Dans cette thèse, nous nous intéressons à diverses propriétés algébriques des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes de variétés. On appelle fragmentation la possibilité d'écrire un homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Tout d'abord, nous étudions la longueur des commutateurs sur le groupe des homéomorphismes du tore et de l'anneau, ainsi que la norme de fragmentation, qui associe à tout homéomorphisme le nombre minimal de facteurs nécessaires pour écrire cet homéomorphisme en tant que composé d'homéomorphismes supportés dans des boules. Dans une deuxième partie de la thèse, nous abordons una autre propriété algébrique des groupes d'homéomorphismes et de difféomorphismes : la distorsion. Celle-ci est reliée de manière surprenante à des propriétés de fragmentation des homéomorphismes. / In this thesis, we are interested in various algebraic properties of groups of homeomorphisms and diffeomorphisms of manifolds. We call fragmentation the possibility to write a homeomorphism as a composition of homeomorphisms supported in balls. First, we study the commutator length on the group of homeomorphisms of the torus and of the annulus, as well as the fragmentation norm, which associates to any homeomorphism the minimal number of factors necessary to write this homeomorphism as a composition of homeomorphisms supported in balls. In a second part of this thesis, we deal with another algebraic property of homeomorphism and diffeomorphism groups: the distortion. This last notion is surprisingly related to fragmentation properties of homeomorphisms.

Soit G un groupe de Lie semisimple (de rang supérieur) et Γ un sous-groupe discret Zariski dense de G (de covolume infini). Dans cette thèse, on traite de deux questions reliées au cône limite de Benoist de Γ : l’une de marche aléatoire et l’autre de mélange topologique du flot directionnel des chambres de Weyl. Dans l’introduction, on énonce les résultats principaux de cette thèse dans leur contexte. Le second chapitre comporte des rappels sur les groupes de Lie et les éléments loxodromiques. Dans le troisième chapitre, on réalise tous les points de l’intérieur du cône limite par des vecteurs de Lyapunov. Dans le quatrième chapitre, on construit des coordonnées locales de G ainsi que des outils cruciaux pour la suite. Dans le cinquième chapitre, on introduit les ensembles invariants naturels de G. Dans le dernier chapitre de cette thèse, on prouve le critère de mélange topologique des flots directionnels réguliers des chambres de Weyl obtenu avec O. Glorieux et on généralise partiellement ce critère de mélange à Γ\G pour une classe de groupes de Lie incluant SL(n, R), SL(n, C), SO (p, p + 2). / Let G be a semisimple Lie group (of higher rank) and Γ a Zariski dense subgroup of G (of infinite covolume). In this thesis, we discuss two questions related to the Benoist limit cone of Γ : one concerns random walks, the other topological mixing of the directional Weyl chamber flow. In the introduction, we state the main results of this thesis in their context. In the second chapter, we recall some general facts about Lie groups and loxodromic elements. In the third chapter, we prove that every point of the interior of the limit cone is a Lyapunov vector. In the fourth chapter, we construct local coordinates of G and give key tools for the remaining parts. In the fifth chapter, we introduce the invariant subsets of G. In the last chapter of this thesis, we prove the topological mixing criterion of regular directional Weyl chamber flow obtained with O. Glorieux and we generalize this criterion to Γ\G for a class of Lie groups including SL(n, R), SL(n, C), SO(p, p + 2).

Cette thèse rassemble des travaux qui abordent des sujets de la dynamique topologique par le biais de la logique et de la théorie descriptive des ensembles, et réciproquement. La première partie est consacrée à l'étude des groupes polonais Roelcke précompacts. Cette famille comprend plusieurs groupes de permutations, d'isométries et d'homéomorphismes d'objets mathématiques distingués. Basés sur des travaux précédents de Ben Yaacov et Tsankov, nous développons une traduction modèle-théorique de plusieurs aspects dynamiques de ces groupes. Puis nous utilisons cette traduction pour obtenir une compréhension précise, dans ce cas, de la hiérarchie dynamique étudiée par Glasner et Megrelishvili. Ensuite (avec I. Ben Yaacov et T. Tsankov), nous donnons une description modèle-théorique de la compactification hilbertienne des groupes oligomorphes, et nous caractérisons les groupes oligomorphes Eberlein. Nous étudions également les groupes d'automorphismes des structures randomisées, ainsi que les modèles séparables de la théorie des belles paires de randomisations. Dans la deuxième partie (avec J. Melleray), nous étudions les groupes pleins d'homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor et leurs mesures invariantes. Nous montrons que les groupes pleins des homéomorphismes minimaux n'admettent pas de topologie polonaise, puis qu'ils sont des sous-ensembles non-boréliens du groupe d'homéomorphismes de l'espace de Cantor. Ensuite, nous étudions les clôtures des groupes pleins au moyen de la théorie de Fraïssé. Finalement, nous donnons une caractérisation des ensembles de mesures invariantes des homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor / This thesis gathers different works approaching subjects of topological dynamics by means of logic and descriptive set theory, and conversely. The first part is devoted to the study of Roelcke precompact Polish groups, which are the same as the automorphism groups of N0-categorical structures. They form a rich family of examples of infinite-dimensional topological groups, including several interesting permutation groups, isometry groups and homeomorphism groups of distinguished mathematical objects. Building on previous work of Ben Yaacov and Tsankov, we develop a model-theoretic translation of several dynamical aspects of these groups. Then we use this translation to obtain a precise understanding, in this case, of the dynamical hierarchy studied by Glasner and Megrelishvili. Later, with I. Ben Yaacov and T. Tsankov, we provide a model-theoretic description of the Hilbert-compactification of oligomorphic groups, and we give a characterization of Eberlein oligomorphic groups. We also study automorphism groups of randomized structures, as well the separable models of the theory of beautiful pairs of randomizations. The second part, with J. Melleray, studies full groups of minimal homeomorphisms of the Cantor space and their invariant measures. We show that full groups of minimal homeomorphisms do not admit a Polish group topology, and are moreover non-Borel subsets of the homeomorphism group of the Cantor space. We then study the closures of full groups by means of Fraïssé theory. Finally, we give a characterization of the sets of invariant measures of minimal homeomorphisms of the Cantor space

