation d’une dimension spatiale plutôt que temporelle pour encoder le phénomène de diffusion permet une accélération des expériences de RMN multidimensionnelles de plusieurs ordres de grandeur. L’acquisition séquentielle de spectres est remplacée par une acquisition parallèle de ces spectres dans différentes parties de l’échantillon. L’étude poussée des méthodes de DOSY rapides s’est appuyée sur des outils de simulation numérique dans le but d’améliorer la résolution des spectres et la précision des résultats. Les problèmes de sensibilité ont été abordés via le couplage des méthodes DOSY rapides avec des méthodes d’hyperpolarisation qui permettent d’augmenter l’intensité du signal. La combinaison des méthodes de diffusion conventionnelles avec les méthodes avancées de RMN ultrarapide et d’hyperpolarisation permettront des avancées significatives pour l’analyse de mélanges, en particulier les mélanges dynamiques. / NMR spectroscopy is a powerful tool that allows a direct study of mixtures in a non-invasive manner. The NMR spectra of molecular species in mixtures can be separated with diffusion-ordered spectroscopy (DOSY), a ‘virtual chromatography’ approach based on the measurement of translational diffusion coefficients. Major limitation of DOSY comes from the time-dependent diffusion dimension, which results in long experiment durations, and also from the low sensitivity of NMR. The present work aims to build an innovative tool for mixtures characterization that will be faster and more efficient for low concentrated samples. We first generalized the concept of nD spatially encoded (SPEN) DOSY experiments for the analysis of complex mixtures. As bring forward by the so-called “ultrafast NMR” (UF NMR), the use of a spatial dimension to encode diffusion can accelerate experiments by several orders of magnitude since it replaces the sequential acquisition of sub-experiments by a parallel acquisition in different slices of the sample. More advanced exploration of SPENDOSY were carried out using numerical simulations for purpose of resolution and accuracy improvement. To address sensitivity issues, we then demonstrated that SPENDOSY data can be collected for hyperpolarized substrates. This particular coupling between conventional diffusion-based method with advanced techniques such as ultrafast NMR and hyperpolarization should mark a significant progress for complex mixtures analysis especially for time-evolving processes.

Les situations dans lesquelles une onde de choc interagit avec une couche limite sont nombreuses dans les industries aéronautiques et spatiales. Sous certaines conditions (nombre de Mach élevé, grand angle de choc…), ces interactions entrainent un décollement de la couche limite. Des études antérieures ont montré que la zone de recirculation et le choc réfléchi sont tous deux soumis à un mouvement d'oscillation longitudinale à basse fréquence connu sous le nom d’instabilité de l’interaction onde de choc / couche limite (IOCCL). Ce phénomène appelé soumet les structures à des chargement oscillants à basse fréquence qui peuvent endommager les structures.L’objectif du travail de thèse est de réaliser des simulations instationnaires de l’IOCCL afin de contribuer à une meilleure compréhension de l’instabilité de l’IOCCL et des mécanismes physiques sous-jacents.Pour effectuer cette étude, une approche numérique originale est utilisée. Un schéma « One step » volume fini qui couple l’espace et le temps, repose sur une discrétisation des flux convectifs par le schéma OSMP développé jusqu’à l’ordre 7 en temps et en espace. Les flux visqueux sont discrétisés en utilisant un schéma aux différences finies centré standard. Une contrainte de préservation de la monotonie (MP) est utilisée pour la capture de choc. La validation de cette approche démontre sa capacité à calculer les écoulements turbulents et la grande efficacité de la procédure MP pour capturer les ondes de choc sans dégrader la solution pour un surcoût négligeable. Il est également montré que l’ordre le plus élevé du schéma OSMP testé représente le meilleur compromis précision / temps de calcul. De plus un ordre de discrétisation des flux visqueux supérieur à 2 semble avoir une influence négligeable sur la solution pour les nombres de Reynolds relativement élevés considérés.En simulant un cas d’IOCCL 3D avec une couche limite incidente laminaire, l’influence des structures turbulentes de la couche limite sur l’instabilité de l’IOCCL est supprimée. Dans ce cas, l’unique cause d’IOCCL suspectée est liée à la dynamique de la zone de recirculation. Les résultats montrent que seul le choc de rattachement oscille aux fréquences caractéristiques de la respiration basse fréquence du bulbe de recirculation. Le point de séparation ainsi que le choc réfléchi ont une position fixe. Cela montre que dans cette configuration, l’instabilité de l’IOCCL n’a pas été reproduite.Afin de reproduire l’instabilité de l’IOCCL, la simulation de l’interaction entre une onde de choc et une couche limite