Recently, Udwani defined a new class of set functions under monotonicity and subadditivity, called submodular order functions, which is a subfamily of submodular functions. Informally, the submodular order function admits a very limited form of submodularity which is defined over a specific permutation of the ground set. His work pointed out the intriguing connection between streaming submodular maximization and submodular order maximization. Inspired by a 0.25-approximation streaming algorithm for maximizing a monotone submodular function subject to a matroid constraint, Udwani gave a 0.25-approximation algorithm for submodular order functions maximization subject to a matroid constraint. Based on the above results, we would like to explore further in which cases it is feasible to generalize from streaming submodular maximization algorithms to submodular order maximization algorithms. As a more general constraint than matroid, p-matchoid is a collection of p matroids with each matroid defined on some subsets of the ground set. Related work gave a 1/4p-approximation streaming algorithm for monotone submodular functions maximization under a p-matchoid constraint. Inspired by the above algorithms and the intriguing connection, we used some techniques to try to generalize several streaming algorithms for submodular functions to the offline algorithms for submodular order functions, including interleaved partitions and incremental values. Assuming that the objective function f is subadditive and non-negative, we gave a 1/4p-approximation algorithm for monotone submodular order maximization to a p-matchoid constraint. In addition, we summarize the failures of other cases. / Nyligen definierade Udwani en ny klass av mängdfunktioner under monotonicitet och subadditivitet, som kallas submodulära ordningsfunktioner och som är en underfamilj av submodulära funktioner. Informellt sett medger den submodulära ordningsfunktionen en mycket begränsad form av submodularitet som är definierad över en specifik permutation av grundmängden. Hans arbete pekade på det spännande sambandet mellan strömmande submodulär maximering och submodulär ordermaximering. Inspirerad av en strömningsalgoritm med 0.25-approximation för maximering av en monoton submodulär funktion som är föremål för en matroidbegränsning, gav Udwani en algoritm med 0.25-approximation för maximering av submodulära ordningsfunktioner som är föremål för en matroidbegränsning. Baserat på ovanstående resultat skulle vi vilja utforska ytterligare i vilka fall det är möjligt att generalisera från algoritmer för strömning av submodulära maximeringsfunktioner till algoritmer för maximering av submodulära orderfunktioner. Som en mer allmän begränsning än matroid är p-matchoid en samling av p matroider där varje matroid definieras på vissa delmängder av grundmängden. Relaterade arbeten gav en strömmingsalgoritm med 1/4p-tillnärmning för monoton submodulär funktionsmaximering under en p-matchoid-begränsning. Inspirerade av ovanstående algoritmer och det spännande sambandet använde vi vissa tekniker för att försöka generalisera flera strömningsalgoritmer för submodulära funktioner till offline-algoritmer för submodulära ordningsfunktioner, inklusive interleaved partitions och inkrementella värden. Under förutsättning att målfunktionen f är subadditiv och icke-negativ gav vi en algoritm för 1/4p-tillnärmning för monoton submodulär ordermaximering till ett p-matchoid-begränsningsvillkor. Dessutom sammanfattar vi misslyckanden i andra fall.

Diese Arbeit untersucht ordnungsinvariante Formeln der Logik erster Stufe (FO) und einiger ihrer Erweiterungen, sowie andere eng verwandte Konzepte der endlichen Modelltheorie. Viele Resultate der endlichen Modelltheorie nehmen an, dass Strukturen mit einer Einbettung ihres Universums in ein Anfangsstück der natürlichen Zahlen ausgestattet sind. Dies erlaubt es, beliebige Relationen (z.B. die lineare Ordnung) und Operationen (z.B. Addition, Multiplikation) von den natürlichen Zahlen auf solche Strukturen zu übertragen. Die resultierenden Relationen auf den endlichen Strukturen werden als numerische Prädikate bezeichnet. Werden numerische Prädikate in Formeln verwendet, beschränkt man sich dabei häufig auf solche Formeln, deren Wahrheitswert auf endlichen Strukturen invariant unter Änderungen der Einbettung der Strukturen ist. Wenn das einzige verwendete numerische Prädikat eine lineare Ordnung ist, spricht man beispielsweise von ordnungsinvarianten Formeln. Die Resultate dieser Arbeit können in drei Teile unterteilt werden. Der erste Teil betrachtet die Lokalitätseigenschaften von FO-Formeln mit Modulo-Zählquantoren, die beliebige numerische Prädikate invariant nutzen. Der zweite Teil betrachtet FO-Sätze, die eine lineare Ordnung samt der zugehörigen Addition auf invariante Weise nutzen, auf endlichen Bäumen. Es wird gezeigt, dass diese dieselben regulären Baumsprachen definieren, wie FO-Sätze ohne numerische Prädikate mit bestimmten Kardinalitätsprädikaten. Für den Beweis wird eine algebraische Charakterisierung der in