Orientador: Patricio Anibal Letelier Sotomayor / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-06T00:06:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Vogt_Daniel_D.pdf: 2048895 bytes, checksum: d7173036404048baab332998c8c336cc (MD5) Previous issue date: 2006 / Resumo: Soluções exatas das equações do campo de Einstein que representam espaços-tempo com distribuições de matéria em forma de discos são construídas pelo método inverso (método das imagens). Estas soluções incluem discos estáticos ínos de fluido perfeito com e sem halos, discos estáticos finos de fluido perfeito com carga elétrica e modelos de discos finos formados por poeira carregada. São estudadas ainda novas soluções em vários sistemas de coordenadas que representam discos estáticos grossos com espessura constante. Uma forma particular para a métrica isotrópica em coordenadas cilíndricas é usada para obter-se versões relativísticas de pares potencial-densidade Newtonianos comumente usados na Astronomia Galáctica. Um modelo relativístico simplificado, porém exato, de um núcleo ativo de galáxia também é apresentado. Finalmente, é feito um estudo de alguns pares-potencial densidade Newtonianos obtidos a partir da expansão multipolar do potencial Newtoniano que generalizam pares conhecidos / Abstract: Exact solutions of Einstein field equations that represent space-times with disklike matter distributions are constructed using the inverse method (image method). These solutions include static thin perfect uid disks with and without halos, static thin charged perfect uid disks and models of thin charged dust disks. New solutions in various coordinate systems that represent static thick disks with constant thickness are also studied. A particular form of the isotropic metric in cylindrical coordinates is employed to obtain relativistic versions of Newtonian potential-density pairs commonly used in Galactic Astronomy. A simplified, although exact, relativistic model of an active galactic nuclei is also presented. Finally, some Newtonian potential-density pairs obtained from the Newtonian multipolar expansion that generalize known pairs are studied. / Doutorado / Física / Doutor em Ciências

O presente trabalho se destina a um estudo detalhado da chamada equação de spin, a qual pode ser utilizada para descrever o comportamento de sistemas de dois níveis. Para campos externos dados por funções reais, esta equação pode ser identificada com uma redução da equação de Pauli para o caso 0+1 dimensional. Inicialmente, demonstraremos a relação entre esta equação de spin e várias outras equações relacionadas com diversos problemas em física. Com estas relações, podemos construir novas soluções da equação de spin a partir do conhecimento de soluções exatas destes outros problemas e, por outro lado, estender a aplicação das soluções obtidas. Em seguida, descrevemos a forma geral da solução desta equação, construímos o operador de evolução e resolvemos o problema inverso, i.e., a determinação do campo externo supondo o conhecimento de uma solução. Finalizando, para o importante caso de campos externos reais, desenvolvemos um método de construção de novas soluções a partir de uma solução previamente conhecida, utilizando a chamada transformação de Darboux. Em particular, demonstramos a existência de operadores de entrelaçamento de Darboux, que não violam a estrutura específica dos sistemas de dois níveis, e permitem construir novos campos externos também dados por funções reais. Como resultado destes desenvolvimentos, apresentamos uma série de novas soluções exatas para a equação de spin. / The aim of the present work is to study in detail the so called spin equation, which can be used to describe the behavior of two-level systems. We recall that, for real external fields, this equation can be treated as a reduction of the Pauli equation to the 0+1 dimensional base. Initially, we present the relation between the spin equation and some other equations related to diferent physical problems. With these relations, we construct new solutions to the spin equation from the knowledge of the exact solutions of these other problems and, on the other hand, extend the applicability of the obtained solutions. After that, we describe the general solution of the spin equation, construct the evolution operator and solve the inverse problem, i.e., the construction of the external field from a given supposed solution. Finally, for the important case of real fields, we develop a method to construct new solutions from a previously known one, by the application of the so called Darboux transformation. In particular, we demonstrate the existence of Darboux intertwining operators which do not violate the specific structure of the two-level systems and allow the construction of external fields which are also given by real functions. As a result of all these developments, we present several new sets of exact solutions for the spin equation.

