Zugl.: Cottbus, Techn. University, Diss.

Techn. Universiẗat, Diss., 2003--Berlin.

Este trabajo es un estudio sobre una transición de onda de gravedad que ocurre en un flujo en régimen turbulento. Esta bifurcación fue descubierta recientemente y hay muchas preguntas abiertas respecto de ella. En particular, no se conoce el mecanismo de la inestabilidad ni se tiene claridad respecto del rol de la turbulencia en ella. En el capítulo 1, además de describirse el fenómeno estudiado, se presentan brevemente los aspectos conocidos de la mecánica de fluidos que son más pertinentes al estudio realizado. Posteriormente se plantean los objetivos. En el segundo capítulo se da una descripción detallada del montaje tipo Taylor-Couette desarrollado durante este trabajo. También se explican los protocolos de medición utilizados. En el capítulo 3 se presentan los resultados experimentales obtenidos. El hallazgo más importante es el hecho de que el número de Froude es, dentro de los parámetros adimensionales considerados, el que mejor describe la bifurcación. Esto resulta evidente al comparar los diagramas de bifurcación de este experimento con el previamente existente. Por otro lado se obtiene la dependencia de las frecuencias propias de algunos modos fundamentales. En esa dependencia es posible observar que la zona en que se desarrolla la inestabilidad coincide con el encuentro de las frecuencias de dos modos propios de superficie. Finalmente, es importante mencionar que se registraron efectos asociados al desgaste del montaje que, junto con algunas diferencias entre estos resultados y los datos experimentales previos, se pueden interpretar como producto de la influencia de ruido en la transición, ruido asociado tanto a las fluctuaciones turbulentas como a las vibraciones mecánicas del montaje. Este aspecto requiere mayor caracterización que permita aislar de mejor manera el rol de la turbulencia. En el capítulo 4 se realiza un análisis teórico que busca determinar la dependencia con la intensidad del flujo de los modos propios de onda de gravedad de la superficie libre. Esto busca determinar la aparición de alguna inestabilidad lineal en los modos a medida que incrementa la intensidad del flujo. Pese a no poderse determinar la estabilidad de los modos, los resultados para la dependencia de las frecuencias propias presentan un buen ajuste a las medidas. Finalmente, en el capítulo 5 se presentan las conclusiones. Entre ellas se menciona una posibilidad respecto de cuál puede ser el mecanismo. Ese mecanismo estaría determinado por la colisión de las frecuencias de dos modos, lo que se sugiere tanto de los resultados experimentales como de los teóricos. Adicionalmente se proponen algunos aspectos que podrían abordar investigaciones futuras.

La thèse porte sur l'étude de la réduction de traînée par injection de bulles. La réduction de traînée présente un intérêt pour les applications navales puisqu'elle est issue d'une modification des structures cohérentes qui contribuent le plus à la résistance à l'avancement. Le but de cette étude est d'analyser les mécanismes à l'origine de cette diminution du frottement pariétal. L'approche utilisée dans le cadre de cette étude est numérique, elle emploie le code JADIM par une approche Euler-Lagrange : la phase continue est simulée par Simulation Numérique Directe et la phase dispersée est simulée en suivant individuellement chaque bulle. La configuration retenue dans le cadre de cette étude est celle de l'écoulement de Taylor-Couette (écoulement compris entre deux cylindres en rotation). La première partie de la thèse vise à adapter l'outil numérique employé, afin de pouvoir prendre en compte le retour de la phase dispersée via des termes de forçage dans les équations bilan de matière et de quantité de mouvement. La deuxième partie de la thèse vise à étudier l'écoulement porteur en configuration monophasique, afin de disposer d'une référence sur l'écoulement non perturbé. La troisième partie de la thèse a pour objectif d'étudier la dispersion passive des bulles dans le système, afin d'analyser les mécanismes de migrations mis en jeu. Enfin la dernière partie de la thèse vise à étudier l'influence des bulles sur l'écoulement porteur en analysant l'effet de certains paramètres, notamment le taux de vide et la flottabilité. / The study deals with drag reduction induced by bubble injection, its application concerns naval transport. The aim of the study is to shed more light on mechanisms that are involved in this wall friction reduction. The study is based on a numerical approach, and use the JADIM code with an Euler-Lagrange approach: the continuous phase is solved by Direct Numerical Simulation, and the disperse phase by a tracking of each bubble. Within the framework of this study we consider the Taylor-Couette flow configuration (flow between two concentric cylinders in rotation). The first part of the study deals with the modification of the numerical tool, in order to take into account the influence of the disperse phase on the continuous one through forcing terms in the mass and momentum balance equations. The aim of the second part is to study de Taylor-Couette flow in its monophasic configuration, for the purpose of providing a reference of the undisturbed flow. The third part deals with the passive dispersion of bubble in Taylor-Couette flow, in order to analyze the migration mechanisms involved. And the aim of the last part is to study the effects of the disperse phase on the continuous one, by analyzing the influence of bubbly phase parameters (like void fraction and buoyancy).