dieser Logik definierbaren Baumsprachen durch Operationen auf Bäumen entwickelt. Der dritte Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der Ausdrucksstärke und der Prägnanz von FO und Erweiterungen von FO auf Klassen von Strukturen beschränkter Baumtiefe. / This thesis studies the concept of order-invariance of formulae of first-order logic (FO) and some of its extensions as well as other closely related concepts from finite model theory. Many results in finite model theory assume that structures are equipped with an embedding of their universe into an initial segment of the natural numbers. This allows to transfer arbitrary relations (e.g. linear order) and operations (e.g. addition, multiplication) on the natural numbers to structures. The arising relations on the structures are called numerical predicates. If formulae use these numerical predicates, it is often desirable to consider only such formulae whose truth value in finite structures is invariant under changes to the embeddings of the structures. If the numerical predicates include only a linear order, such formulae are called order-invariant. We study the effect of the invariant use of different kinds of numerical predicates on the expressive power of FO and extensions thereof. The results of this thesis can be divided into three parts. The first part considers the locality and non-locality properties of formulae of FO with modulo-counting quantifiers which may use arbitrary numerical predicates in an invariant way. The second part considers sentences of FO which may use a linear order and the corresponding addition in an invariant way and obtains a characterisation of the regular finite tree languages which can be defined by such sentences: these are the same tree languages which are definable by FO-sentences without numerical predicates with certain cardinality predicates. For the proof, we obtain a characterisation of the tree languages definable in this logic in terms of algebraic operations on trees. The third part compares the expressive power and the succinctness of different ex- tensions of FO on structures of bounded tree-depth.

Wir beschäftigen uns mit Problemen der algorithmischen Gruppentheorie und untersuchen dabei die Komplexität von komprimierten Versionen des Wortproblems und des Konjugationsproblems für endlich erzeugte Gruppen. Das Wortproblem fragt für eine feste, endlich erzeugte Gruppe ob ein gegebenes Wort über der Erzeugermenge das neutrale Element der Gruppe repräsentiert. Wir betrachten das gegebene Wort jedoch in einer komprimierten Form, als Straight-line Program (SLP) und untersuchen die Komplexität dieses Problems, das wir \'komprimiertes Wortproblem\' nennen. SLPs sind kontextfreie Grammatiken, die genau einen String erzeugen. Die Eingabegröße ist dabei stets die Größe des gegebenen SLPs. Eine Hauptmotivation ist dabei, dass für eine feste endlich erzeugte Gruppe das Wortproblem ihrer Automorphismengruppe durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf das komprimierte Wortproblem der Gruppe selbst reduzierbar ist. Wir untersuchen das komprimierte Wortproblem für die verbreiteten Gruppenerweiterungen HNN-Erweiterungen (amalgamierte Produkte und Graphprodukte) und können zeigen, dass sich Instanzen des komprimierten Wortproblems von einer Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen des komprimierten Wortproblems der Basisgruppe (respektive Basisgruppen und Knotengruppen) reduzieren lassen. Weiterhin zeigen wir, dass das komprimierte Wortproblem für endlich erzeugte nilpotente Gruppen von einer Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ist. Wir betrachten außerdem eine komprimierte Variante des Konjugationsproblems. Das unkomprimierte Konjugationsproblem fragt für zwei gegebene Wörter über den Erzeugern einer festen endlich erzeugten Gruppe, ob sie in dieser Gruppe konjugiert sind. Beim komprimierten Konjugationsproblem besteht die Eingabe aus zwei SLPs und es wird gefragt, ob die beiden Wörter die von den SLPs erzeugt werden in der Gruppe konjugierte Elemente präsentieren. Wir konnten zeigen, dass sich das komprimierte Konjugationsproblem für Graphgruppen in Polynomialzeit entscheiden lässt. Weiterhin haben wir das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppen von Graphprodukten endlich erzeugter Gruppen untersucht. Durch den engen Zusammenhang des komprimierten Konjugationsproblems einer Gruppe mit dem Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe konnten wir zeigen, dass sich das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe eines Graphprodukts von endlich erzeugten Gruppen durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen von simultanen komprimierten Konjugationsproblemen der Knotengruppen und Instanzen von komprimierten Wortproblemen der Knotengruppen reduzieren lässt. Als Anwendung gelten obige Resultate auch für right-angled Coxetergruppen und Graphgruppen, da beide spezielle Graphprodukte sind. So folgt beispielsweise, dass das komprimierte Wortproblem einer right-angled Coxetergruppe in Polynomialzeit entscheidbar ist.