Nesta dissertação, estuda-se estrelas compactas constituídas por uma forma estável do plasma ultra-relativístico de {\\it quarks} e glúons, a {\\it strange quark matter} ou matéria estranha, com pequena fração de elétrons para manter a neutralidade de carga. São abordadas, aqui, soluções matemáticas razoáveis que descrevem com simplicidade e agilidade certas propriedade dessas estrelas, a começar pela importantíssima relação massa-raio. Um perfil gaussiano para a densidade de energia foi escolhido como ponto de partida para contruir uma solução matemática para o problema e são apresentadas as motivações para tal escolha. Prova-se que o perfil escolhido não soluciona as Equações de Einstein exatamente e uma solução aproximada é fornecida. A seguir, as conhecidas soluções Tolman IV e Buchdahl I foram utilizadas para modelar uma estrela estranha com base no estudo de Alcock, Farhi e Olinto. Discute-se, ainda, como foi redescoberta a solução exata de Finch e Skea e discute-se, também, a solução exata para uma estrela de {\\it quarks} de Komathiraj e Maharaj, construída para um problema ligeiramente diferente, que incluía a existência de um campo elétrico. Conclui-se o trabalho comparando os resultados numéricos de Alcock, Farhi e Olinto com a solução aproximada aqui desenvolvida, apresentando o intervalo de validade desta solução. Além disso, são feitas comparações entre as diferentes soluções exatas e as características que cada uma delas exibe, e discute-se qual delas deve-se utilizar, tendo em mente que característica da estrela estranha se quer estudar. Os caminhos existentes para solucionar as Equações de Einstein, quando se quer modelar um objeto compacto, são discutidos e apontam-se quais os problemas que alguém encontrará ao seguir cada caminho. Por fim, relaciona-se a construção da relação massa-raio com a diferenciação dos tipos de objetos compactos que podem, em princípio, existir. / In this dissertation we study compact stars constituted by a stable form of ultra-relativistic quark-gluon plasma, the strange matter, with a small fraction of electrons to keep the neutrality of charge. We address here reasonable mathematical solutions that describe with simplicity and agility some properties of these stars, beginning by the important mass-radius relationship. A gaussian energy density profile was chosen as the starting point for the construction of a mathematical solution for this problem and the motivations for this choice was presented. We prove that this profile is not an exact solution for the Einstein Field Equations and an approximated solution is presented. Following, the previous known solutions of Tolman IV and Buchdahl I were used to model a strange star, based on the work of Alcock, Farhi and Olinto. We discuss the rediscovery of the exact solution of Finch and Skea and also the exact solution for a quark star by Komathiraj and Maharaj, constructed to a problem slightly different, that includes the existence of an electric field. We conclude this work comparing the numerical results of Alcock, Farhi and Olinto with the approximated solution here developed, presenting the range of validity of this solution. Furthermore, comparisons were made between the different exact solutions and the features displayed by each one and we discuss which solution must be used when one have in mind which features of the strange star one wants to study. The existent ways for solving the Einstein Equations when we want to model a compact star are discussed and we point out the problems that one will find in following each way. At last, we make a relation between the mass-radius relationship and the differentiation of the many types of compact objects that could, in principle, exist.