turbulente est réalisée. Une méthode de turbulence synthétique (Synthetic Eddy Method - SEM) est développée et utilisée à l’entrée du domaine de calcul pour initier une couche limite turbulente à moindre coût. L’analyse des résultats est effectuée en utilisant notamment la méthode snapshot-POD (Proper Orthogonal Decomposition). Pour cette simulation, l’instabilité de l’IOCCL a été reproduite. Les résultats suggèrent que la dynamique du bulbe de recirculation est dominée par une respiration à moyenne fréquence. Ces cycles successifs de remplissage / vidange de la zone séparée sont irréguliers dans le temps avec une taille maximale du bulbe de recirculation variant d’un cycle à l’autre. Ce comportement du bulbe de recirculation traduit une modulation basse fréquence des amplitudes des oscillations des points de séparation et de recollement et donc une respiration basse fréquence de la zone séparée. Ces résultats suggèrent que l’instabilité de l’IOCCL est liée à cette dynamique basse fréquence du bulbe de recirculation, les oscillations du pied du choc réfléchi étant en phase avec le point de séparation. / Situations where an incident shock wave impinges upon a boundary layer are common in the aeronautical and spatial industries. Under certain circumstances (High Mach number, large shock angle...), the interaction between an incident shock wave and a boundary layer may create an unsteady separation bubble. This bubble, as well as the subsequent reflected shock wave, are known to oscillate in a low-frequency streamwise motion. This phenomenon, called the unsteadiness of the shock wave boundary layer interaction (SWBLI), subjects structures to oscillating loads that can lead to damages for the solid structure integrity.The aim of the present work is the unsteady numerical simulation of (SWBLI) in order to contribute to a better understanding of the SWBLI unsteadiness and the physical mechanism causing these low frequency oscillations of the interaction zone.To perform this study, an original numerical approach is used. The one step Finite Volume approach relies on the discretization of the convective fluxes of the Navier Stokes equations using the OSMP scheme developed up to the 7-th order both in space and time, the viscous fluxes being discretized using a standard centered Finite-Difference scheme. A Monotonicity-Preserving (MP) constraint is employed as a shock capturing procedure. The validation of this approach demonstrates the correct accuracy of the OSMP scheme to predict turbulent features and the great efficiency of the MP procedure to capture discontinuities without spoiling the solution and with an almost negligible additional cost. It is also shown that the use of the highest order tested of the OSMP scheme is relevant in term of simulation time and accuracy compromise. Moreover, an order of accuracy higher than 2-nd order for approximating the diffusive fluxes seems to have a negligible influence on the solution for such relatively high Reynolds numbers.By simulating the 3D unsteady interaction between a laminar boundary layer and an incident shock wave, we suppress the suspected influence of the large turbulent structures of the boundary layer on the SWBLI unsteadiness, the only remaining suspected cause of unsteadiness being the dynamics of the separation bubble. Results show that only the reattachment point oscillates at low frequencies characteristic of the breathing of the separation bubble. The separation point of the recirculation bubble and the foot of the reflected shock wave have a fixed location along the flat plate with respect to time. It shows that, in this configuration, the SWBLI unsteadiness is not observed.In order to reproduce and analyse the SWBLI unsteadiness, the simulation of a shock wave turbulent boundary layer interaction (SWTBLI) is performed. A Synthetic Eddy Method (SEM), adapted to compressible flows, has been developed and used at the inlet of the simulation domain for initiating the turbulent boundary layer without prohibitive additional computational costs. Analyses of the results are performed using, among others, the snapshot Proper Orthogonal Decomposition (POD) technique. For this simulation, the SWBLI unsteadiness has been observed. Results suggest that the dominant flapping mode of the recirculation bubble occurs at medium frequency. These cycles of successive enlargement and shrinkage of the separated zone are shown to be irregular in time, the maximum size of the recirculation bubble being submitted to discrepancies between successive cycles. This behaviour of the separation bubble is responsible for a low frequency temporal modulation of the amplitude of the separation and reattachment point motions and thus for the low frequency breathing of the separation bubble. These results tend to suggest that the SWBLI unsteadiness is related to this low frequency dynamics of the recirculation bubble; the oscillations of the reflected shocks foot being in phase with the motion of the separation point.