In view of the fact that a same complex phenomenon can be approached by different conceptual frameworks, it is natural to inquire on the possibility to find connections between different types of quantities, such as topological, dynamical, statistical or thermodynamical, characterizing the same system. The present work is built on the idea that this line of approach can provide interesting insights on possible universal principles governing complex phenomena. In Chapter I we introduce concepts and tools of dynamical systems and thermodynamics as applied in macroscopic scale description as well as, for a later use, a number of selected representative models. In Chapter II we briefly present the elements of the theory of Markov processes describing a large class of stochastic process and also introduce some important concepts on the probabilistic description of deterministic systems. This chapter ends with a thermodynamic formulation accounting for the evolution of the entropy under the effect of stochastic fluctuations. In Chapter III, after introducing the main concepts and recent advances in network theory, we provide a connection between dynamical systems and network theory, which shows how universal structural properties of evolving networks can arise from deterministic dynamics. More specifically, we show explicitly the relation between the connectivity patterns of these networks and the indicators of the underlying dynamics, such as the local Lyapunov exponents. Our analysis is applied to representative models of chaotic maps, chaotic flows and is finally extended to stochastic processes. In Chapter IV we address the inverse problem, namely, processes whose dynamics is determined, in part, by the structure of the network in which they are embedded. In particular, we focus on systems of particles diffusing on a lattice and reacting instantaneously upon encountering each other. We study the role of the topology, the degree of synchronicity of motion and the reaction mechanism on the efficiency of the process. This lead us to identify a common generic mechanism responsible for the behavior of the efficiency, as a function of the control parameters. Finally, in Chapter V we study the connection between the topology and the thermodynamic properties of reaction networks, with focus on the entropy production and the system’s efficiency at nonequilibrium steady states. We also explore the connection between dynamic and thermodynamic properties of nonlinear feedbacks, as well as the response properties of reaction networks against both deterministic and stochastic external perturbations. We address networks of varying topologies, from regular lattices to complex structures./Le présent travail s’inscrit dans le domaine de recherche sur les systèmes complexes. Différentes approches, basées des systèmes dynamiques, de la thermodynamique des systèmes hors d’équilibre, de la physique statistique et, plus récemment, de la théorie des réseaux, sont combinés afin d’explorer des liens entre différentes types de grandeurs qui caractérisent certaines classes de comportements complexes. Dans le Chapitre I nous introduisons les principaux concepts et outils de systèmes dynamiques et de thermodynamique. Dans le Chapitre II nous présentons premièrement des éléments de la théorie de processus de Markov, ainsi que les concepts à la base de la description probabiliste des systèmes déterministes. Nous finissons le chapitre en proposant une formulation thermodynamique qui décrit l’évolution de l’entropie hors d’équilibre, soumis à l’influence de fluctuations stochastiques. Dans le Chapitre III nous introduisons les concepts de base en théorie des réseaux, ainsi qu’un résumé générale des progrès récents dans le domaine. Nous établissons ensuite une connexion entre la théorie des systèmes dynamiques et la théorie de réseaux. Celle-ci permet d’approfondir la compréhension des mécanismes responsables de l’émergence des propriétés structurelles dans des réseaux crées par des lois dynamiques déterministes. En particulier, nous mettons en évidence la relation entre des motifs de connectivité de ce type de réseaux et des indicateurs de la dynamique sous-jacente, tel que des exposant de Lyapounov locaux. Notre analyse est illustrée par des applications et des flots chaotiques et étendue à des processus stochastiques. Dans le Chapitre IV nous étudions le problème complémentaire, à savoir, celui de processus dont la dynamique est déterminée, en partie, par la structure du réseau dans lequel elle se déroule. Plus précisément, nous nous concentrons sur le cas de systèmes de particules réactives, diffusent au travers d’un réseau et réagissant instantanément lorsqu’un rencontre se produit entre elles. Nous étudions le rôle de la topologie, du degré de synchronicité des mouvements et aussi celui du mécanisme de réaction sur l’efficacité du processus. Dans les différents modèles étudiés, nous identifions un mécanisme générique commun, responsable du comportement de l’efficacité comme fonction des paramètres de contrôle. Enfin, dans le Chapitre V nous abordons la connexion entre la topologie et les propriétés thermodynamiques des réseaux de réactions, en analysant le comportement local et global de la production d’entropie et l’efficacité du système dans des état stationnaires de non-équilibre. Nous explorons aussi la connexion entre la dynamique et les propriétés de boucles de rétroaction non linéaires, ainsi que les propriétés de réponse des réseaux de réaction à des perturbations stochastiques et déterministes externes. Nous considérons le cas de réseaux à caractère régulier aussi bien que celui de réseaux complexes.<p><p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished