Cette thèse présente trois principaux sujets de recherche, les deux premiers étant indépendants et le dernier indiquant la relation des deux premières problématiques dans un cas concret.Dans la première partie nous nous intéressons au problème de transport optimal martingale dans l’espace de Skorokhod, dont le premier but est d’étudier systématiquement la tension des plans de transport martingale. On s’intéresse tout d’abord à la semicontinuité supérieure du problème primal par rapport aux distributions marginales. En utilisant la S-topologie introduite par Jakubowski, on dérive la semicontinuité supérieure et on montre la première dualité. Nous donnons en outre deux problèmes duaux concernant la surcouverture robuste d’une option exotique, et nous établissons les dualités correspondantes, en adaptant le principe de la programmation dynamique et l’argument de discrétisation initie par Dolinsky et Soner.La deuxième partie de cette thèse traite le problème du plongement de Skorokhod optimal. On formule tout d’abord ce problème d’optimisation en termes de mesures de probabilité sur un espace élargi et ses problèmes duaux. En utilisant l’approche classique de la dualité; convexe et la théorie d’arrêt optimal, nous obtenons les résultats de dualité. Nous rapportons aussi ces résultats au transport optimal martingale dans l’espace des fonctions continues, d’où les dualités correspondantes sont dérivées pour une classe particulière de fonctions de paiement. Ensuite, on fournit une preuve alternative du principe de monotonie établi par Beiglbock, Cox et Huesmann, qui permet de caractériser les optimiseurs par leur support géométrique. Nous montrons à la fin un résultat de stabilité qui contient deux parties: la stabilité du problème d’optimisation par rapport aux marginales cibles et le lien avec un autre problème du plongement optimal.La dernière partie concerne l’application de contrôle stochastique au transport optimal martingale avec la fonction de paiement dépendant du temps local, et au plongement de Skorokhod. Pour le cas d’une marginale, nous retrouvons les optimiseurs pour les problèmes primaux et duaux via les solutions de Vallois, et montrons en conséquence l’optimalité des solutions de Vallois, ce qui regroupe le transport optimal martingale et le plongement de Skorokhod optimal. Quand au cas de deux marginales, on obtient une généralisation de la solution de Vallois. Enfin, un cas spécial de plusieurs marginales est étudié, où les temps d’arrêt donnés par Vallois sont bien ordonnés. / This PhD dissertation presents three research topics, the first two being independent and the last one relating the first two issues in a concrete case.In the first part we focus on the martingale optimal transport problem on the Skorokhod space, which aims at studying systematically the tightness of martingale transport plans. Using the S-topology introduced by Jakubowski, we obtain the desired tightness which yields the upper semicontinuity of the primal problem with respect to the marginal distributions, and further the first duality. Then, we provide also two dual formulations that are related to the robust superhedging in financial mathematics, and we establish the corresponding dualities by adapting the dynamic programming principle and the discretization argument initiated by Dolinsky and Soner.The second part of this dissertation addresses the optimal Skorokhod embedding problem under finitely-many marginal constraints. We formulate first this optimization problem by means of probability measures on an enlarged space as well as its dual problems. Using the classical convex duality approach together with the optimal stopping theory, we obtain the duality results. We also relate these results to the martingale optimal transport on the space of continuous functions, where the corresponding dualities are derived for a special class of reward functions. Next, We provide an alternative proof of the monotonicity principle established in Beiglbock, Cox and Huesmann, which characterizes the optimizers by their geometric support. Finally, we show a stability result that is twofold: the stability of the optimization problem with respect to target marginals and the relation with another optimal embedding problem.The last part concerns the application of stochastic control to the martingale optimal transport with a payoff depending on the local time, and the Skorokhod embedding problem. For the one-marginal case, we recover the optimizers for both primal and dual problems through Vallois' solutions, and show further the optimality of Vallois' solutions, which relates the martingale optimal transport and the optimal Skorokhod embedding. As for the two-marginal case, we obtain a generalization of Vallois' solution. Finally, a special multi-marginal case is studied, where the stopping times given by Vallois are well ordered.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie nous nous intéressons au problème du transport optimal martingale, dont le but premier est de trouver des bornes de non-arbitrage pour des options quelconques. Nous nous intéressons tout d'abord à la question en temps discret de l'existence d'une loi de probabilité sous laquelle le processus canonique est martingale, ayant deux lois marginales fixées. Ce résultat dû à Strassen (1965) est le point de départ pour le problème primal de transport optimal martingale. Nous en donnons une preuve basée sur des techniques financières de maximisation d'utilité, en adaptant une méthode développée par Rogers pour prouver le théorème fondamental d'évaluation d'actif. Ces techniques correspondent à une version en temps discrétisé du transport optimal martingale. Nous considérons ensuite le problème de transport optimal martingale en temps continu introduit dans le cadre des options lookback par Galichon, Henry-Labordère et Touzi. Nous commencons par établir un résultat de dualité partiel concernant la surcouverture robuste d'une option quelconque. Pour cela nous adaptons au transport optimal martingale des travaux récents de Neufeld et Nutz. Nous étudions ensuite le problème de maximisation d'utilité robuste d'une option quelconque avec fonction d'utilité exponentielle dans le cadre du transport optimal martingale, et en déduisons le prix d'indifférence d'utilité robuste, sous une dynamique où le ratio de sharpe est constant et connu. Nous prouvons en particulier que ce prix d'indifférence d'utilité robuste est égal au prix de surcouverture robuste. La deuxième partie de cette thèse traite tout d'abord d'un problème de liquidation optimale d'un actif indivisible. Nous étudions la profitabilité de l'ajout d'une stratégie d'achat et de vente d'un actif orthogonal au premier sur la stratégie de liquidation optimale de l'actif indivisible. Nous fournissons ensuite quelques exemples illustratifs. Le dernier chapitre de cette thèse concerne le problème du prix d'indifférence d'utilité d'une option européenne en présence de petits coûts de transaction. Nous nous inspirons des travaux récents de Soner et Touzi pour obtenir un développement asymptotique des fonctions valeurs des problèmes de Merton avec et sans l'option. Ces développements sont obtenus en utilisant des techniques d'homogénisation. Nous obtenons formellement un système d'équations vérifiées par les composantes du problème et nous vérifions que celles-ci en sont bien solution. Nous en déduisons enfin un développement asymptotique du prix d'indifférence d'utilité souhaité.