Les réseaux tolérants aux retards (DTN) ont été conçus pour fournir un moyen de communication durable entre terminaux mobiles dans les régions dépourvues d’infrastructure cellulaire. Dans de tels réseaux, l’ensemble des voisins de chaque nœud change au fil du temps en raison de la mobilité des nœuds, ce qui entraîne une connectivité intermittente et des routes instables dans le réseau. Nous analysons la performance d’un système d’incitation pour les DTN à deux sauts dans lequel une source en arriéré offre une récompense fixe aux relais pour délivrer un message. Un seul message à la fois est proposé par la source. Pour un message donné, seul le premier relais à le délivrer reçoit la récompense correspondant à ce message, induisant ainsi une compétition entre les relais. Les relais cherchent à maximiser la récompense attendue pour chaque message alors que l’objectif de la source est de satisfaire une contrainte donnée sur la probabilité de livraison du message. Nous considérons deux réglages différents : l’un dans lequel la source indique aux relais pendant combien de temps un message est en circulation, et l’autre dans lequel la source ne donne pas cette information. Dans le premier paramètre, nous montrons que la politique optimale d’un relais est de type seuil : il accepte un message jusqu’à un premier seuil et le conserve jusqu’à ce qu’il atteigne la destination ou le deuxième seuil. Les formules de calcul des seuils ainsi que de la probabilité de livraison des messages sont dérivées pour une source d’arriérés. Nous étudions ensuite la performance asymptotique de ce réglage dans la limite moyenne du champ. Lorsque le deuxième seuil est infini, nous donnons l’ODE du champ moyen et montrons que tous les messages ont la même probabilité de réussite. Lorsque le deuxième seuil est fini, nous ne donnons qu’une approximation ODE car dans ce cas, la dynamique n’est pas markovienne. Pour le second réglage, nous supposons que la source propose chaque message pour une période de temps fixe et qu’un relais décide d’accepter un message selon une politique randomisée lors d’une rencontre avec la source. S’il accepte le message, un relais le garde jusqu’à ce qu’il atteigne la destina- tion. Nous établissons dans quelle condition la probabilité d’acceptation des relais est strictement positive et montrons que, dans cette condition, il existe un équilibre de Nash symétrique unique, dans lequel aucun relais n’a quelque chose à gagner en changeant unilatéralement sa probabilité d’acceptation. Des expressions explicites pour la probabilité de livraison du message et le temps moyen de livraison d’un message à l’équilibre symétrique de Nash sont dérivées, ainsi qu’une expression de la valeur asymptotique de la livraison du message. Enfin, nous présentons de nombreux résultats de simulations pour com- parer les performances de la stratégie de type seuil et de la stratégie ran- domisée, afin de déterminer dans quelle condition il est rentable pour la source de donner l’information sur l’âge d’un message aux relais. / Delay-Tolerant Networks (DTNs) were designed to provide a sustainable means of communication between mobile terminals in regions without cellular infrastructure. In such networks, the set of neighbors of every node changes over time due to the mobility of nodes, resulting in intermittent connectivity and unstable routes in the network. We analyze the performance of an incentive scheme for two-hop DTNs in which a backlogged source pro- poses a fixed reward to the relays to deliver a message. Only one message at a time is proposed by the source. For a given message, only the first relay to deliver it gets the reward corresponding to this message thereby inducing a competition between the relays. The relays seek to maximize the expected reward for each message whereas the objective of the source is to satisfy a given constraint on the probability of message delivery. We consider two different settings: one in which the source tells the relays for how long a message is in circulation, and one in which the source does not give this information. In the first setting, we show that the optimal policy of a relay is of thresh- old type: it accepts a message until a first threshold and then keeps the message until it either meets the destination or reaches the second threshold. Formulas for computing the thresholds as well as probability of message delivery are derived for a backlogged source. We then investigate the asymptotic performance of this setting in the mean field