Cette thèse traite de plusieurs sujets en mathématiques financières: risque de crédit, optimisation de portefeuille et modélisation des taux d’intérêts. Le chapitre 1 consiste en trois études dans le domaine du risque de crédit. La plus innovante est la première dans laquel nous construisons un modèle tel que la propriété d’immersion n’est vérifiée sous aucune mesure martingale équivalente. Le chapitre 2 étudie le problème de maximisation de la somme d’une utilité de la richesse terminale et d’une utilité de la consommation. Le chapitre 3 étudie l’évaluation des produits dérivés de taux d’intérêt dans un cadre multicourbe, qui prend en compte la différence entre une courbe de taux sans risque et des courbes de taux Libor de différents tenors. / This thesis deals with several topics in mathematical finance: credit risk, portfolio optimization and interest rate modeling. Chapter 1 consists of three studies in the field of credit risk. The most innovative is the first one, where we construct a model such that the immersion property does not hold under any equivalent martingale measure. Chapter 2 studies the problem of maximization of the sum of the utility of the terminal wealth and the utility of the consumption, in a case where a sudden jump in the risk-free interest rate induces market incompleteness. Chapter 3 studies the valuation of Libor interest rate derivatives in a multiple-curve setup, which accounts for the spreads between a risk-free discount curve and Libor curves of different tenors.

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier regroupant deux problématiques distinctes. Dans la première partie nous nous intéressons au problème du transport optimal martingale, dont le but premier est de trouver des bornes de non-arbitrage pour des options quelconques. Nous nous intéressons tout d'abord à la question en temps discret de l'existence d'une loi de probabilité sous laquelle le processus canonique est martingale, ayant deux lois marginales fixées. Ce résultat dû à Strassen (1965) est le point de départ pour le problème primal de transport optimal martingale. Nous en donnons une preuve basée sur des techniques financières de maximisation d'utilité, en adaptant une méthode développée par Rogers pour prouver le théorème fondamental d'évaluation d'actif. Ces techniques correspondent à une version en temps discrétisé du transport optimal martingale. Nous considérons ensuite le problème de transport optimal martingale en temps continu introduit dans le cadre des options lookback par Galichon, Henry-Labordère et Touzi. Nous commencons par établir un résultat de dualité partiel concernant la surcouverture robuste d'une option quelconque. Pour cela nous adaptons au transport optimal martingale des travaux récents de Neufeld et Nutz. Nous étudions ensuite le problème de maximisation d'utilité robuste d'une option quelconque avec fonction d'utilité exponentielle dans le cadre du transport optimal martingale, et en déduisons le prix d'indifférence d'utilité robuste, sous une dynamique où le ratio de sharpe est constant et connu. Nous prouvons en particulier que ce prix d'indifférence d'utilité robuste est égal au prix de surcouverture robuste. La deuxième partie de cette thèse traite tout d'abord d'un problème de liquidation optimale d'un actif indivisible. Nous étudions la profitabilité de l'ajout d'une stratégie d'achat et de vente d'un actif orthogonal au premier sur la stratégie de liquidation optimale de l'actif indivisible. Nous fournissons ensuite quelques exemples illustratifs. Le dernier chapitre de cette thèse concerne le problème du prix d'indifférence d'utilité d'une option européenne en présence de petits coûts de transaction. Nous nous inspirons des travaux récents de Soner et Touzi pour obtenir un développement asymptotique des fonctions valeurs des problèmes de Merton avec et sans l'option. Ces développements sont obtenus en utilisant des techniques d'homogénisation. Nous obtenons formellement un système d'équations vérifiées par les composantes du problème et nous vérifions que celles-ci en sont bien solution. Nous en déduisons enfin un développement asymptotique du prix d'indifférence d'utilité souhaité.

