Le célèbre théorème de Birkhoff affirme que l'espace Dₙ des matrices doublement stochastiques d'ordre n est un polytope convexe dont les matrices de permutation constituent les points extrémaux. De cette structure particulière émerge une structure géométrique intéressante que nous explorons en détail dans ce mémoire. Plus précisément, nous explorons quelques propriétés géométriques de Dₙ, vu comme un espace métrique muni de deux différents types de normes, à savoir les p-normes de Schatten et les normes d'opérateurs induites par les normes vectorielles ℓᵖ. En particulier, nous étudions la norme des matrices doublement stochastiques ainsi que le rayon de Tchebychev, les centres de Tchebychev et le diamètre de Dₙ. Ce faisant, de nouvelles connexions avec le célèbre problème d'affectation sont établies. Nous utilisons également les propriétés géométriques de Dₙ établies dans ce mémoire pour améliorer un résultat de Štefan Schwarz sur la convergence de produits infinis de matrices doublement stochastiques. / The celebrated Birkhoff theorem states that the space of n × n doubly stochastic matrices Dₙ is a convex polytope whose extreme points are the permutation matrices. From this particular structure emerges an interesting geometric structure that we explore in detail in this dissertation. Specifically, we explore some geometric properties of Dₙ, seen as a metric space equipped with two different type of norms, which are the Schatten p-norms and the operator norms induced by the ℓᵖ vector norms. In particular, we study the norm of the doubly stochastic matrices along with the Chebyshev radius, the Chebyshev centers and the diameter of Dₙ. In doing so, new connections with the well-known assignment problem are made. We also use the geometric properties of Dₙ established in this dissertation to improve a result of Štefan Schwarz about the convergence of infinite product of doubly stochastic matrices.

Le célèbre théorème de Birkhoff affirme que l'espace Dₙ des matrices doublement stochastiques d'ordre n est un polytope convexe dont les matrices de permutation constituent les points extrémaux. De cette structure particulière émerge une structure géométrique intéressante que nous explorons en détail dans ce mémoire. Plus précisément, nous explorons quelques propriétés géométriques de Dₙ, vu comme un espace métrique muni de deux différents types de normes, à savoir les p-normes de Schatten et les normes d'opérateurs induites par les normes vectorielles ℓᵖ. En particulier, nous étudions la norme des matrices doublement stochastiques ainsi que le rayon de Tchebychev, les centres de Tchebychev et le diamètre de Dₙ. Ce faisant, de nouvelles connexions avec le célèbre problème d'affectation sont établies. Nous utilisons également les propriétés géométriques de Dₙ établies dans ce mémoire pour améliorer un résultat de Štefan Schwarz sur la convergence de produits infinis de matrices doublement stochastiques. / The celebrated Birkhoff theorem states that the space of n × n doubly stochastic matrices Dₙ is a convex polytope whose extreme points are the permutation matrices. From this particular structure emerges an interesting geometric structure that we explore in detail in this dissertation. Specifically, we explore some geometric properties of Dₙ, seen as a metric space equipped with two different type of norms, which are the Schatten p-norms and the operator norms induced by the ℓᵖ vector norms. In particular, we study the norm of the doubly stochastic matrices along with the Chebyshev radius, the Chebyshev centers and the diameter of Dₙ. In doing so, new connections with the well-known assignment problem are made. We also use the geometric properties of Dₙ established in this dissertation to improve a result of Štefan Schwarz about the convergence of infinite product of doubly stochastic matrices.