limit. When the second thresh- old in infinite, we give the mean-field ODE and show that all the messages have the same probability of successful delivery. When the second threshold is finite we only give an ODE approximation since in this case the dynamics are not Markovian. For the second setting, we assume that the source proposes each message for a fixed period of time and that a relay decides to accept a message accord- ing to a randomized policy upon encounter with the source. If it accepts the message, a relay keeps it until it reaches the destination. We establish under which condition the acceptance probability of the relays is strictly positive and show that, under this condition, there exists a unique symmetric Nash equilibrium, in which no relay has anything to gain by unilaterally changing its acceptance probability. Explicit expressions for the probability of message delivery and the mean time to deliver a message at the symmetric Nash equilibrium are derived, as well as an expression of the asymptotic value of message delivery. Finally, we present numerous simulations results to compare performances of the threshold-type strategy and the randomized strategy, in order to determine under which condition it is profitable for the source to give the information on the age of a message to the relays

Nous étudions la dynamique d'un traceur soumis à une force extérieure dans un bain de particules. Nous proposons un modèle qui prend en compte explicitement la dynamique du bain, et qui décrit les corrélations entre la dynamique du traceur et la réponse du bain. Nous considérons un traceur biaisé dans un gaz de coeurs durs sur réseau : le traceur réalise une marche aléatoire biaisée tandis que les particules du bain réalisent des marches aléatoires symétriques. Nous étudions plus particulièrement les fluctuations de la position du traceur. Dans la limite de haute densité, nous obtenons des résultats exacts à l'ordre dominant en la densité de lacunes. En géométrie confinée, un calcul analytique des fluctuations de la position du traceur prévoit un long régime superdiffusif, et une transition vers un régime diffusif final. Nous proposons une description simplifiée du système qui révèle le mécanisme physique à l'origine de ce comportement anormal. Nous montrons l'existence d'une anomalie de la vitesse du traceur dans les systèmes quasi-1D. Nous étudions également le cas général d'une densité arbitraire de particules sur un réseau en contact avec un réservoir. Cette situation constitue un problème à N corps décrit par une équation maîtresse, qui ne peut être résolue qu'en recourant à une approximation de type champ moyen consistant en le découplage de certaines fonctions de corrélation. Il est alors possible de déterminer des valeurs approchées de la vitesse, de coefficient de diffusion du traceur ainsi que de la distribution de position du traceur. Nous montrons enfin que l'approximation de découplage est exacte dans les limites de basse et de haute densité. / We study the dynamics of a tracer submitted to an external force in a bath of particles. We propose a model which takes explicitly into account the dynamics of the bath, and which describes the correlations between the dynamics of the tracer and the response of the bath. We consider a biased tracer in a lattice gas of hardcore particles: the tracer performs a biased random walk whereas the bath particles perform symmetric random walks. We study in particular the fluctuations of the position of the tracer. In the high-density limit, we obtain exact results at leading order in the density of vacancies. In confined geometries, an analytical calculation of the fluctuations of tracer position predicts a long superdiffusive regime, and a crossover to an ultimate diffusive regime. We give a simplified description of the system that unveils the physical mechanism explaining this anomalous behavior. We show the existence of a velocity anomaly in quasi-1D systems.We also study the general case of an arbitrary density of particles on a lattice in contact with a reservoir. This situation is a N-body problem described by a master equation, that can be solved by resorting to a mean-field-type approximation, which consists in the decoupling of relevant correlation functions. It is then possible to determine approximate values of the velocity, the diffusion coefficient and the distribution of the position of the tracer. We finally show that the decoupling approximation is exact in the high-density and low-density limits.

