La physique quantique est un domaine qui est encore aujourd'hui difficile à approcher numériquement ; les calculs s'y rattachant souffrent du grand nombre de degrés de liberté que comportent les systèmes quantiques intéressants. Nous explorons deux alternatives aux solutions traditionnelles en les appliquant à des problèmes de la physique quantique. Nous étudions d'abord l'effet tunnel dans un potentiel double puits à l'aide du concept de l'action quantique. Nous montrons que l'action quantique reproduit avec précision la physique du système dans le régime quantique et qu'elle présente de nombreuses caractéristiques intéressantes. Nos résultats suggèrent aussi que l'action quantique peut être utilisée pour des potentiels asymétriques. Nous présentons ensuite la construction d'un Hamiltonien Monte Carlo pour la théorie de jauge sur réseau U(l). Nous calculons explicitement la mesure exacte de l'intégrale' de chemin pour U(l). Enfin, nous présentons comment ces résultats peuvent être généralisés pour des théories de jauge non-abéliennes SU(N).

Dans cette thèse on étudie certaines constructions géométriques qui apparaissent naturellement dans le contexte des modèles sigma, leur jaugeage et supersymétrisation. La thèse comprend trois parties. La première partie (chapitres 1 et 2) contient des faits issus de la géométrie différentielle classique et de la géométrie graduée nécessaires pour comprendre les résultats clés de la thèse. On survole la géométrie liée aux variétés de Poisson et variétés symplectiques. On généralise ces notions aux variétés de Dirac et variétés n-plectiques, et établit leur liens avec les algebroïdes de Courant. Le langage principal utilisé dans la thèse pour la description mathématique des modèles sigma – c'est la géométrie graduée – on définit donc des bases de calcul sur les supervariétés et variétés graduées ainsi que les notions des Q-structures et des variétés multigraduées. La deuxième partie (chapitres 3 et 4) a pour but d’interpréter géométriquement l'invariance de jauge de certains modèles sigma. On établit la relation entre les symétries de modèle sigma de Dirac, et comme cas particulier de modèle sigma de Poisson (tordu), avec les sous-algèbres des sections d'algebroïde de Courant. On généralise la notion de cohomologie équivariante, ce qui permet d'obtenir les modèles sigma avec le groupe des symétries prescrit, en particulier on construit les groupes nécessaires pour les modèles sigma mentionnés. La troisième partie (chapitre 5) adresse l'extension graduée des modèles sigma (comme en supersymétrisation). Ceci est en fait lié auxstructures géométriques qui peuvent être définies sur l'espace des applications entre les variétés multigraduées / In this thesis we study some geometric constructions appearing naturally in the context of sigma models, their gauging and supersymmetrization. The thesis consists of three parts. The first part (chapters 1 and 2) contains facts coming from classical differential geometry and graded geometry, they are needed to understand the main results of the thesis. We review the geometric constructions related to Poisson and symplectic manifolds. We generalize these notions to Dirac and n-plectic manifolds and establish the links with Courant algebroids. The main language used in the thesis for mathematical description of the sigma models is the graded geometry - we thus define the basis of calculus on supermanifolds and graded manifolds, as well as describe the notions of Q-structures and multigraded manifolds. The main goal of the second part (chapters 3 and 4) is to interpret geometrically the gauge invariance of some sigma models. We establish the relation of the symmetries of the Dirac sigma model, and as a particular case of the (twisted) Poisson sigma model, with the subalgebra of sections of Courant algebroid. We generalize the notion of equivariant cohomology, that permits to recover the sigma models with a prescribed group of gauge symmetries. In particular we construct the necessary groups for the mentioned sigma models. The third part (chapter 5) addresses the graded extension of the sigma models (like in supersymmetrization). It is in fact related to the geometric structures that can be defined on the space of maps between multigraded manifolds.