L'objectif de la thèse est d'étudier l'évolution de la morphologie de flocs soumis à des conditions hydrodynamiques turbulentes. A cet effet, des expériences de floculation par neutralisation de charge en présence de sels sont mises en œuvre, dans deux géométries de réacteurs, sous différentes conditions hydrodynamiques. Dans un premier temps, des expériences de floculation sont réalisées sous conditions hydrodynamiques fixées. D'une part, un suivi en ligne de la floculation de microsphères de latex en jar test est effectué par granulométrie à diffraction laser. Plus le taux de cisaillement moyen G caractéristique de l'hydrodynamique globale du réacteur est élevé, plus la cinétique de floculation est rapide ; la distribution de diamètres équivalents demeure alors monomodale et présente une autosimilarité. L'évolution de la dimension fractale Df représentative de l'ensemble de la population montre une compaction des agrégats au cours du temps, d'autant plus marquée que G est élevé. D'autre part, la caractérisation de nombreuses propriétés morphologiques de flocs de bentonite formés dans un réacteur de Taylor-Couette est effectuée par analyse d'images (méthode in situ non intrusive). Un grand nombre d'images sont acquises, permettant de déterminer avec précision l'évolution temporelle des distributions des propriétés morphologiques ainsi que de leurs moments. Bien que les caractéristiques de taille et de forme soient liées, leur dépendance à l'hydrodynamique n'est pas la même. Des flocs produits dans des conditions hydrodynamiques différentes, et dont les distributions de tailles sont similaires, présentent des formes différentes. Le rayon de giration des flocs est corrélé à la micro-échelle de Kolmogorov tandis que leur circularité semble corrélée à la vitesse de rotation du cylindre interne. Dans un second temps, un séquençage des conditions hydrodynamiques consistant en deux cycles de rupture-refloculation est effectué après une première étape de floculation dans le réacteur de Taylor-Couette. L'irréversibilité après rupture est montrée. La refloculation produit des flocs de tailles plus réduites et de formes plus régulières et l'état stationnaire est atteint plus rapidement, sans phase de restructuration significative, contrairement à ce qui est observé après la première étape de croissance. Si la contrainte appliquée lors de la rupture est suffisamment élevée, le second cycle a peu d'influence sur la population de flocs. En revanche si la contrainte de rupture est moins importante, chacun des deux cycles forme des flocs plus compacts et plus lisses, mais aussi plus petits. L'étape de rupture produit des floculi qui deviennent alors les briques élémentaires pour l'étape de refloculation suivante. La taille des flocs obtenus lors de ces étapes de refloculation est limitée par l'hydrodynamique, mais leur structure est déterminée par la taille et la structure des floculi. Enfin, la problématique de la modélisation de la floculation par Bilan de Population (BP) est abordée. Une équation de BP tenant compte de la dimension fractale est formulée pour modéliser les expériences de floculation de latex en jar test. Les seuls paramètres variables du modèle sont les valeurs expérimentales de G et Df. Basée sur la méthode de la quadrature des moments (QMOM), la résolution du BP permet de décrire convenablement l'évolution des six premiers moments de la distribution de tailles expérimentale et de certains diamètres caractéristiques, aux différentes conditions hydrodynamiques mises en œuvre. / The objective of this work is to study the time evolution of floc morphology under turbulent hydrodynamic conditions. For this purpose, flocculation by charge neutralization in the presence of salts is realized within two reactor geometries under various hydrodynamic conditions. As a first step, flocculation experiments under constant hydrodynamic conditions were realized. On the one hand, a laser light scattering technique is used for an on-line monitoring of latex microsphere flocculation conducted in a jar. The higher the global shear gradient G, the faster the flocculation kinetics, and thus the equivalent diameter distribution tends to keep monomodal and autosimilar. The time evolution of the fractal dimension Df, representative for the whole population, shows that aggregates get more compact with time, and this trend is more pronounced when G is higher. . On the other hand, bentonite flocculation is realized in a Taylor-Couette reactor. Various morphological properties are measured by an in situ non-intrusive method of image acquisition and analysis. Each measurement consists of a large number of images, allowing the precise calculation of property distributions and their moments over time. Although size and shape are obviously correlated, their dependency to hydrodynamics