USFKAD is an encoded expert system for the eigenfunction expansion of solutions to the wave, diffusion, and Laplace equations: both homogeneous and nonhomogenous; one, two, or three dimensions; Cartesian, cylindrical, or spherical coordinates; Dirichlet, Neumann, Robin, or singular boundary conditions; in time, frequency, or Laplace domain. The user follows a menu to enter his/her choices and the output is a LaTeX file containing the formula for the solution together with the transcendental equation for the eigenvalues (if necessary) and the projection formulas for the coefficients. The file is suitable for insertion into a book or journal article, and as a teaching aid. Virtually all cases are covered, including the Mellin, spherical harmonic, Bessel, modified Bessel, spherical Bessel, Dini, Hankel, Weber, MacDonald, and Kantorovich-Lebedev expansions, mixed spectrum, and rigid body modes.

Egzistuoja du matematinių problemų sprendimo būdai: skaitmeninis ir simbolinis. Simbolinis sprendimo būdas manipuliuoja simboliniais objektais, tokiais kaip loginės ar algebrinės formulės, taisyklės ar programos. Priešingai nei skaitmeninis būdas, pagrindinis simbolinių skaičiavimų tikslas yra matematinės išraiškos supaprastinimas. Dažniausiai galutinis atsakymas būna racionalusis skaičius arba formulė, todėl simboliniai skaičiavimai gali būti naudojami: • surasti tikslų matematinės problemos sprendimą, • supaprastinti matematinį modelį. Nedidelės apimties matematinėms išraiškoms supaprastinti užtenka ir vieno kompiuterio, tačiau yra tokių išraiškų, kurioms supaprastinti nebeužtenka vieno kompiuterio atminties ar procesoriaus, todėl geriausias sprendimas šioje situacijoje yra lygiagretieji skaičiavimai kompiuterių klasteryje. Pagrindinė problema lygiagrečiuose skaičiavimuose yra duomenų paskirstymo algoritmo efektyvumas. Šiame darbe yra pateikti vieno iš paskirstymo algoritmų ir kelių jo modifikacijų eksperimentiniai tyrimai. / There are two methods of mathematical problems solving: the digital, and symbolic. Symbolic solutions manipulate symbolic objects, such as logical or algebraic formulas, rules or programs. In contrast to the digital solution, the main purpose of the symbolic calculations is the symbolic simplification of mathematical expressions. In most cases, the final answer is rational number, or formula, and therefore symbolic calculations can be used: (1) • to identify the precise solution of the mathematical problem, • to simplify the mathematical model. For calculation of small mathematical expression it is enough one computer. But there are expressions which need more then one computer memory capacity or processing power. In these cases best solution is parallel calculations in computer cluster. The main problem of parallel calculations is the efficiency of distribution algorithm. This work presents experimental studies of one distribution algorithm and of several it‘s modifications.

Mathematical optimization has many applications in operations research, image processing, and machine learning, demanding not only computational efficiency but also convenience and correctness in constructing complex models. In this work, we introduce HashedExpression, an open-source algebraic modeling lan- guage (AML) that allows users to express unconstrained, box-constrained, and scalar-expressions-constrained optimization problems, aimed at embeddability, type-safety, and high-performance through symbolic transformation and code generation. Written in Haskell, a statically-typed, purely functional program- ming language, HashedExpression places a great emphasis on modeling correct- ness by providing users with a type-safe, correct-by-construction interface that uses Haskell type-level programming to express constraints on correctness which the compiler uses to flag many modelling errors as type errors (at compile time). We show how type-safety can be added in steps, first matching expressions’ shape and then associated physical units. The library implements symbolic ex- pressions with a hashed indexing scheme to implement common subexpression elimination (CSE). It abstracts away details of the underlying lookup table via monadic type class instances. We explain how using symbolic expressions with CSE enables performance-enhance transformations and automatic computation of derivatives without the issue of “expression swelling”. For high-performance purposes, we generate low-level C/C++ code for symbolic expressions and pro- vide bindings to open-source optimization solvers such as Ipopt or L-BFGS-B. We explain how this architecture lays the groundwork for future work on par- allelization including SIMDization and targetting multi-core CPUs and GPUs, and other hardware acceleration. / Thesis / Master of Science (MSc)

Un très grand nombre de problèmes combinatoires appartient à la famille des problèmes de satisfaction de contraintes (Constraint Satisfaction Problem ou CSP) : configuration, ordonnancement, affectation de ressources... Ces problèmes partagent une description commune qui autorise en général une modélisation claire et intuitive. Dans cette thèse, nous avons proposé et étudié une nouvelle méthode de résolution hybride pour les CSPs. Nous avons nommé cette méthode Tabu-NG pour Tabu Search based on NoGood. Le nom est un peu réducteur car il s'agit d'une hybridation d'algorithme de filtrage, de propagation de contraintes, de Recherche Tabou et de gestion de nogoods. La méthode a été appliquée sur deux types de problèmes. Le premier est l'affectation des fréquences (FAP) dans les réseaux de radiocommunications militaires, en particulier les problèmes proposés de 1993 (instances du projet européen CALMA) jusqu'à 2010 (instances d'un projet DGA). Le deuxième est le problème académique de k-coloration de graphes sur les instances DIMACS. La méthode a amélioré quelques meilleurs scores connus actuellement. Dans les deux problèmes nous avons traité des contraintes unaires et binaires, ainsi que des contraintes n-aires et de l'optimisation de fonction sous contraintes pour le FAP. Les principes de Tabu-NG sont généraux et elle peut s'appliquer sur d'autres CSP. Elle peut par ailleurs accueillir des heuristiques spécifiques aux problèmes, nous l'avons pratiqué sur les problèmes cités, et en ce sens nous pensons pouvoir qualifier la méthode de métaheuristique sans abuser de cette définition.

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