Nesta tese propomos um modelo estocástico multimodal para regulação da expressão gênica em nível de transcrição. A definição de um espaço de parâmetros que contém o conteúdo biológico do sistema aliada à escolha apropriada de uma base para construir a matriz de acoplamento entre os estados do sistema levaram à obtenção de soluções exatas do modelo. Tais soluções são obtidas transformando as equações mestras em equações diferenciais parciais usando a técnica das funções geradoras e escrevendo os coeficientes das equações parciais em termos dos parâmetros biológicos do modelo. No regime estacionário obtivemos uma relação de recorrência para os coeficientes das séries de potências que definem as funções geradoras e a especificação das configurações de equilíbrio do sistema permite que estas séries sejam calculadas exatamente. Com as soluções exatas calculadas não só as distribuições de probabilidade foram obtidas como os momentos das distribuições. As distribuições de probabilidade de equilíbrio apresentam estruturas multimodais com vários picos e a análise do ruído (flutuação) mostra que a existência de um estado intermediário de eficiência transcricional leva a redução do ruído global do sistema. A inspeção dos autovalores da matriz de acoplamento mostrou que existem regiões onde a dinâmica dos momentos é de caráter oscilatória com amortecimento. Diferentes esquemas de acoplamento levam à diferentes regimes transientes, tal característica revela que o sistema multimodal apresentam maior flexibilidade adaptativa quando comparado com sistemas de um ou dois estados. / In this thesis we propose a stochastic model for multimodal regulation of gene expression at the transcriptional level. The definition of a parameter space that contains the contents of the biological system coupled with the appropriate choice of a base to build the coupling matrix between the states of the system led to the exact solutions of the model. Such solutions are obtained by transforming master equations in partial differential equations using the technique of generating functions and writing the coefficients of partial equations in terms of biological parameters of the model. In the steady a recurrence relation for the coefficients of power series defining the generating functions was obtained and specification of the equilibrium configurations of the system allows the exact calculation of these series. With the exact solutions calculated not only the probability distributions were obtained but also the moments of the distributions. The equilibrium distributions probability is multimodal and presents several peaks. Analysis of the noise (fluctuation) shows that the existence of an state with intermediate transcriptional efficiency leads to a reduction of the overall system noise. Inspection of the eigenvalues of the coupling matrix showed that there are regions where the dynamics of the moments is damped oscillating. Different coupling schemes lead to different transient regimes, this feature reveals that the multimodal system have greater adaptive flexibility when compared to systems of one or two states.

Vários módulos funcionais de células ou bactérias são controlados por meio de genes que se regulam através da codificação de proteínas repressoras ou indutoras. A compreensão destas redes gênicas é um problema em aberto da biologia. Nesta dissertação procuramos aplicar o modelo estocástico de spins e bósons para o caso da rede mais simples, contiduída de dois genes, o primeiro reprimindo o segundo. Apresentamos a solução exata para a distribuição de probabilidades sobre o número das proteínas dos dois genes no estado estacionário, e a probabilidade dependente do tempo sobre o estado do segundo gene (ativado ou desativado). Discutimos também maneiras de generalizar os resultados para redes maiores. / Several functional modules in cells or bacteria are controlled by genes that regulate each other by coding repressive or inducer proteins. The understanding of these genetic networks is still an open problem in biology. In this work we apply the stochastic spin-boson model to the simplest interacting network, made of two genes, the first repressing the second. We present the exact solution for the stationary probability distribution over their both protein numbers, and the temporal evolution of the second genes state (on or off). We also discuss ways of generalizing these results to larger networks.

Vários módulos funcionais de células ou bactérias são controlados por meio de genes que se regulam através da codificação de proteínas repressoras ou indutoras. A compreensão destas redes gênicas é um problema em aberto da biologia. Nesta dissertação procuramos aplicar o modelo estocástico de spins e bósons para o caso da rede mais simples, contiduída de dois genes, o primeiro reprimindo o segundo. Apresentamos a solução exata para a distribuição de probabilidades sobre o número das proteínas dos dois genes no estado estacionário, e a probabilidade dependente do tempo sobre o estado do segundo gene (ativado ou desativado). Discutimos também maneiras de generalizar os resultados para redes maiores. / Several functional modules in cells or bacteria are controlled by genes that regulate each other by coding repressive or inducer proteins. The understanding of these genetic networks is still an open problem in biology. In this work we apply the stochastic spin-boson model to the simplest interacting network, made of two genes, the first repressing the second. We present the exact solution for the stationary probability distribution over their both protein numbers, and the temporal evolution of the second genes state (on or off). We also discuss ways of generalizing these results to larger networks.