I. L'équation décrivant la dynamique des ondes courtes à la surface d'un fluide après une réduction de Green-Naghdi des équations d'Euler se trouve être un nouveau système intégrable exhibant des propriétés remarquables. Une relation insoupçonnée avec le modèle de sine-Gordon, au travers de transformations impliquant une quantité conservée, nous permet en effet d'obtenir des solutions singulières et multivaluées pour la nouvelle équation intégrable et, par la suite, d'en construire une description en termes du Lagrangien d'un champ relativiste. L'existence de modèles très similaires au système hydrodynamique et partageant les mêmes propriétés nous pousse à rechercher les conditions d'apparition d'une telle relation dans un cadre plus général puis à construire un modèle non relativiste mélangeant deux des équations obtenues auparavant. Cette partie se clôt sur une étude aux premiers ordres quantiques des effets de ces transformations responsables de l'apparition de champs relativistes multivalués.<br />II. Dans l'optique d'arriver à une théorie cohérente décrivant des champs de spin élevé en interaction, nous présentons dans la seconde partie une construction, basée sur la théorie des champs de cordes, qui mélange tous les niveaux de spin. Grâce à des contraintes d'hermiticité, on détermine dans un premier temps les éléments d'un groupe de jauge et leur loi de composition. Les champs de jauge sont choisis comme la représentation adjointe du groupe puis modifiés pour se rapprocher des définitions usuelles. Finalement, l'étude du spin 3 nécessite l'introduction de champs auxiliaires qui nous permettent d'obtenir un Lagrangien pour le champ de spin 2 massif en généralisant une méthode introduite par Veltman dans le cas de Yang-Mills.

Cette thèse est dédiée à l'étude d'une classe de couplages dans l'action effective de la théorie des cordes qui se trouvent au croisement entre la théorie des cordes topologique et les théories de jauge supersymétriques. Ces couplages généralisent un ensemble de couplages gravitationnels qui calculent la fonction de partition de la théorie des cordes topologique. Dans la limite de théorie des champs, ces derniers reproduisent la fonction de partition de la théorie de jauge dans le fond Oméga lorsque l'un des paramètres de ce dernier, epsilon_+ , est égal à zéro. Cela suggère naturellement l'existence d'une généralisation dénommée la corde topologique raffinée. Les couplages étudiés dans ce manuscrit sont caractérisés par un multiplet vectoriel supplémentaire et sont calculés, en théorie des cordes, aux niveaux perturbatif et non-perturbatif. De plus, leur limite de théorie des champs donne la fonction de partition de la théorie des champs dans un fond Oméga général. Ainsi, ces couplages ouvrent de nouvelles perspectives pour la définition, au niveau de la surface d'univers, de la théorie des cordes topologiques raffinée.

In this thesis, we study certain non-perturbative aspects of N=1 gauge theories. We show how to compute the expectation values of chiral operators (i.e. those that preserve the anti-chiral supercharges) exactly from a first-principle approach based on the path integral over the microscopic fields. <p><p>The text is divided into two parts. The first one consists of an original introduction to the tools that underlie the researches and results obtained during this thesis. After a general introduction, we present some methods to obtain exact results. Covered topics include instantons, N=2 supersymmetry and localization,N=1 supersymmetry and holomorphy, and finally the Dijgraaf-Vafa matrix model formalism and the perturbative generalized Konishi anomaly equations. These preliminaries were chosen to enlighten the presentation of our results. A brief overview of our results is then. This includes localization in some N=1 gauge theories, its applications to the computation of chiral correlators as well as a non-perturbative discussion of the generalized Konishi equations and of the Dijkgraaf-Vafa glueball superpotential. We insist on the ideas and the results, postponing the details for the second part, which consists of a faithful reproduction of the papers published during this thesis and in which the author has been involved. /<p><p>Dans cette thèse, nous étudions certains aspects non-perturbatifs des théories de jauge supersymétriques