is different. Flocs of similar sizes produced under different hydrodynamic conditions exhibit different shapes. The sizes are calibrated by the turbulence as the double radius of gyration is close to Kolmogorov microscale, whereas the circularity seems correlated to the rotation speed. As a second step, a hydrodynamic sequencing is imposed in the Taylor-Couette reactor, in order to realize two breakup and reflocculation cycles after a first flocculation phase. The irreversibility is shown. Reflocculation after breakup produces smaller sizes, more regular shapes, and the steady state is reached faster since there is no restructuration phase such as the one observed after the initial growth step. When the breakup shear is high enough, the second cycle has very little impact. However, if the breakup shear is lower, each of the two cycles produces more compact and smoother, but also smaller flocs. The breakup step produces flocculi that are the building blocks for the next re-flocculation step. The, floc size is conditioned by hydrodynamics, whereas floc structure is determined by flocculi size and structure. Finally, the issue of modelling is addressed. A population balance (PB) equation accounting for the fractal dimension is formulated, in order to model the latex flocculation experiments. The only varying model parameters are the experimental values of G and Df. The PB, solved using the quadrature method of moments, allows to adequately describe the temporal evolution of the first six moments of the experimental distribution obtained under three hydrodynamic conditions.

L’objectif de ce travail était d’étudier l’évolution de la morphologie des agrégats soumis à des conditions hydrodynamiques turbulentes. Pour cela, des expériences de floculation de particules de latex ont été réalisées dans un réacteur de Taylor-Couette en mettant en œuvre un séquençage des conditions hydrodynamiques, consistant en six étapes effectuées alternativement à faible et fort taux de cisaillement. Pour l’ensemble des expériences, un suivi en ligne de la taille des flocs a été réalisé par granulométrie laser. Par ailleurs, des paramètres caractéristiques de la forme des agrégats, ont été déterminés par analyse d’images sur des échantillons de suspension prélevés à la fin des différentes étapes du séquençage hydrodynamique. Dans le cas où le mécanisme de floculation est la neutralisation de charges (par ajout de NaCl ou de Al2(SO4)3), les résultats ont permis de confirmer la forte influence de l’hydrodynamique sur la taille des agrégats mais ont aussi révélé l’existence d’un lien entre la forme des agrégats et leur histoire. Contrairement à la taille, la morphologie des flocs, caractérisée par leur circularité ou leur convexité est peu sensible à l’hydrodynamique. L’étude des distributions surfaciques de ces paramètres de forme ainsi que la représentation des résultats expérimentaux sous forme bidimensionnelle (reliant taille et forme) ont en effet montré qu’après un certain nombre de cycles rupture-refloculation, la circularité comme la convexité évoluent vers une distribution unique, indépendante de l’hydrodynamique. Dans le cas où le mécanisme de floculation est le pontage (le polymère utilisé étant le PolyDADMAC), pour des taux de cisaillement faible, les agrégats sont plus grands, mais plus circulaires et plus résistants à la rupture que ceux créés par neutralisation de charge. Une analyse complémentaire est ensuite proposée permettant d’analyser l’effet des conditions hydrodynamiques sur la dimension fractale des flocs déduite des mesures par diffraction laser ou de l’analyse d’images. A des fins de comparaison, une nouvelle expression de la dimension fractale issue de l’analyse morphologique Df* a été introduite. Enfin, la modélisation de la floculation par résolution de l’équation de bilan de population basée sur la méthode de la quadrature des moments (QMOM) a été abordée ; les paramètres variables du modèle étant les valeurs expérimentales du taux de cisaillement moyen et la dimension fractale. Les résultats préliminaires montrent qu’il est possible de reproduire correctement l’évolution des six premiers moments de la distribution en taille des agrégats pour une phase d’agrégation du séquençage hydrodynamique. / The aim of this work was to investigate the evolution of the morphology of aggregates under turbulent hydrodynamic conditions. For this purpose, latex particles flocculation experiments were conducted in a Taylor-Couette reactor by carrying out a sequencing of the hydrodynamic conditions, consisting of six steps performed alternately at low and high shear rate. For all the experiments, an on-line monitoring of the size of the flocs was carried out by laser diffraction. Moreover, characteristic parameters of the shape of the aggregates were determined by image