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Relato evocativo sobre el origen del interés por los Sistemas Dinámicos en Brasil, presenciado por el autor durante sus inicios en esta investigación entre 1962 y 1964.

Ingeniero Civil Matemático / La presente memoria tiene como objetivo estudiar subshifts generados por sustituciones multidimensionales. Los sistemas dinámicos generados por sustituciones unidimensionales han sido ampliamente estudiados y existe una vasta teoría al respecto [6]. Un teorema importante de la teoría en el caso multidimensional fue demostrado el año 1989 por Mozes [18] y clasifica una gran cantidad de sistemas generados por Z^2-sustituciones dentro de la clase de Z^2-subshifts de tipo sófico. Dicho teorema si bien es bastante general y permite comprender mejor las propiedades dinámicas de estos sistemas, no abarca la clase de subshifts límites generados por una sustitución, ni tampoco entrega información sobre si los sistemas generados por sustituciones son Z^2-SFT de tipo finito o no. Una extensión del teorema de Mozes para el caso de subshifts límites generados por Z^2-sustituciones cuadradas de tamaño 2 fue probada recientemente por Ollinger [16]. La primera parte de este trabajo entrega algunos conceptos básicos de sistemas dinámicos topológicos y de dinámica simbólica que son necesarios para entender los argumentos que se utilizan en el resto del escrito. Posteriormente se estudian las Z^d-sustituciones junto con los sistemas dinámicos generados por ellas y se introduce el teorema de Mozes [18]. Luego se estudia el embaldosado de Robinson [23], el cual es un ejemplo clásico de un Z^2-SFT no vacío sin puntos periódicos que posee una estructura jerárquica interesante. Dicho sistema se generaliza de modo tal que dependa de dos números naturales k,l >=2 de modo tal que la estructura jerárquica tenga formas rectangulares que dependen de k y l. En el capítulo siguiente se extiende el resultado de Mozes para el caso de Z^2-subshifts límites generados por sustituciones rectangulares de tamaño arbitrario, así generalizando el resultado de Ollinger a un contexto más amplio. Para ello se utiliza una técnica distinta que emplea la estructura del embaldosado de Robinson generalizado para codificar en una secuencia de látices contenidos en dicha estructura el pasado completo de un punto de este tipo de subshifts bajo la acción de una sustitución. En el último capítulo se discute brevemente el problema de clasificar los subshifts generados por Z^2-sustituciones en subclases de los Z^2-subshifts de tipo sófico y posteriormente se estudia la existencia de Z^2-SFT minimales que no se reducen a una órbita finita y que son generados por sustituciones. Se culmina el capítulo con la construcción explícita de dicho objeto mostrando así que el problema de clasificación debe necesariamente considerar la existencia de dichas estructuras.

La presente tesis basa su contenido en temas de dinámica compleja, tiene como primer objetivo el estudio de los teoremas de densidad, ergodicidad y rigidez de Y. Iliashenko [I2; I3]; y como segundo objetivo se estudia un teorema debido a C. Camacho [Ca1], el cual analiza el comportamiento topológico de un germen del tipo parabólico. Para lograr los objetivos planteados introducimos las definiciones y resultados necesarios, los cuales buscamos expresarlos de tal modo que sean accesibles al lector y poder así de alguna manera que lo tratado en esta tesis se constituya en material de consulta y aplicación en otras áreas de la matemática. / Tesis

Se estudian los frentes químicos debido a reacción-difución descritos por la ecuación Kuramoto-Sivashinsky en un fluido de Poiseuille en un tubo. Se estudian las diferentes soluciones del frente variando el ancho del tubo y la velocidad media del flujo. Además se analizan las transiciones del frente plano a uno impar, y luego entre frentes pares e impares variando la velocidad media del flujo. Finalmente se analiza la transición al caos y los efectos del flujo en la transición.

Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / El presente trabajo de memoria analiza subshifts de tipo finito definidos sobre grupos virtual- mente-Z a partir de su subdinámica proyectiva: el estudio del subshift obtenido al restringir cada configuración a un subgrupo H. Trabajos previos, como el de R. Pavlov y M. Schraudner [12] o el de Johnson, Kass y Madden [14], se centran en el estudio de la subdinámica de subshifts sobre Z^d; así, el trabajo actual es una suerte de complemento de los anteriores, analizando un caso en que la relación entre un subshift y su subdinámica es más estrecha por el fuerte parecido geométrico existente. El primer capítulo introduce los conceptos algebraicos necesarios para definir los grupos virtualmente-Z y enunciar sus propiedades básicas. Se establecen diversas clasificaciones pa- ra este tipo de grupos, junto con herramientas útiles para la representación geométrica de un grupo, como los grafos de Cayley y Schreier. Posteriormente, se introducen los concep- tos fundamentales de dinámica simbólica para grupos de carácter general, necesarios para introducir la subdinámica proyectiva y el contexto en que ésta es natural. En el segundo capítulo se define formalmente la noción de subdinámica proyectiva y se expone la idea fundamental de la construcción realizada por Pavlov y Schraudner en [12]. Posteriormente, se realiza un estudio preliminar de los subshifts definidos sobre la clase de grupos de la forma Z × F, con |F| < ∞, que en particular comprende a todos los grupos virtualmente-Z abelianos, obteniéndose versiones análogas de algunos resultados de [12] en el contexto actual. Se demuestra que todos los Z-subshifts obtenidos como subdinámica proyectiva de un SFT sobre alguno de estos grupos son subshifts sóficos; asimismo, se muestra también que es posible realizar cualquier Z-sófico de entropía positiva como subdinámica proyectiva de un (Z × F)-SFT. Finalmente, se introducen condiciones necesarias para la realización de Z-sóficos de entropía nula. El tercer capítulo concierne la relación entre entropía de un subshift y de su subdinámica proyectiva, para el caso de grupos de la forma Z×F. El resultado principal consiste en mostrar que, si la subdinámica proyectiva es un Z-subshift irreducible y se alcanza la igualdad entre ambas entropías, la subdinámica es un SFT. Se introducen herramientas de teoría de grafos y un estudio de propiedades de mezcla que son necesarios para demostrar este resultado bajo las hipótesis expuestas. El capítulo final busca extender los argumentos empleados previamente para obtener teoremas de soficidad y realización en el caso más general. Se demuestra que la subdinámica proyectiva de cualquier SFT sobre un grupo virtualmente-Z es un Z-sófico; también se muestra un resultado de realización para una gran clase de grupos virtualmente-Z. Se concluye esbozando argumentos para generalizar los resultados obtenidos en los capítulos previos. En la parte final del capítulo 4 y en las conclusiones se exploran posibles avenidas para un trabajo futuro que esclarezca la relación entre un subshift y su subdinámica proyectiva en el caso virtualmente-Z.

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Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniero Civil Matemático / Los sistemas de tipo gradiente son relevantes como sistemas dinámicos en sí y además sirven como marco teórico para estudiar algoritmos de optimización, en particular algoritmos de descenso. Relacionado con este último aspecto, es natural preguntarse si las órbitas tienen longitud finita y convergen, cuando están en un conjunto acotado. El presente trabajo presenta respuestas a tales preguntas, bajo suposiciones especiales pero no restringidas en la práctica: se adoptará el marco de la geometría o-minimal que permite establecer resultados pertinentes sobre el comportamiento de las órbitas en torno a los puntos críticos. Como se verá a coninuación, una función suave f definible en una estructura o-minimal satisface la llamada desigualdad de Kurdyka-Lojasiewicz: en torno a cualquier valor crítico se acotan los gradientes de f inferiormente por una constante. Dicho resultado se adapta en el caso no suave (siempre gracias a las herramientas de la geometría o~-minimal) y se obtiene una cota análoga válida uniformemente para la norma de los subgradientes de f. A grandes rasgos el resultado de Kurdyka-Lojasiewicz consiste en encontrar una función auxiliar (la función desingularizante) estrictamente monótona y suave, de forma que por una parte el sistema gradiente (o bien subgradiente) inducido por la composición de dicha función con f tiene las mismas órbitas, y por otra parte los gradientes (o subgradientes) de dicha composición están acotados inferiormente por una constante. Este proceso es llamado desingularización de la función f, cuya potencia se aprecia explícitamente mediante la parametrización de las trayectorias a través de los niveles de la función f. Por último existe un resultado similar para multiaplicaciones definibles, donde se desingulariza la coderivada, en un sentido que se determinará más adelante. En este caso el sistema dinámico de estudio ya no es un sistema de tipo gradiente o subgradiente, sino que es un sweeping process. Se muestra que si dicho \textit{sweeping process} proviene de una función definible y continua, entonces mediante la desingularización de su coderivada se recuperan los resultados anteriores. En particular se pondrá en evidencia la relación entre la desingularización del sweeping process y la desingularización de la función f que lo define. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por FONDECYT 1130176

En este trabajo desarrollaremos dos aspectos de Dinámica: El primero que trata sobre la dinámica de funciones que van de un intervalo en si mismo, introduciremos las cadenas de Markov y algunos resultados previos para alcanzar al final el teorema de Sharkovsky demostrado con grafos, el cual lo haremos en la primera parte de este trabajo. La segunda parte de este trabajo tratará sobre la teoría ergódica, nos enfocaremos en dos de los teoremas fundamentales que son el teorema de recurrencia de Poincaré y el teorema de Birkhoff. / Tesis

Surface tension driven convection affects the propagation of chemical reaction fronts in liquids. The changes in surface tension across the front generate this type of convection. The resulting fluid motion increases the speed and changes the shape of fronts as observed in the iodate-arsenous acid reaction. We calculate these effects using a thin front approximation, where the reaction front is modeled by an abrupt discontinuity between reacted and unreacted substances. We analyze the propagation of reaction fronts of small curvature. In this case the front propagation equation becomes the deterministic Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) equation with the addition of fluid flow. These results are compared to calculations based on a set of reaction-diffusion-convection equations. / Tesis