Nous déterminons d’abord l’impact d’un plan infini réfléchissant sur l’espace occupé par une marche brownienne bidimensionnelle à un temps fixé, que nous caractérisons par le périmètre moyen de son enveloppe convexe (plus petit polygone convexe contenant toute la trajectoire). Nous déterminons également la longueur moyenne de la portion du plan visitée par le marcheur, et la probabilité de survie d’un marcheur brownien dans un secteur angulaire absorbant.Nous étudions ensuite le temps mis par un marcheur sur réseau pour visiter tous les sites d’un volume, ou une partie d’entre eux. Nous calculons la moyenne de ce temps, dit de couverture, à une dimension pour une marche aléatoire persistante. Nous déterminons également la distribution du temps de couverture et d’autres observables assimilées pour la classe des processus non compacts, qui décrivent un large spectre de recherches aléatoires.Dans un troisième temps, nous calculons et analysons la probabilité de sortie conditionnelle d’un marcheur brownien évoluant dans un intervalle se dilatant ou se contractant à vitesse constante.Enfin, nous étudions plusieurs aspects du modèle du marcheur aléatoire “affamé”, qui meurt si les visites de nouveaux sites, grâce auxquelles il engrange des ressources, ne sont pas suffisamment regulières. Nous en proposons un traitement de type champ moyen à deux dimensions, puis nous déterminons l’impact de la régénération des ressources sur les propriétés de survie du marcheur. Nous considérons finalement un modèle d’exploitation de parcelles de nourriture prenant explicitement en compte le mouvement du marcheur, qui se ramène de manière naturelle au modèle du marcheur aléatoire affamé. / We first determine the impact of an infinite reflecting wall on the space occupied by a planar Brownian motion at a fixed observation time. We characterize it by the mean perimeter of its convex hull, defined as the minimal convex polygon enclosing the whole trajectory. We also determine the mean length of the visited portion of the wall, and the survival probability of a Brownian walker in an absorbing wedge.We then study the time needed for a lattice random walker to visit every site of a confined volume, or a fraction of them. We calculate the mean value of this so-called cover time in one dimension for a persistant random walk. We also determine the distribution of the cover time and related observables for the class of non compact processes, which describes a wide range of random searches.After that, we calculate and analyze the splitting probability of a one-dimensional Brownian walker evolving in an expanding or contracting interval.Last, we study several aspects of the model of starving random walk, where the walker starves if its visits to new sites, from which it collects resources, are not regular enough. We develop a mean-field treatment of this model in two dimensions, then determine the impact of regeneration of resources on the survival properties of the walker. We finally consider a model of exploitation of food patches taking explicitly into account the displacement of the walker in the patches, which can be mapped onto the starving random walk model.

Cette thèse concerne les stratégies de recherches de cible dites intermittentes, qui alternent des phases lentes permettant la détection de la cible, et des phases rapides sans détection. Un exemple à l'échelle macroscopique est celui d'animaux en quête de nourriture. Nous en proposons un modèle, alternatif aux célèbres stratégies de Lévy, et montrons analytiquement que le temps moyen de recherche peut être minimisé en fonction des durées moyennes de chaque phase. Un premier exemple à l'échelle microscopique est celui de la recherche par des protéines de cibles sur l'ADN. Nous calculons analytiquement la distribution de la distance parcourue le long de l'ADN lors d'une excursion 3D, l'adaptons à une expérience de molécule unique et montrons que les trajectoires observées combinent des diffusions 1D et 3D. Un autre exemple cellulaire concerne le transport actif de vésicules, qui diffusent ou se lient à des moteurs assurant un déplacement balistique. Nous optimisons la constante cinétique dans un modèle général de réaction limitée par ce type de transport. Finalement, ces stratégies intermittentes pourraient constituer un mécanisme de recherche générique. Nous étudions de manière systématique l'influence de la modélisation de la phase de détection et de la dimension de l'espace, et montrons que l'optimalité des stratégies intermittentes est un résultat robuste.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'interfaces critiques bidimensionnelles par des méthodes d'évolutions de Schramm-Loewner (SLE) et de théories conformes. Nous étudions en particulier le cas de SLE(2) qui est la limite d'échelle des marches à boucles effacées. La solution explicite du problème d'enroulement sur des domaines doublement connexes est discutée. Nous établissons une généralisation de la formule de Schramm pour SLE(2) dans la géométrie doublement connexe et étendons la solution au cas de conditions mixtes Dirichlet-Neumann. L'analyse par la théorie conforme permet l'identification de l'opérateur de changement des conditions aux bords. De plus, à partir de l'étude des lignes de discontinuité du champ gaussien libre sur des domaines doublement connexes nous mettons en évidence une relation entre SLE(4) et les ponts browniens.<br /><br />Le sujet de la seconde partie est l'étude de deux exemples de systèmes désordonnés de basse dimension. D'un coté nous établissons les propriétés de localisation et spectrales d'un hamiltonien aléatoire unidimensionnel qui interpole entre les cas du modèle de Halperin et le modèle supersymétrique désordonné. Un lien avec la diffusion unidimensionnelle dans un potentiel aléatoire permet d'étudier la modification de la dynamique ultra-lente de Sinai en présence d'absorbeurs. De l'autre côté nous analysons la transition vitreuse d'ARN pour des séquences aléatoires à l'aide de la théorie des champs de Lässig-Wiese-David. L'application au cas d'ARN soumis à une force extérieure conduit à la prédiction de la caractéristique force-extension pour des séquences hétérogènes. L'étude de la phase vitreuse nous amène à considérer un modèle hiérarchique combinatoire dont nous déterminons les exposants et lois d'échelle exactes ainsi que les corrections de taille finie.