Nesta tese propomos um modelo estocástico multimodal para regulação da expressão gênica em nível de transcrição. A definição de um espaço de parâmetros que contém o conteúdo biológico do sistema aliada à escolha apropriada de uma base para construir a matriz de acoplamento entre os estados do sistema levaram à obtenção de soluções exatas do modelo. Tais soluções são obtidas transformando as equações mestras em equações diferenciais parciais usando a técnica das funções geradoras e escrevendo os coeficientes das equações parciais em termos dos parâmetros biológicos do modelo. No regime estacionário obtivemos uma relação de recorrência para os coeficientes das séries de potências que definem as funções geradoras e a especificação das configurações de equilíbrio do sistema permite que estas séries sejam calculadas exatamente. Com as soluções exatas calculadas não só as distribuições de probabilidade foram obtidas como os momentos das distribuições. As distribuições de probabilidade de equilíbrio apresentam estruturas multimodais com vários picos e a análise do ruído (flutuação) mostra que a existência de um estado intermediário de eficiência transcricional leva a redução do ruído global do sistema. A inspeção dos autovalores da matriz de acoplamento mostrou que existem regiões onde a dinâmica dos momentos é de caráter oscilatória com amortecimento. Diferentes esquemas de acoplamento levam à diferentes regimes transientes, tal característica revela que o sistema multimodal apresentam maior flexibilidade adaptativa quando comparado com sistemas de um ou dois estados. / In this thesis we propose a stochastic model for multimodal regulation of gene expression at the transcriptional level. The definition of a parameter space that contains the contents of the biological system coupled with the appropriate choice of a base to build the coupling matrix between the states of the system led to the exact solutions of the model. Such solutions are obtained by transforming master equations in partial differential equations using the technique of generating functions and writing the coefficients of partial equations in terms of biological parameters of the model. In the steady a recurrence relation for the coefficients of power series defining the generating functions was obtained and specification of the equilibrium configurations of the system allows the exact calculation of these series. With the exact solutions calculated not only the probability distributions were obtained but also the moments of the distributions. The equilibrium distributions probability is multimodal and presents several peaks. Analysis of the noise (fluctuation) shows that the existence of an state with intermediate transcriptional efficiency leads to a reduction of the overall system noise. Inspection of the eigenvalues of the coupling matrix showed that there are regions where the dynamics of the moments is damped oscillating. Different coupling schemes lead to different transient regimes, this feature reveals that the multimodal system have greater adaptive flexibility when compared to systems of one or two states.

O presente trabalho se destina a um estudo detalhado da chamada equação de spin, a qual pode ser utilizada para descrever o comportamento de sistemas de dois níveis. Para campos externos dados por funções reais, esta equação pode ser identificada com uma redução da equação de Pauli para o caso 0+1 dimensional. Inicialmente, demonstraremos a relação entre esta equação de spin e várias outras equações relacionadas com diversos problemas em física. Com estas relações, podemos construir novas soluções da equação de spin a partir do conhecimento de soluções exatas destes outros problemas e, por outro lado, estender a aplicação das soluções obtidas. Em seguida, descrevemos a forma geral da solução desta equação, construímos o operador de evolução e resolvemos o problema inverso, i.e., a determinação do campo externo supondo o conhecimento de uma solução. Finalizando, para o importante caso de campos externos reais, desenvolvemos um método de construção de novas soluções a partir de uma solução previamente conhecida, utilizando a chamada transformação de Darboux. Em particular, demonstramos a existência de operadores de entrelaçamento de Darboux, que não violam a estrutura específica dos sistemas de dois níveis, e permitem construir novos campos externos também dados por funções reais. Como resultado destes desenvolvimentos, apresentamos uma série de novas soluções exatas para a equação de spin. / The aim of the present work is to study in detail the so called spin equation, which can be used to describe the behavior of two-level systems. We recall that, for real external fields, this equation can be treated as a reduction of the Pauli equation to the 0+1 dimensional base. Initially, we present the relation between the spin equation and some other equations related to diferent physical problems. With these relations, we construct new solutions to the spin equation from the knowledge of the exact solutions of these other problems and, on the other hand, extend the applicability of the obtained solutions. After that, we describe the general solution of the spin equation, construct the evolution operator and solve the inverse problem, i.e., the construction of the external field from a given supposed solution. Finally, for the important case of real fields, we develop a method to construct new solutions from a previously known one, by the application of the so called Darboux transformation. In particular, we demonstrate the existence of Darboux intertwining operators which do not violate the specific structure of the two-level systems and allow the construction of external fields which are also given by real functions. As a result of all these developments, we present several new sets of exact solutions for the spin equation.