analysis on suspension samples taken at the end of the various stages of the hydrodynamic sequencing. When the flocculation mechanism is the charge neutralization (by addition of NaCl or Al2(SO4)3), the results have confirmed the strong influence of hydrodynamics on aggregate size but also revealed the existence of a relationship between the shape of the aggregates and their history. Contrary to size, the morphology of the flocs, characterized either by their circularity or convexity, is not sensitive to hydrodynamics. The study of the surface distributions of these shape parameters as well as the representation of the experimental results in two-dimensional form (linking size and shape) have shown that, after a number of breakage-reflocculation cycles, both circularity and convexity evolve towards a single distribution which is independent of hydrodynamics. When the bridging flocculation is the main mechanism (the polymer used being PolyDADMAC), at low shear rates, the aggregates are larger, but more circular and more resistant to breakage than those issued from charge neutralization. A complementary analysis is then proposed to analyze the effect of hydrodynamics on the fractal dimension measured either by laser diffraction or by image analysis. In order to compare both results, a new expression of the fractal dimension derived from the morphological analysis Df * was introduced. Finally, the modeling of the flocculation by solving the population balance equation using the quadrature method of moments (QMOM) is presented; the only variable parameters being the experimental values of the average shear rate and the fractal dimension. The preliminary results show that it is possible to reproduce correctly the evolution of the first six moments of the aggregate size distribution for an aggregation phase of the hydrodynamic sequencing.

La présente étude vise à comprendre les écoulements ainsi que les transferts de chaleur par convection dans une configuration représentative d’un moteur de traction automobile. La zone d’étude est constituée d’un stator extérieur lisse et fixe et d’un rotor intérieur tournant. Deux géométries de rotor ont été étudiées : un rotor cylindrique et un rotor encoché. Un écoulement axial est superposé à l’écoulement produit par la rotation. Pour le rotor lisse, des mesures ont été réalisées pour des valeurs du nombre de Reynolds axial de 2500 à 13900 et de rotation de 1250 à 4000. Pour le rotor encoché, le nombre de Reynolds axial varie également de 2500 à 13900 et le nombre de Reynolds de rotation de 5000 à 26000. Les mesures de vitesse réalisées par PIV au sein des encoches montrent un écoulement tourbillonnaire contrarotatif complexe. Dans la zone d’entrée, on peut noter une forte interaction entre l’écoulement des encoches et celui provenant des zones polaires. Les résultats thermiques obtenues par thermographie infrarouge sur le rotor encoché montrent que les transferts thermiques augmentent avec l’augmentation du nombre de Reynolds axial mais l’influence de la vitesse de rotation est plus complexe. Enfin, la comparaison des résultats thermiques entre rotors lisse et encoché, a permis de mieux comprendre l’effet des encoches sur le refroidissement global. / The present work aimed to experimentally study the flow and heat transfer in a configuration corresponding to the gap of an automotive electrical motor (a thin airlayer between the rotating (rotor) and stationary (stator) parts.) Two rotor geometries are studied: one cylindrical and the other one with four slots which reproduce a synchronous motor used in automotive traction. An axial flow is superimposed to the rotation flow thanks to a ventilation system. The two most important parameters are axial Reynolds number and rotational Reynolds number. Velocity measurements are performed by PIV and heat transfer by infrared thermography coupled with heated thin foils. A complex counter rotational vortex flow has been recorded in the slots. Moreover, this slot flow seems to interact with the pole flow in the inlet region. This interaction seems to disappear rapidly after entrance area. Heat transfer rate is 3D, with great differences between the two slots faces and the pole. Classically, heat transfer rate grows with increasing axial Reynolds number. The relation between heat transfer rate and rotation Reynolds number is more complex