Dans les établissements de santé, la stérilisation des dispositifs médicaux occupe une place primordiale dans la lutte contre l'infection. On appelle dispositif médical un instrument de chirurgie ou d'exploration utilisé lors d'une intervention ou d'un examen. Dans cette thèse nous étudions et proposons des améliorations de l'organisation de la production de dispositifs médicaux stériles en appliquant au milieu hospitalier des méthodes habituellement utilisées pour évaluer et améliorer les performances de systèmes de production industriels. Nous avons construit un modèle de simulation spécifique représentant le service de stérilisation du Centre Hospitalier Privé Saint Martin de Caen. Nous montrons les améliorations que nous avons pu obtenir en modifiant certains points de l'organisation. Par la suite nous avons cherché à dégager les spécificités des services de stérilisation de plusieurs établissements hospitaliers, dans le but d'effectuer une comparaison des différents types d'organisation et d'identifier les services les plus performants. Cette comparaison, réalisée à partir de données issues d'une enquête menée auprès d'établissements de la région Rhône-Alpes, repose sur des ratios de comparaison, sur la méthode DEA (Data Envelopment Analysis) et sur un modèle générique de simulation que nous avons élaboré. Dans cette thèse, nous proposons également des pistes pour analyser un service de stérilisation générique en utilisant des méthodes analytiques stochastiques. Nous commençons par dresser un état de l'art sur l'utilisation de modèles stochastiques analytiques pour l'analyse de systèmes de production de soins, puis nous étudions la possibilité d'utiliser une méthode analytique pour analyser notre modèle générique d'un service de stérilisation. Une modélisation par réseau de files d'attente du modèle générique est enfin présentée.

Dans les établissements de santé, la stérilisation des dispositifs médicaux occupe une place primordiale dans la lutte contre l'infection. On appelle dispositif médical un instrument de chirurgie ou d'exploration utilisé lors d'une intervention ou d'un examen. Dans cette thèse nous étudions et proposons des améliorations de l'organisation de la production de dispositifs médicaux stériles en appliquant au milieu hospitalier des méthodes habituellement utilisées pour évaluer et améliorer les performances de systèmes de production industriels. Nous avons construit un modèle de simulation spécifique représentant le service de stérilisation du Centre Hospitalier Privé Saint Martin de Caen. Nous montrons les améliorations que nous avons pu obtenir en modifiant certains points de l'organisation. Par la suite nous avons cherché à dégager les spécificités des services de stérilisation de plusieurs établissements hospitaliers, dans le but d'effectuer une comparaison des différents types d'organisation et d'identifier les services les plus performants. Cette comparaison, réalisée à partir de données issues d'une enquête menée auprès d'établissements de la région Rhône-Alpes, repose sur des ratios de comparaison, sur la méthode DEA (Data Envelopment Analysis) et sur un modèle générique de simulation que nous avons élaboré. Dans cette thèse, nous proposons également des pistes pour analyser un service de stérilisation générique en utilisant des méthodes analytiques stochastiques. Nous commençons par dresser un état de l'art sur l'utilisation de modèles stochastiques analytiques pour l'analyse de systèmes de production de soins, puis nous étudions la possibilité d'utiliser une méthode analytique pour analyser notre modèle générique d'un service de stérilisation. Une modélisation par réseau de files d'attente du modèle générique est enfin présentée.