Nesta dissertação, estuda-se estrelas compactas constituídas por uma forma estável do plasma ultra-relativístico de {\\it quarks} e glúons, a {\\it strange quark matter} ou matéria estranha, com pequena fração de elétrons para manter a neutralidade de carga. São abordadas, aqui, soluções matemáticas razoáveis que descrevem com simplicidade e agilidade certas propriedade dessas estrelas, a começar pela importantíssima relação massa-raio. Um perfil gaussiano para a densidade de energia foi escolhido como ponto de partida para contruir uma solução matemática para o problema e são apresentadas as motivações para tal escolha. Prova-se que o perfil escolhido não soluciona as Equações de Einstein exatamente e uma solução aproximada é fornecida. A seguir, as conhecidas soluções Tolman IV e Buchdahl I foram utilizadas para modelar uma estrela estranha com base no estudo de Alcock, Farhi e Olinto. Discute-se, ainda, como foi redescoberta a solução exata de Finch e Skea e discute-se, também, a solução exata para uma estrela de {\\it quarks} de Komathiraj e Maharaj, construída para um problema ligeiramente diferente, que incluía a existência de um campo elétrico. Conclui-se o trabalho comparando os resultados numéricos de Alcock, Farhi e Olinto com a solução aproximada aqui desenvolvida, apresentando o intervalo de validade desta solução. Além disso, são feitas comparações entre as diferentes soluções exatas e as características que cada uma delas exibe, e discute-se qual delas deve-se utilizar, tendo em mente que característica da estrela estranha se quer estudar. Os caminhos existentes para solucionar as Equações de Einstein, quando se quer modelar um objeto compacto, são discutidos e apontam-se quais os problemas que alguém encontrará ao seguir cada caminho. Por fim, relaciona-se a construção da relação massa-raio com a diferenciação dos tipos de objetos compactos que podem, em princípio, existir. / In this dissertation we study compact stars constituted by a stable form of ultra-relativistic quark-gluon plasma, the strange matter, with a small fraction of electrons to keep the neutrality of charge. We address here reasonable mathematical solutions that describe with simplicity and agility some properties of these stars, beginning by the important mass-radius relationship. A gaussian energy density profile was chosen as the starting point for the construction of a mathematical solution for this problem and the motivations for this choice was presented. We prove that this profile is not an exact solution for the Einstein Field Equations and an approximated solution is presented. Following, the previous known solutions of Tolman IV and Buchdahl I were used to model a strange star, based on the work of Alcock, Farhi and Olinto. We discuss the rediscovery of the exact solution of Finch and Skea and also the exact solution for a quark star by Komathiraj and Maharaj, constructed to a problem slightly different, that includes the existence of an electric field. We conclude this work comparing the numerical results of Alcock, Farhi and Olinto with the approximated solution here developed, presenting the range of validity of this solution. Furthermore, comparisons were made between the different exact solutions and the features displayed by each one and we discuss which solution must be used when one have in mind which features of the strange star one wants to study. The existent ways for solving the Einstein Equations when we want to model a compact star are discussed and we point out the problems that one will find in following each way. At last, we make a relation between the mass-radius relationship and the differentiation of the many types of compact objects that could, in principle, exist.