[pt] O escoamento em um espaço anular parcialmente obstruído é estudado para uma geometria entre cilindros concêntricos. A obstrução parcial é uma primeira aproximação de um escoamento em um espaço anular com um leito de cascalhos sedimentado que ocorre no processo de perfuração de poços para produção de óleo e gás, particularmente no caso de poços inclinados e horizontais. A presença de uma placa de obstrução parcial promove a assimetria no escoamento de tal modo que interfere na formação do regime de vórtices de Taylor. O campo de velocidade para esses escoamentos foi obtido via solução numérica e experimental. Nas simulações numéricas, as equações de conservação de massa e quantidade de movimento linear foram resolvidas para um escoamento de fluido newtoniano e não newtoniano pela técnica de volumes finitos. Os resultados experimentais foram obtidos a partir de campos instantâneos e médios de velocidade em planos meridionais do espaço anular usando a técnica de velocimetria por imagens de partículas (PIV). As medições focalizaram a obtenção do número de Reynolds rotacional crítico e a obtenção do perfil de velocidade axial passando pelo olho do vórtice. Os resultados mostram que o número de Reynolds crítico é diretamente afetado pelo grau de obstrução do espaço anular, assim como a largura dos vórtices de Taylor. O resultado dos perfis de velocidade axial calculados concorda bem com os resultados obtidos experimentalmente. A transição para o regime de vórtices de Taylor também é bem prevista pelo método numérico. Os resultados numéricos para a largura dos vórtices de Taylor não apresentam boa concordância, dependendo das condições de contorno estipuladas. A presença da placa de obstrução parcial promove uma recirculação circunferencial no escoamento que interage com o escoamento de vórtices de Taylor formando um escoamento complexo a partir de níveis de obstrução moderados. / [en] The flow inside a horizontal annulus due to the inner cylinder rotation is studied. The bottom of the annular space is partially blocked by a plate parallel to the axis of rotation, thereby destroying the circumferential symmetry of the annular space geometry. This flow configuration is found in the drilling process of horizontal petroleum wells, where a bed of cuttings is deposited at the bottom part of the annulus. The velocity field for this flow was obtained both numerically and experimentally. In the numerical work, the equations which govern the threedimensional, laminar flow of Newtonian and non-Newtonian liquids were solved via a finite-volume technique. In the experimental research, the instantaneous and time-averaged flow fields over two-dimensional meridional sections of the annular space were measured employing the particle image velocimetry (PIV) technique, both for Newtonian and power-law liquids. Attention was focused on the determination of the onset of secondary flow in the form of distorted Taylor vortices. The results showed that the critical rotational Reynolds number is directly influenced by the degree of obstruction of the flow. The influence of the obstruction is more perceptible in Newtonian than non- Newtonian liquids. The larger is the obstruction, the larger is the critical Taylor number. The height of the obstruction also controls the width of the vortices. The calculated steady state axial velocity profiles agreed well with the corresponding measurements. Transition values of the rotational Reynolds number are also well predicted by the computations. However, the measured and predicted values for the vortex size do not agree as well. Transverse flow maps revealed a complex interaction between the Taylor vortices and the zones of recirculating flow, for moderate to high degrees of flow obstruction.

Les contacteurs centrifuges, basés sur les écoulements de Taylor-Couette, sont bien adaptés pour la mise en œuvre de réactions chimiques ou biochimiques, y compris en milieu polyphasique. Ils possèdent particulièrement plusieurs propriétés favorables à la mise en œuvre des opérations d'extraction liquide-liquide. Un dispositif expérimental a été conçu avec cette idée en tête. Il est constitué de deux cylindres concentriques avec le cylindre intérieur entraîné en rotation et l'externe fixe. L’écoulement de Taylor-Couette se produit dans l’espace annulaire entre eux. Il présente la particularité d’évoluer vers la turbulence par apparition successive d’instabilités. La dispersion axiale ainsi que le mélange, sont extrêmement sensibles à ces structures d’écoulement, ce qui rend difficile la modélisation du couplage entre l’hydrodynamique et le transfert de matière. Ce point particulier a été étudié expérimentalement et numériquement. L’écoulement et le mélange ont été caractérisés par des mesures simultanées de PIV (Vélocimétrie par Imagerie de Particules) et PLIF (Fluorescence Induite par Laser). Les champs de concentration PLIF ont permis d’identifier les différents mécanismes de transport intra et inter-vortex. Pour les régimes ondulatoires (WVF et MWVF), le mélange intra-vortex est contrôlé par l’advection chaotique, directement lié aux caractéristiques du champ de vitesse, qui confère aux vortex une capacité plus importante à convecter et à étirer les filets de fluide. En revanche, l’apparition des