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C'est le souci d'une modélisation mathématique à la fois précise et maniable qui constitue le dénominateur commun à ces travaux de thèse. Nous nous sommes en particulier intéressés à deux champs d'application des probabilités les marchés financiers et la biologie. Le premier chapitre détaille nos motivations. Il résume nos principaux résultats, les compare aux travaux existants et suggère des extensions possibles. Au deuxième chapitre, suite aux articles de Talay et Tubaro (1990) et Bally et Talay (1996), nous mesurons l'erreur que l'on commet lorsque l'on approche la loi de la solution d'une équation différentielle stochastique par celle de son schéma d'Euler. Sous hypothèse d'ellipticité, l'utilisation conjointe de techniques probabilistes et analytiques nous permet d'obtenir un développement limité fonctionnel, dans des espaces de fonctions très régulières de type noyau gaussien, du "noyau de transition" du schéma d'Euler, en fonction du pas de temps de discrétisation. Ce résultat trouve une application naturelle en mathématiques financières. Il donne la vitesse de convergence des prix, deltas et gammas d'options européennes pour une classe extrêmement large de payoffs. Il nous permet aussi de construire, au chapitre 3, dans l'analyse d'un modèle à volatilité stochastique proposé par Fouque, Papanicolaou et Sircar (2000), un algorithme d'évaluation et de couverture des options européennes dans lequel l'équilibre entre l'erreur statistique, due à l'échantillonnage "Monte-Carlo", et l'erreur de discrétisation temporelle est assuré de manière adaptative. Enfin, le dernier chapitre a pour thème le vieillissement cellulaire et est le fruit d'une coopération avec des biologistes de la Faculté de Médecine Necker à Paris. Les données expérimentales se présentent sous forme d'un arbre binaire de taux de croissance, à partir duquel nos collègues biologistes souhaitent détecter deux sous populations. Pour expliquer ces données, nous proposons un modèle autorégressif avec bifurcation, généralisant celui proposé par Cowan et Staudte en 1986, puis construisons et implémentons des procédures permettant d'estimer des paramètres et de tester des hypothèses biologiques. Pour ce faire, nous introduisons le concept de "chaînes de Markov bifurcantes", prouvons que cette famille de processus stochastiques satisfait des théorèmes limites originaux que nous appliquons au modèle et confrontons aux données, confirmant l'intuition et les calculs préliminaires des biologistes.

Les techniques de traitement d'image sont maintenant largement répandues dans une grande quantité de domaines: comme l'imagerie médicale, la post-production de films, les jeux... La détection et l'extraction automatique de régions d'intérêt à l'intérieur d'une image, d'un volume ou d'une vidéo est réel challenge puisqu'il représente un point de départ pour un grand nombre d'applications en traitement d'image. Cependant beaucoup de techniques développées pendant ces dernières années et les méthodes de l'état de l'art souffrent de quelques inconvénients: la méthode des ensembles de niveaux fournit seulement un minimum local tandis que la méthode de coupes de graphe vient de la communauté combinatoire et pourrait tirer profit de la spécificité des problèmes de traitement d'image. Dans cette thèse, nous proposons deux prolongements des méthodes précédemment citées afin de réduire ou enlever ces inconvénients. Nous discutons d'abord les méthodes existantes et montrons comment elles sont liées au problème de segmentation via une formulation énergétique. Nous présentons ensuite des perturbations stochastiques a la méthode des ensembles de niveaux et nous établissons un cadre plus générique: les ensembles de niveaux stochastiques (SLS). Plus tard nous fournissons une application directe du SLS à la segmentation d'image et montrons qu'elle fournit une meilleure minimisation des énergies. Fondamentalement, il permet aux contours de s'échapper des minima locaux. Nous proposons ensuite une nouvelle formulation d'un algorithme existant des coupes de graphe afin d'introduire de nouveaux concepts intéressant pour la communauté de traitement d'image: comme l'initialisation de l'algorithme pour l'amélioration de vitesse. Nous fournissons également une nouvelle approche pour l'extraction de couches d'une vidéo par segmentation du mouvement et qui extrait à la fois les couches visibles et cachées présentes.