Les mathématiques offrent un cadre convenable pour raisonner rigoureusement sur les systèmes et phénomènes réels. Par exemple, en génie logiciel, les méthodes formelles sont parmi les outils les plus efficaces pour détecter les anomalies dans les logiciels. Plusieurs systèmes réels sont stochastiques par nature dans le sens où leur comportement est sujet à un aspect d'incertitude. La représentation de ce genre de systèmes requiert des modèles stochastiques comme les processus de Markov étiquetés (LMP), les processus de Markov décisionnels (MDP), etc. Cette thèse porte sur la quantification de la différence entre les systèmes stochastiques. Les contributions majeures sont : 1. une nouvelle approche pour quantifier la divergence entre les systèmes stochastiques basée sur l'apprentissage par renforcement, 2. une nouvelle famille de notions d'équivalence qui se situe entre l'équivalence par trace et la bisimulation, et 3. un cadre plus flexible pour la définition des notions d'équivalence qui se base sur les tests. Le résultat principal de la thèse est que l'apprentissage par renforcement, qui est une branche de l'intelligence artificielle particulièrement efficace en présence d'incertitude, peut être utilisé pour quantifier efficacement cette divergence. L'idée clé est de définir un MDP à partir des systèmes à comparer de telle sorte que la valeur optimale de cet MDP corresponde à la divergence entre eux. La caractéristique la plus attrayante de l'approche proposée est qu'elle est complètement indépendante des structures internes des systèmes à comparer. Pour cette raison, l'approche peut être appliquée à différents types de systèmes stochastiques. La deuxième contribution est une nouvelle famille de notions d'équivalence, que nous appelons moment, qui est plus forte que l'équivalence par trace mais plus faible que la bisimulation. Cette famille se définit naturellement à travers la coïncidence de moments de variable aléatoires (d'où son nom) et possède une caractérisation simple en terme de tests. Nous montrons que moment fait partie d'un cadre plus grand, appelé test-observation-equivalence (TOE), qui constitue la troisième contribution de cette thèse. Il s'agit d'un cadre plus flexible pour la définition des notions d'équivalence basé sur les tests. / Modelling real-life systems and phenomena using mathematical based formalisms is ubiquitous in science and engineering. The reason is that mathematics offer a suitable framework to carry out formal and rigorous analysis of these systems. For instance, in software engineering, formal methods are among the most efficient tools to identify flaws in software. The behavior of many real-life systems is inherently stochastic which requires stochastic models such as labelled Markov processes (LMPs), Markov decision processes (MDPs), predictive state representations (PSRs), etc. This thesis is about quantifying the difference between stochastic systems. The main contributions are: 1. a new approach to quantify the divergence between pairs of stochastic systems based on reinforcement learning, 2. a new family of equivalence notions which lies between trace equivalence and bisimulation, and 3. a refined testing framework to define equivalence notions. The important point of the thesis is that reinforcement learning (RL), a branch of artificial intelligence particularly efficient in presence of uncertainty, can be used to quantify efficiently the divergence between stochastic systems. The key idea is to define an MDP out of the systems to be compared and then to interpret the optimal value of the MDP as the divergence between them. The most appealing feature of the proposed approach is that it does not rely on the knowledge of the internal structure of the systems. Only a possibility of interacting with them is required. Because of this, the approach can be extended to different types of stochastic systems. The second contribution is a new family of equivalence notions, moment, that constitute a good compromise between trace equivalence (too weak) and bisimulation (too strong). This family has a natural definition using coincidence of moments of random variables but more importantly, it has a simple testing characterization. moment turns out to be part of a bigger framework called test-observation-equivalence (TOE), which we propose as a third contribution of this thesis. It is a refined testing framework to define equivalence notions with more flexibility.

Ce mémoire aborde la synthèse de filtres H-infine d'ordre plein et d'ordre réduit pour les systèmes stochastiques à temps continu avec bruits multiplicatifs. Les bruits considérés dans l'équation d'état et dans l'équation de mesures sont des processus de Wiener.<br /><br />Les systèmes stochastiques étudiés dans ce mémoire sont écrits sous la forme d'une équation différentielle stochastique au sens d'Itô dans lesquels la dérive et la diffusion sont linéaires ou bilinéaires. Les systèmes avec plusieurs bruits multiplicatifs et les systèmes dont les mesures sont affectées par des bruits multiplicatifs sont également traités dans ce mémoire. La conception d'une commande H-infine basée sur un observateur d'ordre réduit pour les systèmes stochastiques incertains est étudiée.<br /><br />Le critère de performance considéré est le critère H-infine du signal de perturbation vers le signal d'erreur d'estimation. La stabilité retenue pour ces systèmes stochastiques dans ce travail est la stabilité exponentielle en moyenne quadratique.<br /><br />La méthode utilisée pour trouver les matrices des filtres est basée sur l'utilisation de la théorie de Lyapunov pour les équations différentielles stochastiques, la formule d'Itô et sur la résolution des Inégalités Matricielles Affines couplées à des contraintes bilinéaires qui assurent la stabilité et la performance.

