L'objet de cette thèse est d'étudier les systèmes linéaires sur le champ algébrique des fibrés quasi-paraboliques sur une courbe algébrique. Dans la première partie nous montrons que la puissance $\ell$-ième du fibré déterminant sur l'espace de modules des fibrés paraboliques semi-stables (au sens de Seshadri) est un système linéaire sans points de base, dès que $\ell$ est supérieur ou égal à un entier $\ell_0$, que nous déterminons et qui ne dépend que du rang des fibrés vectoriels sous-jacents. Ce résultat repose sur l'existence d'un analogue (quasi-)parabolique du schéma des quotients de Grothendieck. Dans la seconde partie nous étudions le lieu de base des systèmes linéaires sur le champ algébrique des fibrés quasi-paraboliques. Le théorème obtenu dans la première partie sur le fibré déterminant parabolique nous permet d'identifier ce lieu de base et le sous-champ fermé des fibrés quasi-paraboliques instables, pour un choix de poids déterminé par le système linéaire.

Les nouvelles architectures de calcul intensif intègrent de plus en plus de microprocesseurs qui eux-mêmes intègrent un nombre croissant de cœurs de calcul. Cette multiplication des unités de calcul dans les architectures ont fait apparaître des topologies fortement hiérarchiques. Ces architectures sont dites NUMA. Les algorithmes de simulation numérique et les solveurs de systèmes linéaires qui en sont une brique de base doivent s'adapter à ces nouvelles architectures dont les accès mémoire sont dissymétriques. Nous proposons dans cette thèse d'introduire un ordonnancement dynamique adapté aux architectures NUMA dans le solveur PaStiX. Les structures de données du solveur, ainsi que les schémas de communication ont dû être modifiés pour répondre aux besoins de ces architectures et de l'ordonnancement dynamique. Nous nous sommes également intéressés à l'adaptation dynamique du grain de calcul pour exploiter au mieux les architectures multi-cœurs et la mémoire partagée. Ces développements sont ensuite validés sur un ensemble de cas tests sur différentes architectures.

La résolution de systèmes linéaires creux est critique dans de nombreux domaines de la simulation numérique. Beaucoup d'applications, notamment industrielles, utilisent des méthodes directes en raison de leur précision et de leur robustesse. La qualité du résultat, les fonctionnalités numériques, ainsi que le temps de calcul sont critiques pour les applications. Par ailleurs, les ressources matérielles (nombre de processeurs, mémoire) doivent être utilisées de manière optimale. Dans cette habilitation, nous décrivons des travaux poursuivant ces objectifs dans le cadre de la plate-forme logicielle MUMPS, développée à Toulouse, Lyon-Grenoble et Bordeaux depuis une quinzaine d'années. Le cœur de l'approche repose sur une parallélisation originale de la méthode multifrontale : une gestion asynchrone du parallélisme, associée à des ordonnanceurs distribués, permet de traiter des structures de données dynamiques et autorise ainsi le pivotage numérique. Nous nous intéressons à l'ordonnancement des tâches, à l'optimisation de la mémoire et à différentes fonctionnalités numériques. Les travaux en cours et les objectifs futurs visent à résoudre efficacement des problèmes de plus en plus gros, sans perte sur les aspects numériques, et tout en adaptant nos approches aux évolutions rapides des calculateurs. Dans ce contexte, les aspects génie logiciel et transfert deviennent critiques afin de maintenir sur le long terme une plate-forme logicielle comme MUMPS. Cette plate-forme est à la fois nécessaire à nos travaux de recherche et utilisée en production ; elle maximise ainsi les retours applicatifs qui valident nos travaux et permettent d'orienter nos recherches futures.