Les milieux poreux fracturés sont des milieux composés d'une roche présentant des zones de fracturation. Géologiquement, ces milieux sont caractérisés par la présence de fractures sur plusieurs échelles avec des propriétés hétérogènes créant des zones fortement perméables à comparer de la roche environnante. Hydrauliquement, ces milieux sont caractérisés par des temps de réponses courts correspondant aux sollicitations des structures fortement perméables et des temps de réponses longs correspondant aux sollicitations des structures faiblement perméables. Ce type de milieux est impliqué dans de nombreux enjeux sociétaux tels que l'étude de sites contaminés, le stockage d'éléments et l'exploitation de ressources. Le principal défi de la modélisation des milieux poreux fracturés réside en la représentation des hétérogénéités géométriques et physiques caractérisant ces milieux. Une représentation exacte du milieu naturel étant impossible, il s'agit de déterminer quelles sont les propriétés caractéristiques de ces milieux, c'est-à-dire les propriétés principales "responsables" de leur comportement. Mes travaux de thèse ont consisté à étudier l'impact des propriétés géométriques et physiques des fractures et de la matrice de l'échelle locale de la fracture et du bloc matriciel à l'échelle globale du réseau de fractures. Une première partie du travail correspond à la mise au point de méthodes d'évaluation des effets des structures et de leurs propriétés sur les échanges et une seconde partie en l'exploitation de ces méthodes. Au final, je propose un modèle double-porosité discret prenant en compte les propriétés du milieu identifiées comme caractéristiques de son comportement.

L'objet de cette thèse est la construction, l'étude mathématique et numérique de modèles déterministes pour des systèmes Proie-Prédateur en milieu insulaire hétérogène. Il s'agit d'évaluer les effets de l'introduction d'espèces invasives, prédateurs et compétiteurs, sur une population de proies natives. La première partie présente l'étude de modèles faiblement structurés, bas´es sur des systèmes d'E.D.O. singuliers, le dénominateur d'un des termes de réaction pouvant s'annuler. L'analyse mathématique permet d'isoler des conditions d'extinction en temps fini ou de persistance. Dans ce second cas, le comportement en temps long dépend d'hypothèses supplémentaires. Une étude similaire est menée dans le cadre d'une population de proies natives structurée en 2 classes d'âge : juvéniles et adultes. Dans la seconde partie, on étend les modèles précédents au cadre avec structuration en espace, pour prendre en compte les hétérogénéités spatiales du milieu. On obtient des systèmes d'E.D.P. du type Réaction-Diffusion singuliers. Une analyse approfondie donne des critères d'existence globale en temps et d'existence sur un intervalle de temps fini des solutions. Parallèlement, nous mettons en place une méthode numérique du type splitting d'opérateurs dans un but double : valider les modèles spatiaux et étudier des processus d'invasion. Les simulations numériques permettent d'établir le rôle fondamental des proies introduites dans le succès de l'invasion par les prédateurs de colonies isolées de proies natives. Enfin, la structuration discrète en âge pour les proies natives permet d'exhiber des dynamiques oscillatoires.

Cette thèse est consacrée à l'étude des systèmes d'équations différentielles ordinaires, et ceux aux dérivées partielles paraboliques issus de modèles de dynamique des populations et de la biologie. L'objectif principal est de faire l'analyse mathématique, la simulation numérique ainsi que l'identification des diffusions croisées dans les modèles construits. Nous présentons d'abord un système de réaction-diffusion modélisant la croissance de plantes en compétition spatiale dans un milieu saturé. Nous effectuons par la suite l'étude théorique et numérique de tels systèmes, ainsi que l'étude des problèmes d'identification des termes de diffusions croisées. Ensuite, nous proposons un modèle proie-prédateur de type Leslie-Gower modifié avec une fonction de réponse de type Crowley-Martin. Nous étudions dans un premier temps la dynamique temporelle globale du modèle considéré, et nous présentons des simulations numériques pour illustrer les résultats théoriques. En outre, nous introduisons la dimension spatiale dans le modèle dynamique considéré, et nous effectuons une analyse théorique complète de la dynamique spatio-temporelle du modèle.

