Nous nous intéressons à l'étude asymptotique de certaines statistiques dans des modèles ARMA spatiaux quadrantaux<br />dont les innovations sont supposées être indépendantes et identiquement distribuées ou plus généralement vérifier une propriété de martingales fortes. Après une revue des théorèmes limites pour des martingales spatiales sur un réseau, nous démontrons d'abord un théorème de la limite centrale et un principe d'invariance sous la condition de Lindeberg conditionnelle pour des tableaux de martingales fortes. Afin de mieux situer notre étude des champs ARMA quadrantaux, nous rappelons divers résultats conçernant l'estimation et l'identification dans d'autres modèles ARMA spatiaux. Puis, dans le but de sélectionner les ordres et d'estimer les paramètres autorégressifs de modèles ARMA spatiaux quadrantaux, nous introduisons un nouvel estimateur obtenu à partir des équations de Yule-Walker généralisées. Nous démontrons sa consistance et sa normalité asymptotique. Enfin, pour un certain nombre de modèles ARMA spatiaux, nous illustrons leurs comportements par des représentations graphiques et nous <br />présentons une étude de procédures pour les identifier à partir de nombreuses simulations.

La dépendance faible est un outil très performant pour obtenir des résultats asymptotiques en statistique des séries chronologiques. Son atout majeur est de résumer les propriétés de dépendance de très nombreux modèles via le comportement d'une suite de coefficients. Dans un problème où le modèle n'est pas clairement identifiable, des hypothèses sur les coefficients de dépendance faible sont parfois moins contraignantes que le choix d'un modèle. De plus, pour certains modèles causaux, la dépendance faible permet d'étudier les propriétés de dépendance là où toutes les autres notions (de mélange par exemple) échouent. Les coefficients permettent d'élargir aux séries chronomogiques des résultats asymptotiques classiques du cas de référence, celui d'observations indépendantes.

Notre travail porte sur le phénomène de cutoff pour des n-échantillons de processus de Markov, dans le but de l'appliquer à la détection de la convergence d'algorithmes parallélisés. Dans un premier temps, le processus échantillonné est un processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous mettons en évidence le phénomène de cutoff pour le n-échantillon, puis nous faisons le lien avec la convergence en loi du temps d'atteinte par le processus moyen d'un niveau fixé. Dans un second temps, nous traitons le cas général où le processus échantillonné converge à vitesse exponentielle vers sa loi stationnaire. Nous donnons des estimations précises des distances entre la loi du n-échantillon et sa loi stationnaire. Enfin, nous expliquons comment aborder les problèmes de temps d'atteinte liés au phénomène du cutoff.

