Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à la métastabilité de certains systèmes dynamiques stochastiques. Plus précisément, nous avons étudié des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles perturbées par un bruit blanc additif dans l'asymptotique du bruit faible. Nous avons donné l'expression et le calcul de l'espérance de temps des transitions métastables pour certains types de modèles (formule dite d'Eyring-Kramers). Dans un premier temps, nous avons généralisé des résultats connus pour des diffusions d'Itô dont la dérive est le gradient d'un potentiel. Nous donnons une équivalence entre la géométrie du paysage décrit par le potentiel et des circuits électriques qui nous permet de donner des expressions simples pour le calcul des temps de transition entre des minima du potentiel. Nous utilisons la théorie du potentiel et les capacités dans le calcul de ces temps. Le principal résultat de cette thèse concerne des équations aux dérivées partielles stochastiques scalaires, paraboliques, semi-linéaires et perturbées par un bruit blanc espace-temps sur un intervalle borné réel comme l'équation d'Allen-Cahn. Ce modèle constitue un analogue infini-dimensionnel aux diffusions en dimension finie. Nous avons considéré deux types de conditions au bord, Dirichlet et Neumann, et discutons le cas des conditions périodiques. Sous certaines hypothèses, nous donnons l'expression, analogue à la dimension finie, des temps transitions. La preuve utilise une discrétisation par différence finie de l'équation et un couplage nous permettant d'appliquer les estimations pour la dimension finie. Il a fallu notamment contrôler uniformément ces estimations en fonction de la dimension pour passer à la limite et récupérer le système infini-dimensionnel.

Thèse (doctorat)--Université Louis Pasteur, Strasbourg, 1992. / "Cette thèse se compose de cinq mémoires originaux, deux articles ..., et deux courtes notes de probabilités non commutatives"--4e de couv. Notes bibliogr.

Le travail de thèse est composé de trois thèmes principaux : le premier étudie l'existence et l'unicité pour des équations différentielles stochastiques (EDS) progressives-rétrogrades fortement couplées avec des opérateurs sous-différentiels dans les deux équations, dans l’équation progressive ainsi que l’équation rétrograde, et il discute également un nouveau type des inégalités variationnelles partielles paraboliques associées, avec deux opérateurs sous-différentiels, l’un agissant sur le domaine de l’état, l’autre sur le co-domaine. Le second thème est celui des EDS rétrogrades sans ainsi qu’avec opérateurs sous-différentiels, régies par un mouvement brownien fractionnaire avec paramètre de Hurst H> ½. Il étend de manière rigoureuse les résultats de Hu et Peng (SICON, 2009) aux inégalités variationnelles stochastiques rétrogrades. Enfin, le troisième thème met l’accent sur la caractérisation déterministe de la viabilité pour les EDS régies par un mouvement brownien fractionnaire. Ces trois thèmes de recherche mentionnés ci-dessus ont en commun d’étudier des EDS avec contraintes sur le processus d’état. Chacun des trois sujets est basé sur une publication et des manuscrits soumis pour publication, respectivement. / This PhD thesis is composed of three main topics: The first one studies the existence and the uniqueness for fully coupled forward-backward stochastic differential equations (SDEs) with subdifferential operators in both the forward and the backward equations, and it discusses also a new type of associated parabolic partial variational inequalities with two subdifferential operators, one acting over the state domain and the other over the co-domain. The second topic concerns the investigation of backward SDEs without as well as with subdifferential operator, both driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H> 1/2. It extends in a rigorous manner the results of Hu and Peng (SICON, 2009) to backward stochastic variational inequalities. Finally, the third topic focuses on a deterministic characterisation of the viability for SDEs driven by a fractional Brownian motion. The three research topics mentioned above have in common to study SDEs with state constraints. The discussion of each of the three topics is based on a publication and on submitted manuscripts, respectively.

Cette thèse est consacrée à l'étude de modèles stochastiques associés aux systèmes quantiques ouverts. Plus particulièrement, nous étudions les marches quantiques ouvertes qui sont les analogues quantiques des marches aléatoires classiques. La première partie consiste en une présentation générale des marches quantiques ouvertes. Nous présentons les outils mathématiques nécessaires afin d'étudier les systèmes quantiques ouverts, puis nous exposons les modèles discrets et continus des marches quantiques ouvertes. Ces marches sont respectivement régies par des canaux quantiques et des opérateurs de Lindblad. Les trajectoires quantiques associées sont quant à elles données par des chaînes de Markov et des équations différentielles stochastiques avec sauts. La première partie s'achève avec la présentation de quelques pistes de recherche qui sont le problème de Dirichlet pour les marches quantiques ouvertes et les théorèmes asymptotiques pour les mesures quantiques non destructives. La seconde partie rassemble les articles rédigés durant cette thèse. Ces articles traîtent les sujets associés à l'irréductibilité, à la dualité récurrence-transience, au théorème central limite et au principe de grandes déviations pour les marches quantiques ouvertes à temps continu. / This thesis is devoted to the study of stochastic models derived from open quantum systems. In particular, this work deals with open quantum walks that are the quantum analogues of classical random walks. The first part consists in giving a general presentation of open quantum walks. The mathematical tools necessary to study open quan- tum systems are presented, then the discrete and continuous time models of open quantum walks are exposed. These walks are respectively governed by quantum channels and Lindblad operators. The associated quantum trajectories are given by Markov chains and stochastic differential equations with jumps. The first part concludes with discussions over some of the research topics such as the Dirichlet problem for open quantum walks and the asymptotic theorems for quantum non demolition measurements. The second part collects the articles written within the framework of this thesis. These papers deal with the topics associated to the irreducibility, the recurrence-transience duality, the central limit theorem and the large deviations principle for continuous time open quantum walks.