Dans cette thèse nous tentons de donner un sens mathématique à la proposition : le néocortex se construit un modèle de son environnement. Nous considérons que le néocortex est un réseau de neurones spikants dont la connectivité est soumise à une lente évolution appelée apprentissage. Dans le cas où le nombre de neurones est proche de l'infini, nous proposons une nouvelle méthode de champ-moyen afin de trouver une équation décrivant l'évolution du taux de décharge de populations de neurones. Nous étudions donc la dynamique de ce système moyennisé avec apprentissage. Dans le régime où l'apprentissage est beaucoup plus lent que l'activité du réseau nous pouvons utiliser des outils de moyennisation temporelle pour les systèmes lents/rapides. Dans ce cadre mathématique nous montrons que la connectivité du réseau converge toujours vers une unique valeur d'équilibre que nous pouvons calculer explicitement. Cette connectivité regroupe l'ensemble des connaissances du réseau à propos de son environnement. Nous comparons cette connectivité à l'équilibre avec les stimuli du réseau. Considérant que l'environnement est solution d'un système dynamique quelconque, il est possible de montrer que le réseau encode la totalité de l'information nécessaire à la définition de ce système dynamique. En effet nous montrons que la partie symétrique de la connectivité correspond à la variété sur laquelle est définie le système dynamique de l'environnement, alors que la partie anti-symétrique de la connectivité correspond au champ de vecteur définissant le système dynamique de l'environnement. Dans ce contexte il devient clair que le réseau agit comme un prédicteur de son environnement.

Les systèmes hybrides sont des systèmes dynamiques, caractérisés par un comportementdual, une interaction entre une partie discrète et une partie continue de fonctionnement.Dans le centre de notre travail se trouve une classe particulière de systèmeshybrides, plus spécifiquement les systèmes stochastiques à commutation que nous modélisonsà l'aide des Chaînes de Markov en temps continu et des équations différentielles.Le comportement aléatoire de ce type de système nécessite une commande spécialequi s'adapte aux événements arbitraires qui peuvent changer complètement l'évolutiondu système. Nous avons choisi une politique de contrôle basée sur les événements quiest déclenchée seulement quand il est nécessaire (sur un événement incontrôlable - parexemple un seuil qui est atteint), et jusqu'à ce que certaines conditions de fonctionnementsont remplies (le système revient dans l'état normal).Notre approche vise le développement d'un modèle probabiliste qui permet de calculerun critère de performance (en occurrence l'énergie du système) pour la politiquede contrôle choisie. Nous proposons d'abord une méthode de simulation à événementsdiscrets pour le système stochastique à commutation commandé, qui nous donne la possibilitéde réaliser une optimisation directe de la commande appliquée sur le système etaussi de valider les modèles analytiques que nous avons construit pour l'application ducontrôle.Un modèle analytique pour déterminer l'énergie consommée par le système a étéconçu en utilisant les probabilités de sortie de la région de contrôle, respectivement lestemps de séjour dans la chaîne de Markov avant et après avoir atteint les limites decontrôle. La dernière partie du travail présente la comparaison des résultats obtenusentre la méthode analytique et la simulation.

