Une surface K3 est une surface X complexe compacte projective lisse qui a fibré canonique trivial et h0;1(X) = 0. Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes pour ces surfaces. D'abord on considère des surfaces K3 obtenues comme recouvrement double de P2 ramifié le long d'une sextique. On classifie les fibrations elliptiques sur ces surfaces et leur groupe de Mordell-Weil, c'est-à-dire le groupe des sections. Vu que une section de 2-torsion définit une involution de la surface (dite involution de van Geemen-Sarti), alors en classifiant les fibrations et les section de 2-torsion on obtient une classification complète des involutions de van Geemen-Sarti sur ce type de surfaces K3. On montre aussi comment calculer l'équation de la fibration et on étudie le quotient par l'involution de van Geemen-Sarti. Ensuite on montre la construction de Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR): il s'agit d'une construction miroir qui part d'un polynôme dans un espace projectif à poids et d'un groupe d'automorphismes (avec certaines propriétés) et qui donne, en toute dimension, des paires de variétés Calabi-Yau. Ces deux variétés sont l'une miroir de l'autre en sense classique. On classifie toutes les paires de surfaces K3 obtenues avec cette construction qui aient en plus un automorphisme non{symplectique d'ordre premier p > 3. Pour les surfaces K3 une autre notion de symétrie miroir a été introduite par Dolgachev et Nikulin : la symétrie pour K3 polarisées (LPK3). On montre dans la thèse comment polariser les surfaces obtenues avec la construction BHCR et on preuve que deux surfaces miroir au sense BHCR, dûment polarisées, appartiennent à deux familles miroir LPK3. / A K3 surface is a complex compact projective surface X which is smooth and such that its canonical bundle is trivial and h0;1(X) = 0. In this thesis we study two different topics about K3 surfaces. First we consider K3 surfaces obtained as double covering of P2 branched on a sextic curve. For these surfaces we classify elliptic fibrations and their Mordell-Weil group, i.e. the group of sections. A 2-torsion section induces a symplectic involution of the surface, called van Geemen-Sarti involution. The classification of elliptic fibrations and 2-torsion sections allows us to classify all van Geemen-Sarti involutions on the class of K3 surfaces we are considering. Moreover, we give details in order to obtain equations for the elliptic fibrations and their quotient by the van Geemen-Sarti involutions. Then we focus on the mirror construction of Berglund-Hübsch-Chiodo-Ruan (BHCR). This construction starts from a polynomial in a weighted projective space together with a group of diagonal automorphisms (with some properties) and gives a pair of Calabi-Yau varieties which are mirror in the classical sense. The construction works for any dimension. We use this construction to obtain pairs of K3 surfaces which carry a non-symplectic automorphism of prime order p > 3. Dolgachev and Nikulin proposed another notion of mirror symmetry for K3 surfaces: the mirror symmetry for lattice polarized K3 surfaces (LPK3). In this thesis we show how to polarize the K3 surfaces obtained from the BHCR construction and we prove that these surfaces belong to LPK3 mirror families.

Dans cette thèse, nous établissons un résultat de symétrie miroir dans une gamme de cas pour lesquelles les techniques habituelles reposant sur la concavité ou sur la convexité ne fonctionnent pas. Plus précisément, nous travaillons sur la théorie quantique des singularités développée par Fan,Jarvis, Ruan et Witten, et vue comme un analogue de la théorie de Gromov--Witten via la correspondance LG/CY. Notre résultat principal donne une formule explicite pour le cycle virtuel de Polishchuk et Vaintrob en genre zéro. Dans les cas non-concaves des polynômes dits inversibles, elle nous procure un théorème de compatibilité entre le cycle virtuel de Fan--Jarvis--Ruan--Witten et celui de Polishchuk--Vaintrob. Pour les polynômes qui sont de plus de type chaine, nous obtenons une preuve d'un théorème de symétrie miroir pour la théorie FJRW. Enfin, nous généralisons notre résultat principal et calculons le produit d'intersection entre la classe de Chern maximale du fibré de Hodge et le cycle virtuel en genre quelconque. Spécifié au cas de la théorie des courbes $3$-spin, ceci mène à la preuve d'une conjecture de Buryak sur l'équivalence entre la hiérarchie DR et la hiérarchie $3$-KdV. / In this thesis, we provide a mirror symmetry theorem in a range of cases where the state-of-the-art techniques relying on concavity or convexity do not apply. More specifically, we work on a family of FJRW potentials named after Fan, Jarvis, Ruan, and Witten's quantum singularity theory and viewed as the counterpart of a non-convex Gromov--Witten potential via the physical LG/CY correspondence. The main result provides an explicit formula for Polishchuk and Vaintrob's virtual cycle in genus zero. In the non-concave case of the so-called chain invertible polynomials, it yields a compatibility theorem with the FJRW virtual cycle and a proof of mirror symmetry for FJRW theory. At last, we generalize our main theorem to the computation of intersection numbers between the top Chern class of the Hodge bundle and the virtual cycle in arbitrary genus. In the case of $3$-spin theory, it leads to a proof of Buryak's conjecture on the equivalence between double ramification hierarchy and $3$-KdV hierarchy.