Alternatives aux méthodes de Monte-Carlo pour le traitement des problèmes de propagation d'incer- titudes dans les modèles mécaniques structuraux, les méthodes d'éléments finis stochastiques (MEFS) connaissent un succès grandissant depuis une dizaine d'années, concrétisée par de nombreux travaux de recherche internationaux. Le présent travail est une contribution à ces recherches et son but est double. D'une part, considérant la MEFS spectrale (Ghanem & Spanos, 1991), qui est actuellement très utilisée, nous en faisons une présentation détaillée afin d'en cerner les limites. Cette méthode, essentiellement valable pour les problèmes linéaires, présente l'internet de permettre l'emploi, non seulement de variables aléatoires mais également de processus ou champs stochastiques pour la modélisation probabiliste des paramètres incertains du modèle. Deux applications, l'une sur une barre en traction, l'autre sur une structure formée de poutres modélisant un assemblage bois, permettent de juger de ses possibilités. D'autre part, et c'est le coeur du travail, nous proposons une MEFS originale pour la résolution de problèmes mécaniquement non linéaires. Cette approche, de type surface de réponse, comprend deux étapes clés : une projection de la réponse mécanique non linéaire sur une base de polynomes d'Hermite et une approximation de cette réponse par B-splines cubiques interpolantes pour le calcul des coeficients de la projection. Sa pertinence vis-à-vis de l'estimation des moments de la réponse est jugée à travers quatre exemples de complexité variable : un treillis élastoplastique, une sphère élastoplastique sous pression et un cylindre en contact avec un plan, étudiée en phases élastique puis élastoplastique.

Cette thèse se décompose en deux parties indépendantes. Notre objectif dans la première partie est d'étudier le comportement asymptotique des $U$-statistiques, basées sur des noyaux d'ordre 2, échantillonnées par une marche aléatoire. Plus précisément, on se donne $(S_n)_(n \in \N)$ une marche aléatoire sur $\Z^d$, $d \geq 1$ et $(\xi_x)_(x \in \Z^(d))$ une collection de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées, indépendante de $(S_n)_(n \in \N)$. On note $\mu$ la loi de $\xi_0$ et l'on désigne par $h : \R^2\ra \R$, une fonction mesurable, symétrique, telle que $h \in L^2(\mu\otimes\mu)$. On s'intéresse au comportement asymptotique de la suite de processus, $$ \cU_n(t)=\sum_(i,j=0)^([nt])h(\xi_(S_i), \xi_(S_j)), \quad t\in[0,1], \quad n=0,1,\ldots, $$ à valeurs dans $\cD([0,1])$, l'espace des fonctions c.à.l.à.g. définies sur $[0,1]$, muni de la topologie de Skorohod. Cabus et Guillotin ont obtenu la distribution asymptotique de ces objets, dans le cas où la marche aléatoire, $(S_n)_(n \in \N)$, est récurrente sur $\Z^2$, ainsi que dans le cas où elle est transiente sur $\Z^d$, pour $d\geq3$. Elles ont également conjecturé la forme de la distribution limite, dans le cas de la marche aléatoire simple, symétrique, sur $\Z$. Dans le cas où $\Sn$ appartient au domaine d'attraction d'une loi stable d'indice $1<\alpha\leq2$, nous prouvons deux théorèmes limites fonctionnels, décrivant le comportement asymptotique de $\(\cU_n, n=1,2,\ldots\)$. Nous démontrons ainsi, la conjecture de Cabus et Guillotin. Par ailleurs, nous donnons une nouvelle preuve de leurs résultats.\\ Dans une seconde partie, nous étudions le comportement asymptotique du temps d'atteinte de deux versions d'un algorithme d'évolution simplifié, modélisant le repliement d'une protéine : le $(1+1)$-EA sur le problème LeadingOnes. Pour chaque algorithme nous donnons une loi des grands nombres, un théorème central limite et nous comparons la performance des deux modèles.\\

Dans de nombreux problèmes physiques, un modèle incertain peut être traduit par un ensemble d'équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous nous intéressons ici à des problèmes présentant de nombreuses sources d'incertitudes localisées en espace. Dans le cadre des approches fonctionnelles pour la propagation d'incertitudes, ces problèmes présentent deux difficultés majeures. La première est que leurs solutions possèdent un caractère multi-échelle, ce qui nécessite des méthodes de réduction de modèle et des stratégies de calcul adaptées. La deuxième difficulté est associée à la représentation de fonctions de nombreux paramètres pour la prise en compte de nombreuses variabilités. Pour résoudre ces difficultés, nous proposons tout d'abord une méthode de décomposition de domaine multi-échelle qui exploite le caractère localisé des aléas. Un algorithme itératif est proposé, qui requiert une résolution alternée de problèmes globaux et de problèmes locaux, ces derniers étant définis sur des patchs contenant les variabilités localisées. Des méthodes d'approximation de tenseurs sont ensuite utilisées pour la gestion de la grande dimension paramétrique. La séparation multi-échelle améliore le conditionnement des problèmes à résoudre et la convergence des méthodes d'approximation de tenseurs qui est liée aux propriétés spectrales des fonctions à décomposer. Enfin, pour la prise en compte de variabilités géométriques localisées, des méthodes spécifiques basées sur les approches de domaines fictifs sont introduites.

L'objet de cette thèse est l'étude d'algorithmes itératifs permettant de résoudre des problèmes d'optimisation convexe avec ou sans contraintes fonctionnelles, des problèmes de résolutions d'inégalités variationnelles à opérateur monotone et des problèmes de recherche de point selle. Ces problèmes sont envisagés lorsque la dimension de l'espace de recherche est grande et lorsque les valeurs des différentes fonctions étudiées et leur sous/sur-gradients ne sont pas connues exactement et ne sont accessibles qu'au travers d'un oracle stochastique. Les algorithmes que nous étudions sont des adaptations au cas stochastique de deux algorithmes : le premier inspiré de la méthode de descente en miroir de Nemirovski et Yudin et le second, de l'algorithme d'extrapolation duale de Nesterov. Pour chacun de ces deux algorithmes, nous donnons des bornes pour l'espérance et pour les déviations modérées de l'erreur d'approximation sous différentes hypothèses de régularité pour tous les problèmes sans contraintes fonctionnelles envisagées et nous donnons des versions adaptatives de ces algorithmes qui permettent de s'affranchir de connaître certains paramètres de ces problèmes non accessibles en pratique. Enfin nous montrons comment, à l'aide d'un algorithme auxiliaire inspiré de la méthode de Newton et des résultats obtenus lors de la résolution des problèmes de recherche de point selle, il est possible de résoudre des problèmes d'optimisation sous contraintes fonctionnelles.

Thèse de doctorat : Mathématiques appliquées : Aix-Marseille 1 : 2000. / 2000AIX11004. Bibliogr.: p. 151-153.

Cette thèse traite des équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies du second ordre dans une filtration générale . Nous avons traité tout d'abord la réflexion à une barrière inférieure puis nous avons étendu le résultat dans le cas d'une barrière supérieure. Notre contribution consiste à démontrer l'existence et l'unicité de la solution de ces équations dans le cadre d'une filtration générale sous des hypothèses faibles. Nous remplaçons la régularité uniforme par la régularité de type Borel. Le principe de programmation dynamique pour le problème de contrôle stochastique robuste est donc démontré sous les hypothèses faibles c'est à dire sans régularité sur le générateur, la condition terminal et la barrière. Dans le cadre des Équations Différentielles Stochastiques Rétrogrades (EDSRs ) standard, les problèmes de réflexions à barrières inférieures et supérieures sont symétriques. Par contre dans le cadre des EDSRs de second ordre, cette symétrie n'est plus valable à cause des la non linéarité de l'espérance sous laquelle est définie notre problème de contrôle stochastique robuste non dominé. Ensuite nous un schéma d'approximation numérique d'une classe d'EDSR de second ordre réfléchies. En particulier nous montrons la convergence de schéma et nous testons numériquement les résultats obtenus. / This thesis deals with the second-order reflected backward stochastic differential equations (2RBSDEs) in general filtration. In the first part , we consider the reflection with a lower obstacle and then extended the result in the case of an upper obstacle . Our main contribution consists in demonstrating the existence and the uniqueness of the solution of these equations defined in the general filtration under weak assumptions. We replace the uniform regularity by the Borel regularity(through analytic measurability). The dynamic programming principle for the robust stochastic control problem is thus demonstrated under weak assumptions, that is to say without regularity on the generator, the terminal condition and the obstacle. In the standard Backward Stochastic Differential Equations (BSDEs) framework, there is a symmetry between lower and upper obstacles reflection problem. On the contrary, in the context of second order BSDEs, this symmetry is no longer satisfy because of the nonlinearity of the expectation under which our robust stochastic non-dominated stochastic control problem is defined. In the second part , we get a numerical approximation scheme of a class of second-order reflected BSDEs. In particular we show the convergence of our scheme and we test numerically the results.