In der Arbeit werden effektive Verfahren zur Auswertung der Hilbert-Transformation entwickelt und zur Lösung nichtlinearer Randwertaufgaben der Funktionentheorie eingesetzt. Die Verwendung polynomialer Spline-Wavelets und geeignet modifizierter Wavelet-Algorithmen ermöglichen die schnelle Berechnung auf gleichmäßigen und ungleichmäßigen Gittern sowie deren automatische Anpassung an lokale Besonderheiten der Lösung. Die detaillierte Untersuchung des Zusammenhangs zwischen der Glattheit, der Größe des Trägers des Splines, der Anzahl verschwindender Momente und des asymptotischen Verhaltens der Hilbert-Transformierten erlaubt die Anpassung der Parameter des Verfahrens in Bezug auf Genauigkeit und Effektivität. Im zweiten Teil der Arbeit werden verschiedene Algorithmen zur Lösung von Riemann-Hilbert Probleme vorgeschlagen und deren Konvergenzverhalten untersucht. Die theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Experimente bestätigt.

In der Arbeit werden effektive Verfahren zur Auswertung der Hilbert-Transformation entwickelt und zur Lösung nichtlinearer Randwertaufgaben der Funktionentheorie eingesetzt. Die Verwendung polynomialer Spline-Wavelets und geeignet modifizierter Wavelet-Algorithmen ermöglichen die schnelle Berechnung auf gleichmäßigen und ungleichmäßigen Gittern sowie deren automatische Anpassung an lokale Besonderheiten der Lösung. Die detaillierte Untersuchung des Zusammenhangs zwischen der Glattheit, der Größe des Trägers des Splines, der Anzahl verschwindender Momente und des asymptotischen Verhaltens der Hilbert-Transformierten erlaubt die Anpassung der Parameter des Verfahrens in Bezug auf Genauigkeit und Effektivität. Im zweiten Teil der Arbeit werden verschiedene Algorithmen zur Lösung von Riemann-Hilbert Probleme vorgeschlagen und deren Konvergenzverhalten untersucht. Die theoretischen Ergebnisse werden durch numerische Experimente bestätigt.

Construire une surface lisse d'un objet 3D est un problème important dans de nombreuses applications graphiques. En particulier, les méthodes de subdivision permettent de passer facilement d'un maillage discret à une surface continue. Un problème général résultant de la subdivision de deux maillages initialement connectés le long d'un bord est l'apparition de fissures ou de trous entre eux. Ces fissures produisent non seulement des formes indésirables, mais induisent aussi des difficultés pour les traitements ultérieurs. Il faut donc réparer ces défauts de sorte que la surface obtenue soit lisse et puisse être subdivisée ou modifiée. Nous proposons de nouvelles méthodes pour relier deux maillages avec des résolutions différentes en utilisant une transformée en ondelettes B-splines et une approximation locale ou une interpolation locale à l'aide de fonctions de base radiales (RBF). Ces procédés génèrent un maillage de connexion où la continuité est contrôlée. La résolution du maillage est ajustable pour respecter le changement de résolution entre les zones grossières et fines. En outre, nous présentons des méthodes pour combler les trous à n-côtés, et le raffinement des maillages grâce à un schéma de subdivision adaptative. Nous avons conçu, implémenté et testé les algorithmes en MatLab pour illustrer nos méthodes et montrer des résultats expérimentaux. Ces algorithmes sont mis en oeuvre sur de nombreux modèles d'objets 3D avec des formes complexes. En outre, nous avons fourni des approches différentes pour chaque problème. Ainsi, les résultats des différentes approches sont comparés et évalués afin d'exploiter les avantages et les inconvénients de ces approches. / Constructing a smooth surface of a 3D object is an important problem in many graphical applications. In particular, subdivision methods permit to pass easily from a discrete mesh to a continuous surface. A generic problem arising from subdividing two meshes initially connected along a common boundary is the occurrence of cracks or holes between them. These cracks not only produce undesired shapes, but also bring serious trouble for further mesh processing. They must be removed or filled so that the produced surface is smooth and can be further subdivided or edited. In order to remove cracks, we propose new methods for joining two meshes with different resolutions using a Lifted B-spline wavelet transform and a local approximation or radial basis function (RBF) local interpolation. These methods generate a connecting mesh where continuity is controlled from one boundary to the other and the connecting mesh can change gradually in resolution between coarse and fine areas. Additionally, we introduce methods for filling n-sided holes, and refining meshes with an adaptive subdivision scheme. We have designed, implemented, and tested the algorithms in MatLab to illustrate our proposed methods and show experimental results. These algorithms are implemented on many 3D object models with complex shapes. Additionally, we have provided some different approaches for each problem. Thus, results from the different approaches are compared and evaluated to exploit the advantages and disadvantages of these approaches.