N=1. Plus précisemment, nous montrons comment les valeurs moyennes des opérateurs chiraux (qui préservent la moitié des supercharges) dans les vides quantiques peuvent être calculées sans approximations, à partir d'une approche basée sur l'intégrale fonctionnelle sur les champs microscopiques. <p><p>Ce mémoire est divisé en deux parties. La première consiste en une introduction à l'approche microscopique des théories de jauge supersymétriques. Une grande fraction de celle-ci est dédiée à la présentation des concepts et méthodes qui sont à la base du développement de ce formalisme et de nos recherches. Ceci inclut les instantons, la supersymétrie N=2 et la localisation dans l'intégrale fonctionnelle, la supersymétrie N=1 et l'holomorphie, et enfin l'approche de Dijkgraaf-Vafa basée sur un modèle de matrices et les équations d'anomalie généralisées de Konishi. Ensuite, nous présentons le formalisme microscopique et les résultats obtenus durant cette thèse. Nous expliquons comment utiliser la technique de localisation dans certaines théories de jauge N=1 et comment l'appliquer au calcul des valeurs moyennes des opérateurs chiraux. Nous discutons également de façon non-perturbative les équations d'anomalie généralisées de Konishi et le superpotentiel de Dijkgraaf-Vafa. La plupart des résultats exacts connus dans les théories de jauge N=1 sont reproduits, dont la condensation des gluinos et la brisure de la symétrie chirale.<p>Nous insistons sur les idées et les résultats plutôt que sur les détails techniques. Ceux-ci sont décrits dans la seconde partie de ce mémoire, qui consiste en une reproduction fidèle des travaux publiés durant cette thèse. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Cette thèse est organisé en deux parties. Dans la première partie nous nous adressons à un problème vieux dans la théorie de jauge - le calcul du spectre et des fonctions d'onde. La stratégie que nous proposons est de construire une base d'états stochastiques de liens de Bargmann, construite à partir d'une distribution physique de densité de probabilité. Par la suite, nous calculons les amplitudes de transition entre ces états par une approche analytique, en utilisant des intégrales de chemin standards ainsi que la théorie des groupes. Également, nous calculons numériquement matrices symétrique et hermitienne des amplitudes de transition, via une méthode Monte Carlo avec échantillonnage pondéré. De chaque matrice, nous trouvons les valeurs propres et les vecteurs propres. En appliquant cette méthode â la théorie de jauge U(l) en deux dimensions spatiales, nous essayons d'extraire et de présenter le spectre et les fonctions d'onde de cette théorie pour des grilles de petite taille. En outre, nous essayons de faire quelques ajustement dynamique des fenêtres de spectres d'énergie et les fonctions d'onde. Ces fenêtres sont outiles de vérifier visuellement la validité de l'hamiltonien Monte Carlo, et de calculer observables physiques. Dans la deuxième partie nous étudions le comportement chaotique de deux systèmes de billard classiques, par la théorie des matrices aléatoires. Nous considérons un gaz périodique de Lorentz à deux dimensions dans des régimes de horizon fini et horizon infini. Nous construisons quelques matrices de longueurs de trajectoires de un particule mobile dans ce système, et réalisons des études des spectres de ces matrices par l'analyse numérique. Par le calcul numérique des distributions d'espacement de niveaux et rigidité spectral, nous constatons la statistique des espacements de niveaux suggère un comportement universel. Nous étudions également un tel comportement pour un système optique chaotique. En tant que quasi-système de potentiel, ses fluctuations dans l'espacement de ses niveaux suivent aussi un comportement GOE, ce qui est une signature d'universalité. Dans cette partie nous étudions également les propriétés de diffusion du gaz de Lorentz, par la longueur des trajectoires. En calculant la variance de ce quantité, nous montrons que dans le cas d'horizons finis, la variance de longueurs est linéaire par rapport au nombre de collisions de la particule dans le billard. Cette linéarité permet de définir un coefficient de diffusion pour le gaz de Lorentz, et dans un schéma général, elle est compatible avec les résultats obtenus par d'autres méthodes.