En dépit des coûts de société élevés attribuables aux lésions des tissus conjonctifs, plusieurs de leurs causes demeurent incertaines. Notamment, les grands taux de déformations que subissent ces tissus lors d’accidents, de sports ou de chutes pourraient expliquer certaines lésions. L’hypoThèse à l’origine du projet est que de grands taux de déformation pourraient induire un changement de raideur aux tissus conjonctifs, favorisant ainsi une lésion du tissu en extension. Ce projet de maîtrise avait pour objectif de développer les outils nécessaires pour effectuer les premières validations expérimentales de cette hypoThèse. Le modèle animal choisi pour les tests est le ligament capsulaire d’oursin de mer. Une base de connaissances concernant les oursins de mer a donc d'abord été construite pour mieux planifier les essais expérimentaux. Ensuite, comme la raideur du ligament capsulaire risque de changer au cours d’un même essai, un protocole d’identification à paramètres variable a été développé. Ce protocole utilise la base polynomiale de Tchebychev pour paramétrer le système à paramètres variables. L’identification peut ensuite se faire sur un nombre restreint de paramètres à partir desquels il est possible de reconstruire, par exemple, la raideur en fonction du temps. Le protocole d’identification a été validé avec des simulations numériques et avec un montage expérimental d’un système à raideur variable. Le montage consistait en une barre de section triangulaire équilatérale en torsion dont un des points d'appui était déplacé en fonction du temps. Enfin, un manipulateur a été conçu, fabriqué et validé pour imposer de grands taux de déformations au ligament capsulaire. Plusieurs outils ont donc été développés au cours de ce projet pour servir lors des tests sur les oursins de mer. Les prochaines actions à entreprendre sont la validation du montage avec les oursins de mer et la planification des essais expérimentaux.

Cette thèse s'inscrit dans le thème des travaux relatifs aux techniques linéaires pour la maîtrise des systèmes non linéaires. Il s'agit d'une approche qui consiste à approximer le système non linéaire par un ensemble de systèmes linéaires incertains pour lesquels sont déterminées des commandes via les méthodes classiques des systèmes linéaires (LQ, LQG, placement de pôles, H2, H¥, etc). La commande globale consiste en un séquencement des gains locaux en fonction de l'état mesuré sur le système. Nombre d'approches multi-modèles qui vont dans cette direction comportent un degré d'imprécision, d'approximation assez élevé. Pour ce type d'approche, l'évaluation des performances et leur validation ne peut passer que par des simulations, un moyen, qui pour être à peu près convaincant, se doit d'être très lourd. L'approche développée ici a pour ambition de proposer une synthèse pas à pas de commande qui permette d'assurer un certain niveau de performances garanties. Le premier pas dans cette direction est fourni par la technique qui permet d'approximer le système non linéaire par un ensemble de systèmes linéaires (système linéaire par morceaux) avec un niveau de précision prédéfini et paramétré. Le deuxième pas est l'utilisation de méthodes de commande robustes à base de LMIs, qui vont permettre d'assurer la stabilité locale dans un domaine non infinitésimal de l'espace d'état. L'approche permet de maîtriser la complexité de la commande globale et des techniques de séquencement en permettant l'obtention d'une cardinalité raisonnable pour l'ensemble des systèmes linéaires approximants. Cette approche est illustrée sur des applications réalistes: un pendule inversé simple, un moteur et un panneau solaire.

Les équations de Navier-Stokes linéarisées sont utilisées dans l’industrie aéronautique pour l’optimisation de forme aérodynamique, l’aéroélasticité et l’aéroacoustique. Deux axes ont été suivis pour accélérer et rendre plus robuste la résolution de ces équations. Le premier est l’amélioration de la méthode itérative de résolution de systèmes linéaires utilisée, et le deuxième la formulation du schéma numérique conduisant à ce système linéaire. Dans cette première partie, l’extension de l’algorithme GMRES avec déflation spectrale à des systèmes à plusieurs seconds membres a été testée sur des cas tests industriels. L’amélioration du préconditionnement de la méthode GMRES par l’utilisation d'une méthode de Schwarz additive avec préconditionneur ILU(k) a permis une accélération du temps de résolution allant jusqu’à un facteur dix, ainsi que la convergence de cas jusqu’alors impossibles à résoudre. La deuxième partie présente d’abord un travail sur la stabilisation SUPG du schéma élément fini utilisé. La forme proposée de la matrice de stabilisation, dite complète, a donné des résultats encourageants en non-linéaire qui ne se sont pas transposés en linéarisé. Une étude sur les conditions aux limites de Dirichlet clôt cette partie. Une méthode algébrique d’imposition de conditions non homogènes sur des variables non triviales du calcul, qui a permis l’application industrielle à l’aéroacoustique, y est détaillée. De plus, la preuve est apportée que le caractère transparent d’une condition de Dirichlet homogène sur toutes les variables s’explique par le schéma SUPG. / The linearized Navier-Stokes equations are solved at Dassault Aviation within numerical simulations for aerodynamic shape optimisation, flutter calculations and aeroacoustics. In order to improve the robustness and efficiency of the Navier-Stokes solver, this thesis followed two complementary paths. The first is work on the iterative methods used to solve linear systems, and the second is the improvement of the numerical scheme underlying these linear systems. In the first part, the extension to multiple right-hand sides of the GMRES algorithm with spectral deflation was tested on industrial test cases. The use of the ILU(k) preconditioner within an additive Schwarz method led to a reduction of the time needed to solve the systems with GMRES by a factor ten. It also enabled the convergence of some numerically very difficult cases which could not be solved by the software available before this thesis. The second part of the manuscript begins with work on the SUPG method used to stabilise the finite element scheme. A new way of computing the stabilisation matrix gave promising results on non-linear cases, which were however not observed for linear cases. A study on Dirichlet boundary conditions concludes this part. An algebraic method to impose non homogeneous Dirichlet boundary conditions on non-trivial variables is introduced. It enables the use, in an industrial context, of linearized Navier-Stokes for aeroacoustics. Moreover, the transparent behaviour of a homogeneous Dirichlet boundary conditions on all variables is proved to be due to the SUPG stabilisation.