Les systèmes hybrides sont des systèmes dynamiques, caractérisés par un comportementdual, une interaction entre une partie discrète et une partie continue de fonctionnement.Dans le centre de notre travail se trouve une classe particulière de systèmeshybrides, plus spécifiquement les systèmes stochastiques à commutation que nous modélisonsà l’aide des Chaînes de Markov en temps continu et des équations différentielles.Le comportement aléatoire de ce type de système nécessite une commande spécialequi s’adapte aux événements arbitraires qui peuvent changer complètement l’évolutiondu système. Nous avons choisi une politique de contrôle basée sur les événements quiest déclenchée seulement quand il est nécessaire (sur un événement incontrôlable - parexemple un seuil qui est atteint), et jusqu’à ce que certaines conditions de fonctionnementsont remplies (le système revient dans l’état normal).Notre approche vise le développement d’un modèle probabiliste qui permet de calculerun critère de performance (en occurrence l’énergie du système) pour la politiquede contrôle choisie. Nous proposons d’abord une méthode de simulation à événementsdiscrets pour le système stochastique à commutation commandé, qui nous donne la possibilitéde réaliser une optimisation directe de la commande appliquée sur le système etaussi de valider les modèles analytiques que nous avons construit pour l’application ducontrôle.Un modèle analytique pour déterminer l’énergie consommée par le système a étéconçu en utilisant les probabilités de sortie de la région de contrôle, respectivement lestemps de séjour dans la chaîne de Markov avant et après avoir atteint les limites decontrôle. La dernière partie du travail présente la comparaison des résultats obtenusentre la méthode analytique et la simulation. / Hybrid systems are dynamical systems, characterized by a dual behaviour, a continuousinteraction between a discrete and a continuous functioning part. The center ofour work is represented by a particular class of hybrid systems, more specific by thestochastic switching systems which we model using continuous time Markov chains anddifferential equations.The random behaviour of such systems requires a special command which adapts tothe arbitrary events that can completely change the evolution of the system. We chose anevent-based control policy which is triggered only when it’s necessary (on an unforeseenevent - for example when a threshold that is reached), and until certain functioningconditions are met (the system returns in the normal state).Our approach aims to develop a probabilistic model that calculates a performancecriterion (in this case the energy of the system) for the proposed control policy. We startby proposing a discrete event simulation for the controlled stochastic switching system,which gives us the opportunity of applying a direct optimisation of the control command.It also allows us to compare the results with the ones obtained by the analytical modelswe have built when the event-based control is applied.An analytical model for computing the energy consumed by the system to apply thecontrol is designed by using the exit probabilities of the control region, respectively, thesojourn times of the Markov chain before and after reaching the control limits. The lastpart of this work presents the results we have obtained when comparing the analyticaland the simulation method.

Dans cette thèse, nous développons des méthodes de contrôle pour stabiliser des systèmes quantiques en temps continu sous mesures quantiques non-destructives. En boucle ouverte, ces systèmes convergent vers un état propre de l'opérateur de mesure, mais l'état résultant est aléatoire. Le rôle du contrôle est de préparer un état prescrit avec une probabilité de un. Le nouvel élément pour atteindre cet objectif est l'utilisation d'un mouvement Brownien pour piloter les actions de contrôle. En utilisant la théorie stochastique de Lyapunov, nous montrons stabilité exponentielle globale du système en boucle fermés. Nous explorons aussi la syntèse du contrôle pour stabiliser un code correcteur d'erreurs quantiques en temps continu. Un autre sujet d'intérêt est l'implementation de contrôles efficacement calculables dans un contexte expérimental. Dans cette direction, nous proposons l'utilisation de contrôles et filtres qui calculent seulement les characteristiques classiques du système, correspondant a la base propre de l'opérateur de mesure. La formulation de dites filtres est importante pour adresser les problèmes de scalabilité du filtre posées par l'avancement des technologies quantiques. / In this thesis, we develop control methods to stabilize quantum systems in continuous-time subject to quantum nondemolition measurements. In open-loop such quantum systems converge towards a random eigenstate of the measurement operator. The role of feedback is to prepare a prescribed eigenstate with unit probability. The novel element to achieve this is the introduction of an exogenous Brownian motion to drive the control actions. By using standard stochastic Lyapunov techniques, we show global exponential stability of the closed-loop dynamics. We explore as well the design of the control layer for a quantum error correction scheme in continuous-time. Another theme of interest is towards the implementation of efficiently computable control laws in experimental settings. In this direction, we propose the use control laws and of reduced-order filters which only track classical characteristics of the system, corresponding to the populations on the measurement eigenbasis. The formulation of these reduced filters is important to address the scalability issues of the filter posed by the advancement of quantum technologies.