Cette thèse traite principalement des théorèmes limites pour les processus empiriques de fonctionnelles de clusters d'extrêmes de séquences et champs aléatoires faiblement dépendants. Des théorèmes limites pour les processus empiriques de fonctionnelles de clusters d'extrême de séries temporelles stationnaires sont donnés par Drees & Rootzén [2010] sous des conditions de régularité absolue (ou "ß-mélange"). Cependant, ces conditions de dépendance de type mélange sont très restrictives : elles sont particulièrement adaptées aux modèles dans la finance et dans l'histoire, et elles sont de plus compliquées à vérifier. Généralement, pour d'autres modèles fréquemment rencontré dans les domaines applicatifs, les conditions de mélange ne sont pas satisfaites. En revanche, les conditions de dépendance faible, selon Doukhan and Louhichi [1999] et Dedecker & Prieur [2004a], sont des conditions qui généralisent les notions de mélange et d'association. Elles sont plus simple à vérifier et peuvent être satisfaites pour de nombreux modèles. Plus précisément, sous des conditions faibles, tous les processus causals ou non causals sont faiblement dépendants: les processus Gaussien, associés, linéaires, ARCH(∞), bilinéaires et notamment Volterra entrent dans cette liste. À partir de ces conditions favorables, nous étendons certains des théorèmes limites de Drees & Rootzén [2010] à processus faiblement dépendants. En outre, comme application des théorèmes précédents, nous montrons la convergence en loi de l'estimateur de l'extremogramme de Davis & Mikosch [2009] et l'estimateur fonctionnel de l'indice extrémal de Drees [2011] sous dépendance faible. Nous démontrons un théorème de la valeur extrême pour les champs aléatoires stationnaires faiblement dépendants et nous proposons, sous les mêmes conditions, un critère du domaine d'attraction d'une loi d'extrêmes. Le document se conclue sur des théorèmes limites pour les processus empiriques de fonctionnelles de clusters d’extrêmes de champs aléatoires stationnaires faiblement dépendants, et met en évidence la convergence en loi de l'estimateur d'un extremogramme de processus spatio-temporels stationnaires faiblement dépendants en tant qu'application. / This thesis deals mainly with limit theorems for empirical processes of extreme cluster functionals of weakly dependent random fields and sequences. Limit theorems for empirical processes of extreme cluster functionals of stationnary time series are given by Drees & Rootzén [2010] under absolute regularity (or "ß-mixing") conditions. However, these dependence conditions of mixing type are very restrictive: on the one hand, they are best suited for models in finance and history, and on the other hand, they are difficult to verify. Generally, for other models common in applications, the mixing conditions are not satisfied. In contrast, weak dependence conditions, as defined by Doukhan & Louhichi [1999] and Dedecker & Prieur [2004a], are dependence conditions which generalises the notions of mixing and association. These are easier to verify and applicable to a wide list of models. More precisely, under weak conditions, all the causal or non-causal processes are weakly dependent: Gaussian, associated, linear, ARCH(∞), bilinear and Volterra processes are some included in this list. Under these conveniences, we expand some of the limit theorems of Drees & Rootzén [2010] to weakly dependent processes. These latter results are used in order to show the convergence in distribution of the extremogram estimator of Davis & Mikosch [2009] and the functional estimator of the extremal index introduced by Drees [2011] under weak dependence. We prove an extreme value theorem for weakly dependent stationary random fields and we propose, under the same conditions, a domain of attraction criteria of a law of extremes. The document ends with limit theorems for the empirical process of extreme cluster functionals of stationary weakly dependent random fields, deriving also the convergence in distribution of the estimator of an extremogram for stationary weakly dependent space-time processes.

Ce travail se compose de deux parties indépendantes. La première est consacrée à l'étude de la méthode du décalage, dite aussi méthode du Shift, pour le calcul d'espérances mathématiques en dimension grande ou infinie. Pour l'essentiel, la méthode du décalage est la mise en oeuvre informatique du théorème ergodique ponctuel de Birkhoff pour l'opérateur de décalage (à gauche ou, à défaut, à droite). La deuxième partie s'attache au problème de l'approximation des mesures invariantes pour les chaînes de Markov.

Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable. Dans une deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet. Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand. Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet. Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants. / This thesis deals with the study of friction type differential equations, in other words, attractive equations, with a unique stable point 0, describing the speed of an object submitted to a frictional force. This object's speed is disturbed by Lévy type random perturbations. In a first part, one is interested in fondamental properties of these SDE: existence and unicity of a solution, Markov and ergodic properties, and more particularly the case of stable Lévy processes.In a second part, one study the stability of the solution of these SDE when the perturbation is an stable Lévy process that tends to 0. In fact, one proves the existence of a Taylor expansion of order one around the deterministic solution for the object's speed and position. In a third part, one study the asymptotic behaviour of the solutions when the initial speed is 0 and the perturbation is a symmetric stable Lévy process. One proves that the amount of perturbations, if the stability's index of the Lévy process and the increasing of the potential are big enough, leads to a gaussian asymptotic behaviour for the object's position.In a forth part, one relaxes the assumption of symmetry of the perturbation by proving the same result as in the third part but with a drift. To do so, one first studies the tail of the invariant measure of the object's speed.Finally, in a last part, one is interested in the same result as in the third part when the perturbation is the sum of the Brownian motion and a pure jump stable Lévy process. Then, one begins the study of the dimension two by considering the case where the equations are separated but where the driving Brownian motions are dependent.