À ce jour, les différentes méthodes de reconstruction des mouvements du plasma à la surface du Soleil qui ont été proposées présupposent une MHD idéale (Welsch et al., 2007). Cependant, Chae & Sakurai (2008) ont montré l’existence d’une diffusivité magnétique turbulente à la photosphère. Nous introduisons une généralisation de la méthode du Minimum Energy Fit (MEF ; Longcope, 2004) pour les plasmas résistifs. Le Resistive Minimum Energy Fit (MEF-R ; Tremblay & Vincent, 2014) reconstruit les champs de vitesse du plasma et la diffusivité magnétique turbulente qui satisfont à l’équation d’induction magnétique résistive et qui minimisent une fonctionnelle analogue à l’énergie cinétique totale. Une séquence de magnétogrammes et de Dopplergrammes sur les régions actives AR 9077 et AR 12158 ayant chacune produit une éruption de classe X a été utilisée dans MEF-R pour reconstruire les mouvements du plasma à la surface du Soleil. Les séquences temporelles des vitesses et des diffusivités magnétiques turbulentes calculées par MEF-R sont comparées au flux en rayons X mous enregistré par le satellite GOES-15 avant, pendant et après l’éruption. Pour AR 12158, nous observons une corrélation entre les valeurs significatives de la diffusivité magnétique turbulente et de la vitesse microturbulente pour les champs magnétiques faibles. / To this day, the various methods proposed for the reconstruction of plasma motions at the Sun’s surface are all based on ideal MHD (Welsch et al., 2007). However, Chae & Sakurai (2008) have shown the existence of an eddy magnetic diffusivity at the photosphere. We introduce a generalization of the Minimum Energy Fit (MEF; Longcope, 2004) for resistive plasmas. The Resistive Minimum Energy Fit (MEF-R; Tremblay & Vincent, 2014) infers velocity fields and an eddy magnetic diffusivity which solve the resistive magnetic induction equation and minimize an energy-like functional. A sequence of magnetograms and Dopplergrams documenting the active regions AR 9077 and AR 12158 are used as input in MEF-R to reconstruct plasma motions at the Sun’s surface. Time series of the inferred velocities and eddy magnetic diffusivities are compared to the soft X-ray flux observed by GOES-15. We find a positive correlation between significant eddy magnetic diffusivities and microturbulent velocities for weak magnetic fields in AR 12158.

: Ce travail concerne l'écoulement inertiel en milieu poreux rencontré dans diversessituations telles que les écoulements autour des puits pour la récupération pétrolière, lesécoulements dans les réacteurs catalytiques, etc. En régime stationnaire, les différents modèlesmacroscopiques pour décrire ces écoulements inertiels (non-linéaires) demeurent encore sujetsà débat. Ces modèles consistent en une loi de Darcy corrigée de termes dont la dépendancevis à vis de la vitesse de filtration relève du régime d'écoulement. Dans ce travail, une attentionparticulière est portée tout d'abord à l'étude numérique (DNS), sur des structures modèles, de lalimite de stationnarité de l'écoulement monophasique newtonien qui correspond à la premièrebifurcation de Hopf, caractérisée par un nombre de Reynolds critique. La connaissance de cettelimite est cruciale puisqu'elle détermine le domaine de validité des modèles macroscopiquesstationnaires pertinents. Dans un deuxième temps, la dépendance de la déviation (inertielle) àla loi de Darcy par rapport aux propriétés de la structure poreuse (forme des grains, désordre)et à l'orientation de l'écoulement est étudiée dans le cas de structures 2D et 3D. Les propriétéseffectives de la structure à l'échelle macroscopique sont déterminées à partir de la résolutionnumérique des problèmes de fermeture associés au modèle macroscopique obtenu par prisede moyenne des équations de Navier-Stokes. Afin de déceler l'origine de cette déviation et sesdifférentes formes, l'évolution de la structure microscopique de l'écoulement en fonction dunombre de Reynolds est analysée. Plus particulièrement, le rôle des zones de recirculation, etles corrélations avec la courbure des lignes de courant multipliée par l’énergie cinétique localeet la variation de l’énergie cinétique le long de ces lignes sont étudiés. La dernière partie dutravail est consacrée à une étude numérique, toujours dans des situations modèles, de ladéviation à la loi de Darcy généralisée dans le cas de l'écoulement diphasique inertiel. / This work focuses on inertial flow in porous media encountered in differentindustrial situations such as flow around wells in oil recovery, flow in filters and in columns ofreactors for chemical engineering, etc. In stationary flow regime, the different macroscopicmodels describing inertial (non-linear) flow are still discussed. These models consist in theDarcy’s law with correction extra terms whose dependence upon the filtration velocity is afunction of the flow regime. In this work, a particular attention is attributed first to the numericalinvestigation (DNS), on model structures, of the limit of one phase Newtonian stationary flowwhich corresponds to the first Hopf bifurcation, characterized by a critical Reynolds number.The knowledge of this limit is crucial since it establishes the ranges of validity of the relevantmacroscopic stationary models. In a second step, the dependence of the deviation (inertial)from Darcy’s law on the properties of the porous structure (grains shape, disorder) and on theorientation of the flow is analyzed in 2D and 3D situations. The effective properties of thestructure and the flow at the macroscopic scale are obtained from the numerical resolution ofthe closure problems associated to the macroscopic model obtained from an up-scalingprocedure (volume averaging) of the Navier-Stokes equations. In order to identify the origin ofthe deviation and its different forms, the variation of the microscopic flow structure with theReynolds number is analyzed. More specifically, the role of the recirculation zones, and thecorrelations with flow streamlines curvature multiplied by the local kinetic energy and thevariation of the kinetic energy along these lines are studied. The last part of the work isdedicated to a numerical investigation of the deviation from the generalized Darcy’s law in thecase of two phase inertial flow.