La nécessité de prendre en considération les aspects sûreté de fonctionnement des systèmes automatisés, dès la phase de conception, pour tendre vers le concept de « systèmes automatisés sûrs de fonctionnement » représente aujourd'hui un enjeu majeur. <br />Nous présentons dans cette Habilitation à Diriger les Recherches le concept de systèmes automatisés sûrs de fonctionnement et procédons à une analyse de la problématique globale de la conception de tels systèmes. Nous identifions clairement les frontières des différents systèmes constituant les systèmes automatisés sûrs de fonctionnement : processus physique, systèmes d'automatisation, systèmes de sécurité, systèmes de contrôlabilité du risque (barrières). Pour ce faire, nous nous appuyons sur la notion de service rendu. <br />Nous introduisons ensuite les différents concepts de sûreté de fonctionnement des systèmes en dégageant deux grands niveaux : la sûreté de fonctionnement prédictive et la gestion de la sûreté de fonctionnement avec prise en compte des risques pour l'Homme et l'environnement. Cette étude aborde les aspects normatifs incontournables pour les systèmes industriels et décline notre point de vue sur la notion de complexité. L'identification de ces grands axes de recherche en conception des systèmes automatisés sûrs de fonctionnement nous permet de situer dans la communauté scientifique nos activités de recherche, dont les contributions et résultats sont présentés dans le mémoire selon deux axes :<br />• L'axe I porte sur la sûreté de fonctionnement de processus physiques avec une application à l'évaluation des paramètres FMD (Fiabilité-Maintenabilité-Disponibilité) des lignes de production dans le but d'en améliorer la performance,<br />• L'axe II porte sur la sûreté de fonctionnement des systèmes d'automatisation à intelligence distribuée avec la proposition d'une démarche de conception de tels systèmes et d'un formalisme pour la spécification des besoins et contraintes d'architecture, l'originalité de cette méthode repose sur la volonté d'obtenir une architecture validée par des paramètres de sûreté quantifiés. <br />De ces travaux découlent nos activités de recherche actuelles et futures relatives à l'analyse systémique de la sûreté de fonctionnement des systèmes complexes et à l'exploration de voies de recherche pour la proposition d'une méthodologie générique, indépendante du domaine d'application, pour la conception de systèmes complexes sûrs de fonctionnement.

Les systèmes embarqués ont évolué d'une manière spectaculaire et sont devenus partie intégrante de notre quotidien. En réponse aux exigences grandissantes en termes de nombre de fonctionnalités et donc de flexibilité, les parties logicielles de ces systèmes se sont vues attribuer une place importante malgré leur manque d'efficacité, en comparaison aux solutions matérielles. Par ailleurs, vu la prolifération des systèmes nomades et à ressources limités, tenir compte de la performance est devenu indispensable pour bien les concevoir. Dans cette thèse, nous proposons une démarche rigoureuse et intégrée pour la modélisation et l'évaluation de performance tôt dans le processus de conception. Cette méthode permet de construire des modèles, au niveau système, conformes aux spécifications fonctionnelles, et intégrant les contraintes non-fonctionnelles de l'environnement d'exécution. D'autre part, elle permet d'analyser quantitativement la performance de façon rapide et précise. Cette méthode est guidée par les modèles et se base sur le formalisme $mathcal{S}$BIP que nous proposons pour la modélisation stochastique selon une approche formelle et par composants. Pour construire des modèles conformes au niveau système, nous partons de modèles purement fonctionnels utilisés pour générer automatiquement une implémentation distribuée, étant donnée une architecture matérielle cible et un schéma de répartition. Dans le but d'obtenir une description fidèle de la performance, nous avons conçu une technique d'inférence statistique qui produit une caractérisation probabiliste. Cette dernière est utilisée pour calibrer le modèle fonctionnel de départ. Afin d'évaluer la performance de ce modèle, nous nous basons sur du model checking statistique que nous améliorons à l'aide d'une technique d'abstraction. Nous avons développé un flot de conception qui automatise la majorité des phases décrites ci-dessus. Ce flot a été appliqué à différentes études de cas, notamment à une application de reconnaissance d'image déployée sur la plateforme multi-cœurs STHORM. / In the present work, we tackle the problem of modeling and evaluating performance in the context of embedded systems design. These have become essential for modern societies and experienced important evolution. Due to the growing demand on functionality and programmability, software solutions have gained in importance, although known to be less efficient than dedicated hardware. Consequently, considering performance has become a must, especially with the generalization of resource-constrained devices. We present a rigorous and integrated approach for system-level performance modeling and analysis. The proposed method enables faithful high-level modeling, encompassing both functional and performance aspects, and allows for rapid and accurate quantitative performance evaluation. The approach is model-based and relies on the $mathcal{S}$BIP formalism for stochastic component-based modeling and formal verification. We use statistical model checking for analyzing performance requirements and introduce a stochastic abstraction technique to enhance its scalability. Faithful high-level models are built by calibrating functional models with low-level performance information using automatic code generation and statistical inference. We provide a tool-flow that automates most of the steps of the proposed approach and illustrate its use on a real-life case study for image processing. We consider the design and mapping of a parallel version of the HMAX models algorithm for object recognition on the STHORM many-cores platform. We explored timing aspects and the obtained results show not only the usability of the approach but also its pertinence for taking well-founded decisions in the context of system-level design.