Les problèmes de planification dans les entreprises du secteur manufacturier sont très complexes. Pour prendre de bonnes décisions, le décideur doit utiliser des systèmes d’aides à la décision exploitant des modèles d’optimisation mathématiques. Malheureusement, les systèmes d’aide à la décision conventionnels sont souvent inadaptés et incompatibles avec les besoins des décideurs. Dans le cadre de ce mémoire, nous proposons un système interactif qui permet au décideur d’adapter les solutions proposées en fonction de ses préférences. Nous exploitons une approche interactive inspirée des systèmes multi-agents (l'un des agents est humain et l'autre est l'ordinateur). Dans la littérature, ces systèmes sont appelés systèmes à initiative partagée (en anglais : mixed-initiative system, ou MIS). Nous analysons et proposons différentes approches qui permettent au décideur d'interagir avec le modèle mathématique et de choisir sa solution. Pour tester et évaluer la faisabilité de ces méthodes, nous avons utilisé un cas industriel réel. Il s’agit d’un problème de planification collaborative des ventes, de la production et de la distribution dans l’industrie des produits forestiers.

La théorie des systèmes dynamiques étudie les phénomènes qui évoluent au cours du temps. Plus précisément, un système dynamique est donné par : un espace de phase dont les points correspondent à des états possibles du système étudié et une loi d'évolution décrivant l'infinitésimal (pour le cas continu) pas à pas (pour le cas discret) les changements des états du système. Le but de la théorie est de comprendre l'évolution dans le long terme. Dans ce travail, nous présentons une nouvelle méthode pour la résolution des systèmes linéaires avec preuve assistée par ordinateur dans le cadre de modèles linéaires réalistes. Après une introduction de quelques propriétés de la théorie des équations différentielles ordinaires, on introduit une méthode de calcul rigoureux pour trouver la solution périodique de la conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii. On reformule le problème comme un problème à valeur initiale, puis on calcule la solution périodique dans le domaine positif et on déduit l'autre solution par symétrie. Notre résultat énonce une partie de la conjecture 3:2 dans le livre de Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii : Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Mots clés. Conjecture de Galaktionov-Svirshchevskii, Analyse d'intervalle, Théorème de contraction de Banach, Polynômes de rayons. / The theory of dynamical systems studies phenomena which are evolving in time. More precisely, a dynamical system is given by the following data: a phase space whose points correspond to the possible states of the system under consideration and an evolution law describing the infinitesimal (for continuous time) or one-step (for discrete time) change in the state of the system. The goal of the theory is to understand the long term evolution of the system. In this work, we introduce a new method for solving piecewise linear systems with computer assisted proofs in the context of realistic linear models. After introducing some properties of the theory of ordinary differential equations, we provide a rigorous computational method for finding the periodic solution of Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture. We reformulate the problem as an initial value problem, compute periodic solution in the positive domain and deduce the other solution by symmetry. Our result settles one part of the Conjecture 3:2 by Victor A. Galaktionov & Sergey R. Svirshchevskii: Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics, [Chapman & Hall/CRC, applied mathematics and nonlinear science series, (2007)]. Key words. Galaktionov-Svirshchevskii's conjecture, Interval analysis, Contraction mapping theorem, Radii polynomials.