Die Informatik ist von besonderer Bedeutung für die Gestaltung unser alltäglichen Lebensumstände und ist eine Schlüsseltechnologie des 21. Jahrhunderts. Die Fakultät für Informatik vertritt dieses Fachgebiet umfassend und kompetent mit anwendungsorientierten Schwerpunktsetzungen. In unseren Forschungsschwerpunkten - Eingebettete selbstorganisierende Systeme - Intelligente multimediale Systeme - Parallele verteilte Systeme bieten wir international wettbewerbsfähige Forschung und Entwicklung zu aktuellen Problemstellungen. Unsere Lehre basiert auf dem Leitmotiv der beständigen Erneuerung aus der Forschung. Hieraus abgeleitet bieten wir zeitgemäße Bachelor- und Masterstudiengänge mit hervorragenden Studienbedingungen. Die Fakultät hat den Anspruch eines möglichst persönlichen Umgangs zwischen Lehrkörper und Studenten. Mit der Schriftenreihe „Chemnitzer Informatik Berichte“ geben wir Einblicke in die Forschungspraxis der Fakultät. Dabei werden unterschiedliche Forschungsthemen aus den drei Forschungsschwerpunkten und allen Professuren der Fakultät vorgestellt. / Computer science, as a key technology of the 21th century, has an exceptional impact on our everyday life and living standards. The Faculty of Computer Science represents this scientific field in a comprehensive and proficient manner with an application-orientated choice of topics. In the fields of - Embedded and self-organizing systems - Intelligent multimedia systems - Parallel and distributed systems we offer research and development for current problems and challenges on an internationally competitive level. The guiding principle of our education is the continuous innovation through advances in research. Consequently, we are able to provide modern Bachelor and Master programs with excellent academic conditions. The faculty strives to provide a maximally personal interaction between students and staff. With the series of publications „Chemnitz Computer Science Reports“ we give insigths into the reasearch practice of the faculty. We present different subjects of research from the tree research fields and all of the professorships of the Faculty of Computer Science.

Die Informatik ist von besonderer Bedeutung für die Gestaltung unser alltäglichen Lebensumstände und ist eine Schlüsseltechnologie des 21. Jahrhunderts. Die Fakultät für Informatik vertritt dieses Fachgebiet umfassend und kompetent mit anwendungsorientierten Schwerpunktsetzungen. In unseren Forschungsschwerpunkten - Eingebettete selbstorganisierende Systeme - Intelligente multimediale Systeme - Parallele verteilte Systeme bieten wir international wettbewerbsfähige Forschung und Entwicklung zu aktuellen Problemstellungen. Unsere Lehre basiert auf dem Leitmotiv der beständigen Erneuerung aus der Forschung. Hieraus abgeleitet bieten wir zeitgemäße Bachelor- und Masterstudiengänge mit hervorragenden Studienbedingungen. Die Fakultät hat den Anspruch eines möglichst persönlichen Umgangs zwischen Lehrkörper und Studenten. Mit der Schriftenreihe „Chemnitzer Informatik Berichte“ geben wir Einblicke in die Forschungspraxis der Fakultät. Dabei werden unterschiedliche Forschungsthemen aus den drei Forschungsschwerpunkten und allen Professuren der Fakultät vorgestellt. / Computer science, as a key technology of the 21th century, has an exceptional impact on our everyday life and living standards. The Faculty of Computer Science represents this scientific field in a comprehensive and proficient manner with an application-orientated choice of topics. In the fields of - Embedded and self-organizing systems - Intelligent multimedia systems - Parallel and distributed systems we offer research and development for current problems and challenges on an internationally competitive level. The guiding principle of our education is the continuous innovation through advances in research. Consequently, we are able to provide modern Bachelor and Master programs with excellent academic conditions. The faculty strives to provide a maximally personal interaction between students and staff. With the series of publications „Chemnitz Computer Science Reports“ we give insigths into the reasearch practice of the faculty. We present different subjects of research from the tree research fields and all of the professorships of the Faculty of Computer Science.