A colisão de buracos negros é uma das fontes mais importantes de ondas gravitacionais e, em geral, a emissão anisotrópica da radiação causa um recuo do objeto final. Este cenário já é conhecido há décadas, mas foi somente com o recente avanço na relatividade numérica que as velocidades finais dos objetos radiantes foram computadas com precisão. Os valores encontrados podem ser altos o suficiente para exercerem um importante papel no crescimento de buracos negros super massivos via coleção de galáxias e na abundância de núcleos galáticos ativos contendo buracos negros. Este é um autêntico efeito da não linearidade de Relatividade Geral e esta tese fornece uma nova metodologia estudar alguns aspectos da dinâmica da colisão de buracos negros. Consideramos o horizonte como uma tela canônica que codifica as informações da evolução temporal do espaço-tempo. Com esta hipótese, fenômenos como o anti-kick, isto é, uma súbita desaceleração do sistema antes de atingir a velocidade final, são explicado em termos da dissipação das deformações do horizonte. Estudamos primeiramente o Espaço-tempo de Robinson-Trautman. Uma das solução mais simples das equações de Einstein, esta métrica nos fornece um poderoso modelo para investigar tanto a perda de massa quanto o recuo do objeto final. Mostramos que, quando as configurações iniciais tem simetria especular, a massa do buraco negro remanescente e a energia irradiada são completamente determinadas pela condição inicial. Com isso, obtemos as expressões analíticas dos resultados numéricos obtidos anteriormente na literatura. Além disto, com o auxilio do método espectral de Galerkin, analisamos o regime não linear das equações envolvidas e verificamos que se pode estimar a velocidade de recuo final com boa precisão a partir de medidas da assimetria da condição inicial. Introduzimos na seqüência a curvatura efetiva como uma medida das deformações intrínsecas ao horizonte. Além de considerar as deformações gerais, ela também inclui as diferenças entre os hemisférios norte e sul. No espaço-tempo de Robinson-Trautman, essa quantidade se correlaciona de uma forma injetora com a velocidade final. Para superar algumas limitações dessa solução, aplicamos o mesmo procedimento nos resultados da simulação numérica de uma colisão head-on. Neste caso, a curvatura efetiva, está na realidade, correlacionada com a aceleração do sistema. Refinamentos e generalizações desta técnica são também discutidos e propostos para trabalhos futuros. / Colliding black holes are one of the most important sources of gravitational waves and the anisotropic emission of the radiation generally causes the recoil of the final hole. This scenario has been known for decades, but it is only thanks to the recent progress in numerical relativity that the final velocity have been accurately computed. The values found can be large enough to play an important role in the growth of supermassive black holes via mergers of galaxies and on the number of galaxies containing them. This is a genuine nonlinear effect of general relativity and this thesis provides a new methodology to study some features on the dynamics of the collision. We propose that the horizon is a canonical screen, which encodes he information of its surroundings. With this assumption, phenomena such as the anti-kick, namely the sudden deceleration before reaching the final velocity, are explained in terms of the dissipation of the horizons deformation. We first study the Robinson-Trautman spacetime. One of the simplest solutions of Einsteins equations, it provides us with a powerful toymodel to investigate both the mass loss of the system and the recoil of the final object. We show that, for the case of reflectionsymmetric initial configurations, the mass of the remnant black-hole and the total energy radiated away are completely determined by the initial data, allowing us to obtain analytical expressions for some numerical results that had appeared in the literature. Moreover, by using the Galerkin spectral method to analyze the non-linear regime of the equations involved, we found that the recoil velocity can be estimated with good accuracy from some symmetry measures of the initial data. Then we introduce the effective urvature as a measure of intrinsic deformations on the horizon. Not only does it account for overall deformation, but also for the differences on the north and south hemispheres. In the Robinson-Trautman spacetime, this quantity correlates in an injective way with the final velocity. To overcome some caveats of this solutions, we apply the same procedure to the results given by numerical simulations of a head-on collision. In the case, the effective curvature is actually correlated with the acceleration of the system. Further improvement and generalizations of this technic is also discussed and proposed for future work.