Les travaux présentés dans cette thèse concernent la modélisation, la commande et l'estimation de suspensions automobiles semi-actives, dans un contexte industriel. La contribution principale concerne le développement d'une méthodologie de synthèse d'observateurs et de contrôleurs adaptés aux suspensions semi-actives. Fondée sur un observateur, un contrôleur principal et quatre contrôleurs locaux, la stratégie de commande permet d'améliorer le confort et la tenue de route du véhicule. La méthode de synthèse Hinfinity appliquée aux systèmes Linéaires à Paramètres Variants (LPV) est utilisée pour la commande des amortisseurs, permettant ainsi de prendre en compte leurs non linéarités dans la synthèse. Différents résultats de simulation et expérimentaux sont présentés pour valider l'observateur et les lois de commande.

Ce travail de thèse porte, en premier lieu et principalement, sur le diagnostic à base de modèle d’une classe de SLC (Systèmes Linéaires à Commutations). Une problématique récurrente dans ce type de problème concerne la prise en considération de façon explicite les deux aspects, continu et discret, constituant un SLC. Dans ce cadre, nous avons proposé une méthodologie de détection et de localisation de défauts qui combine les outils initialement dédiés au diagnostic des systèmes continus et d’autres spécifiques aux SED (Systèmes à Evénement Discrets). L’approche proposée est conçue autour de trois modules : deux types de générateurs de résidus (issus de l’Automatique continue) et un estimateur en-ligne de l’état discret, appelé diagnostiqueur (issu de l’Automatique événementielle). Notre diagnostiqueur utilise les deux types de résidus, provenant de la partie continue, afin d’identifier le mode de fonctionnement du SLC et d’isoler les défauts de capteurs. Les résidus utilisés pour la localisation des défauts de capteurs sont générés à travers un générateur développé autour d’un schéma DOS (Dedicated Observer Scheme) à base d’observateurs hybrides,à la fois robustes vis-à-vis des entrées inconnues et sensibles aux défauts de capteurs. En second lieu, sur la base des résultats obtenus à l’aide de l’approche de diagnostic développée, nous avons proposé une approche préliminaire de synthèse de lois de commande tolérantes aux défauts de capteurs stabilisante via un retour d’état. Cette approche permet de préserver les performances nominales du système (situation non défaillante)en présence d’un défaut de capteurs. L’idée consiste à reconfigurer le retour d’état en remplaçant le vecteur d’état estimé à partir d’une sortie en défaut par un autre estimé à partir d’une sortie saine. La redondance des estimations est assurée dans cette approche par un banc d’observateurs hybrides robustes qui fournit plusieurs estimations correctes des vecteurs d’état et de sorties. / This thesis focuses, in first and foremost, on the model-based diagnosis of a class of SLC (Switched Linear Systems). The basic idea is to consider the continuous and discrete aspects, forming an SLC, explicitly.In this context, we proposed a methodology for detecting and locating faults that combines the tools originally dedicated to the continuous systems and the DES (discrete event systems) diagnosis. The proposed approach is designed around three modules: two types of residual generators (from the continuous Automatic) and anon-line estimator of the discrete state, called diagnoser (from the event Automatic). Our diagnoser uses the residual generators issue from the continuous part to identify the SLC mode and isolate sensor faults.Residues used for fault location sensors are generated through a generator developed around a scheme DOS(Dedicated Observer Scheme) based on hybrid observers. These observers are robust vis-à-vis the unknown input and sensitive to sensor faults. Secondly, based on the obtained results using the previous diagnosis approach, we proposed a preliminary approach for fault-tolerant state-feedback control law synthesis. This approach preserves the nominal performance of the system (as non-defaulting) in the presence of defective sensors. The idea is to reconfigure the state feedback by replacing the state vector estimated from defected output by another estimated from non-defected one. Redundancy estimates is provided in this approach by a bank of robust hybrid observer that provides several accurate estimates of state vectors and outputs.