vagues brisent les frontières qui séparent les vortex ce qui favorise le transport inter-vortex. La combinaison de ces deux mécanismes contrôle principalement la dispersion axiale. Nous avons également mis en évidence le comportement non monotone des propriétés de mélange en fonction de l’histoire de l’écoulement. Notamment l’état d’onde (la longueur d’onde axiale et l’amplitude de la vague). Nous avons calculé le coefficient de dispersion axiale Dx à l’aide des mesures de distribution de temps de séjour (DTS) et de suivi Lagrangien de particules (DNS). Les deux résultats numériques et expérimentaux ont confirmé l’effet significatif des structures de l’écoulement et de l’histoire sur la dispersion axiale. / Taylor-Couette flows between two concentric cylinders have great potential applications in chemical engineering. They are particularly convenient for two-phase small scale devices enabling solvent extraction operations. An experimental device was designed with this idea in mind. It consists of two concentric cylinders with the inner one rotating and the outer one fixed. Taylor-Couette flows take place in the annular gap between them, and are known to evolve towards turbulence through a sequence of successive instabilities. Macroscopic quantities, such as axial dispersion and mixing index, are extremely sensitive to these flow structures, which may lead to flawed modelling of the coupling between hydrodynamics and mass transfer. This particular point has been studied both experimentally and numerically. The flow and mixing have been characterized by means of flow visualization and simultaneous PIV (Particle Imaging Velocimetry) and PLIF (Planar Laser Induced Fluorescence) measurements. PLIF visualizations showed clear evidences of different transport mechanisms including « intravortex mixing » and « inter-vortex mixing ». Under WVF and MWVF regimes, intra-vortex mixing is controlled by chaotic advection, due to the 3D nature of the flow, while inter-vortex transport occurs due to the presence of waves between neighbouring vortices. The combination of these two mechanisms results in enhanced axial dispersion. We showed that hysteresis may occur between consecutive regimes depending on flow history and this may have a significant effect on mixing for a given Reynolds number. The axial dispersion coefficient Dx evolution along the successive flow states was investigated thanks to dye Residence Time Distribution measurements (RTD) and particle tracking (DNS). Both experimental and numerical results have confirmed the significant effect of the flow structure and history on axial dispersion. Our study confirmed that the commonly used 1-parameter chemical engineering models (e.g. the « well-mixed stirred tanks in serie » model) are not valid for Taylor-Couette reactors modelling : two parameters are at least required for an efficient description of mixing in Taylor-Couette flows.

Orientador: Prof. Dr. Francisco Eugenio Mendonça da Silveira / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Física, 2014. / Neste trabalho, discutimos o efeito de uma relaxação finita para a corrente sobre a instabilidade axialmente simetrica de uma coluna de plasma com perfil parabólico na aproximacão não indutiva. A forma funcional da densidade de momento angular específico é dada por L = ar2+br..1=2, onde a e b s~ao constantes. Isto signica que L possui um valor mnimo para uma dada coordenada radial r, limitada pelas paredes do vaso que contem o uido. Como consequ^encia, o sistema pode se tornar instavel se a frequ^encia epicclica k = [2 (2 + r 0)]1=2 for um numero imaginario, onde denota a velocidade angular do uido e a linha, uma derivada total em relac~ao a r. Uma analise de instabilidade linear e desenvolvida para os limites de grande e pequena resistividade do uido. Os resultados apresentados aqui podem contribuir para tornar a noc~ao da aproximac~ao n~ao indutiva em um conceito mais preciso. Finalmente, apresentamos uma proposta de continuidade natural deste trabalho. / In this work, we discuss the efect of a fnite relaxation for the current on the axisymmetric instability of a plasma column with parabolic profile in the inductionless approximation. The functional form of the specic angular momentum density is given by L = ar2 + br..1=2, where a and b are constants. As a consequence, the system may become unstable if the epicyclic frequency k = [2 (2 + r 0)]1=2 is an imaginary number, where denotes the angular velocity of the uid and the prime, a total derivative with respect to r. A linear stability analysis is developed for the limits of large and of small resistivity of the uid. The results presented here may contribute to turn the notion of the inductionless approximation into a more precise concept. Finally, we present a proposal of natural continuity of this work.