Wir beschäftigen uns mit Problemen der algorithmischen Gruppentheorie und untersuchen dabei die Komplexität von komprimierten Versionen des Wortproblems und des Konjugationsproblems für endlich erzeugte Gruppen. Das Wortproblem fragt für eine feste, endlich erzeugte Gruppe ob ein gegebenes Wort über der Erzeugermenge das neutrale Element der Gruppe repräsentiert. Wir betrachten das gegebene Wort jedoch in einer komprimierten Form, als Straight-line Program (SLP) und untersuchen die Komplexität dieses Problems, das wir \''komprimiertes Wortproblem\'' nennen. SLPs sind kontextfreie Grammatiken, die genau einen String erzeugen. Die Eingabegröße ist dabei stets die Größe des gegebenen SLPs. Eine Hauptmotivation ist dabei, dass für eine feste endlich erzeugte Gruppe das Wortproblem ihrer Automorphismengruppe durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf das komprimierte Wortproblem der Gruppe selbst reduzierbar ist. Wir untersuchen das komprimierte Wortproblem für die verbreiteten Gruppenerweiterungen HNN-Erweiterungen (amalgamierte Produkte und Graphprodukte) und können zeigen, dass sich Instanzen des komprimierten Wortproblems von einer Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen des komprimierten Wortproblems der Basisgruppe (respektive Basisgruppen und Knotengruppen) reduzieren lassen. Weiterhin zeigen wir, dass das komprimierte Wortproblem für endlich erzeugte nilpotente Gruppen von einer Turingmaschine in Polynomialzeit entscheidbar ist. Wir betrachten außerdem eine komprimierte Variante des Konjugationsproblems. Das unkomprimierte Konjugationsproblem fragt für zwei gegebene Wörter über den Erzeugern einer festen endlich erzeugten Gruppe, ob sie in dieser Gruppe konjugiert sind. Beim komprimierten Konjugationsproblem besteht die Eingabe aus zwei SLPs und es wird gefragt, ob die beiden Wörter die von den SLPs erzeugt werden in der Gruppe konjugierte Elemente präsentieren. Wir konnten zeigen, dass sich das komprimierte Konjugationsproblem für Graphgruppen in Polynomialzeit entscheiden lässt. Weiterhin haben wir das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppen von Graphprodukten endlich erzeugter Gruppen untersucht. Durch den engen Zusammenhang des komprimierten Konjugationsproblems einer Gruppe mit dem Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe konnten wir zeigen, dass sich das Wortproblem der äußeren Automorphismengruppe eines Graphprodukts von endlich erzeugten Gruppen durch eine Turingmaschine in Polynomialzeit auf Instanzen von simultanen komprimierten Konjugationsproblemen der Knotengruppen und Instanzen von komprimierten Wortproblemen der Knotengruppen reduzieren lässt. Als Anwendung gelten obige Resultate auch für right-angled Coxetergruppen und Graphgruppen, da beide spezielle Graphprodukte sind. So folgt beispielsweise, dass das komprimierte Wortproblem einer right-angled Coxetergruppe in Polynomialzeit entscheidbar ist.

Combinatorial objects can be represented by strings, such as 21534 for the permutation (1 2) (3 5 4), or 110100 for the binary tree corresponding to the balanced parentheses (()()). Given a string s = s1 s2 sn, the right-shift operation shift(s, i, j) replaces the substring si si+1..sj by si+1..sj si. In other words, si is right-shifted into position j by applying the permutation (j j−1 .. i) to the indices of s. Right-shifts include prefix-shifts (i = 1) and adjacent-transpositions (j = i+1). A fixed-content language is a set of strings that contain the same multiset of symbols. Given a fixed-content language, a shift Gray code is a list of its strings where consecutive strings differ by a shift. This thesis asks if shift Gray codes exist for a variety of combinatorial objects. This abstract question leads to a number of practical answers. The first prefix-shift Gray code for multiset permutations is discovered, and it provides the first algorithm for generating multiset permutations in O(1)-time while using O(1) additional variables. Applications of these results include more efficient exhaustive solutions to stacker-crane problems, which are natural NP-complete traveling salesman variants. This thesis also produces the fastest algorithm for generating balanced parentheses in an array, and the first minimal-change order for fixed-content necklaces and Lyndon words. These results are consequences of the following theorem: Every bubble language has a right-shift Gray code. Bubble languages are fixed-content languages that are closed under certain adjacent-transpositions. These languages generalize classic combinatorial objects: k-ary trees, ordered trees with fixed branching sequences, unit interval graphs, restricted Schr oder and Motzkin paths, linear-extensions of B-posets, and their unions, intersections, and quotients. Each Gray code is circular and is obtained from a new variation of lexicographic order known as cool-lex order. Gray codes using only shift(s, 1, n) and shift(s, 1, n−1) are also found for multiset permutations. A universal cycle that omits the last (redundant) symbol from each permutation is obtained by recording the first symbol of each permutation in this Gray code. As a special case, these shorthand universal cycles provide a new fixed-density analogue to de Bruijn cycles, and the first universal cycle for the "middle levels" (binary strings of length 2k + 1 with sum k or k + 1).