Cette thèse porte sur diverses applications de la théorie des cordes topologiques basée sur différents types de variétés de Calabi-Yau (CY). Le premier type considéré est la variété torique CY, qui est intimement liée aux problèmes spectraux des différents opérateurs. L'exemple particulier considéré dans la thèse ressemble beaucoup au modèle de Harper-Hofstadter en physique de la matière condensée. Nous étudions d’abord les secteurs non perturbatifs dans ce modèle et proposons une nouvelle façon de les calculer en utilisant la théorie topologique des cordes. Dans la deuxième partie de la thèse, nous considérons les fonctions de partition sur des variétés de CY elliptiquement fibrées. Celles-ci présentent un comportement modulaire intéressant. Nous montrons que pour les géométries qui ne conduisent pas à des symétries de jauge non abéliennes, les fonctions de partition des cordes topologiques peuvent être reconstruites avec seulement les invariants de Gromov-Witten du genre zéro. Finalement, nous discutons des travaux en cours concernant la relation entre les fonctions de partitionnement des cordes topologiques sur les soi-disant arbres de Higgsing dans la théorie de F. / This thesis focuses on various applications of topological string theory based on different types of Calabi-Yau (CY) manifolds. The first type considered is the toric CY manifold, which is intimately related to spectral problems of difference operators. The particular example considered in the thesis closely resembles the Harper-Hofstadter model in condensed matter physics. We first study the non-perturbative sectors in this model, and then propose a new way to compute them using topological string theory. In the second part of the thesis, we consider partition functions on elliptically fibered CY manifolds. These exhibit interesting modular behavior. We show that for geometries which don't lead to non-abelian gauge symmetries, the topological string partition functions can be reconstructed based solely on genus zero Gromov-Witten invariants. Finally, we discuss ongoing work regarding the relation of the topological string partition functions on the so-called Higgsing trees in F-theory.

Cette thèse s'attache à comprendre le rôle du champ de fond antisymétrique B en théorie des cordes. Nouveauté essentielle et prometteuse par rapport à la théorie des champs, puisqu'il accompagne naturellement la courbure de l'espace-temps g, son importance a été soulignée ces dernières années dans différents domaines, auxquels j'ai tenté de contribuer. Le premier chapitre étudie la transformation de Seiberg-Witten, qui relie des branes ordinaires plongées dans un champ B à des branes non-commutatives. A la recherche d'une expression explicite sur le secteur de jauge, il tente d'en éclaircir la signification. Le chapitre 2 s'attaque à la dynamique non abélienne des branes M5 en M-théorie. Par différentes approches, supersymétrique ou plus géométrique, je tente d'y proposer un contenu en champs pour un paquet de N M5-branes, expliquant leur anomalie en N^3. Ces champs formeraient alors une version non-abélienne des théories de jauge à connexion tensorielle. Enfin, la présence d'un champ B autorise des variétés de compactification plus générales que les espaces de Calabi-Yau, dites variétés à structure SU(3). La symétrie-miroir peut être étendue dans ce cadre, en la décrivant comme une T-dualité le long d'une fibration toroïdale. Sa description géométrique met alors en jeu les composantes de la torsion intrinsèque, qui sont mélangées à celles de la courbure H=dB, ainsi que je le détaille dans le chapitre 3.

Ce travail peut être divisé en trois partie: 1. Théorie des groupes. Il s'agit ici d'une étude de la structure du groupe T de Thompson. On explique la notion de la mutation linéaire par morceaux et on obtient la nouvelle présentation de ce groupe en termes des génerateurs et relations. 2. Géometrie birationnelle. On étudie en détail le groupe de Cremona qui est un groupe des automorphismes birationnels du plan projectif. En particulier on s'interesse à son sous-groupe Symp des elements qui préserve le crochet de Poisson dit logarithmique, aussi bien qu'à un sous-groupe H engendré par SL(2,Z) et par les mutations. On construit des limites projectives des surfaces sur lesquelles ces groupes agissent régulièrement, et on en déduit les répresentations linéaires de ces groupes dans les limites inductives des groupes de Picard des surfaces. 3. Algèbre homologique. A partir d'une variété algébrique on construit une catégorie triangulée qui ne dépend que de sa classe birationnelle. En utilisant la technique de quotient de dg-catégories, on calcule explicitement cette catégorie pour les surfaces rationnelles. Comme consequence on obtient l'action du groupe de Cremona sur une algébre non-commutative par les automorphismes extérieures. On donne les applications de ces résultats aux formules des mutations des variables non-commutatives.