Cette thèse est constituée de deux parties pouvant être lues indépendamment. Dans la première partie on s'intéresse à la modélisation mathématique du risque de liquidité. L'aspect étudié ici est la contrainte sur les dates des transactions, c'est-à-dire que contrairement aux modèles classiques où les investisseurs peuvent échanger les actifs en continu, on suppose que les transactions sont uniquement possibles à des dates aléatoires discrètes. On utilise alors des techniques de contrôle optimal (programmation dynamique, équations d'Hamilton-Jacobi-Bellman) pour identifier les fonctions valeur et les stratégies d'investissement optimales sous ces contraintes. Le premier chapitre étudie un problème de maximisation d'utilité en horizon fini, dans un cadre inspiré des marchés de l'énergie. Dans le deuxième chapitre on considère un marché illiquide à changements de régime, et enfin dans le troisième chapitre on étudie un marché où l'agent a la possibilité d'investir à la fois dans un actif liquide et un actif illiquide, ces derniers étant corrélés. Dans la deuxième partie on présente des méthodes probabilistes de quantification pour résoudre numériquement un problème de switching optimal. On considère d'abord une approximation en temps discret du problème et on prouve un taux de convergence. Ensuite on propose deux méthodes numériques de quantification : une approche markovienne où on quantifie la loi normale dans le schéma d'Euler, et dans le cas où la diffusion n'est pas contrôlée, une approche de quantification marginale inspirée de méthodes numériques pour le problème d'arrêt optimal.

Nous étudions le lien entre EDS rétrogrades et certains problèmes d'optimisation stochas- tique ainsi que leurs applications en finance. Dans la première partie, nous nous intéressons à la représentation par EDSR de problème d'optimisation stochastique séquentielle : le contrôle impul- sionnel et le switching optimal. Nous introduisons la notion d'EDSR contrainte à sauts et montrons qu'elle donne une représentation des solutions de problème de contrôle impulsionnel markovien. Nous lions ensuite cette classe d'EDSR aux EDSRs à réflexions obliques et aux processus valeurs de problèmes de switching optimal. Dans la seconde partie nous étudions la discrétisation des EDSRs intervenant plus haut. Nous introduisons une discrétisation des EDSRs contraintes à sauts utilisant l'approximation par EDSRs pénalisées pour laquelle nous obtenons la convergence. Nous étudions ensuite la discrétisation des EDSRs à réflexions obliques. Nous obtenons pour le schéma proposé une vitesse de convergence vers la solution continument réfléchie. Enfin dans la troisième partie, nous étudions un problème de liquidation optimale de portefeuille avec risque et coût d'exécution. Nous considérons un marché financier sur lequel un agent doit liquider une position en un actif risqué. L'intervention de cet agent influe sur le prix de marché de cet actif et conduit à un coût d'exécution modélisant le risque de liquidité. Nous caractérisons la fonction valeur de notre problème comme solution minimale d'une inéquation quasi-variationnelle au sens de la viscosité contrainte.

Je me suis intéressée à résoudre certains problèmes financiers par du contrôle stochastique. On a premièrement considéré un problème mixte d'investissement optimal et de vente optimale. On a étudié le comportement d'un investisseur possédant un actif indivisible qu'il cherche à vendre tout en gérant en continu un portefeuille d'actifs risqués. Puis, on s'est intéressé à l'étude des équations stochastiques rétrogrades du premier et du second ordre avec contraintes convexes. Dans chaque cas, on a prouvé l'existence d'une solution minimale ainsi qu'une représentation stochastique pour ce problème. Enfin, on a étudié un modèle à volatilité stochastique où la volatilité instantanée dépend de la courbe de volatilité forward. On propose un développement asymptotique du prix de l'option pour de petites variations de la volatilité.

Cette dissertation traite des trois thématiques suivantes : incertitude, fonctions d’utilité et non-arbitrage. Dans le premier chapitre, nous supposons qu’il n’y a pas d’incertitude sur les croyances et établissons l’existence d’un portefeuille optimal pour un investisseur qui opère dans un marché financier multi-période à temps discret et maximise son espérance terminale d’utilité. Nous considérons des fonctions d’utilité aléatoires non concaves, non continues définies sur l’axe réel positif. La preuve repose sur de la programmation dynamique et des outils de théorie de la mesure.Dans les trois chapitres suivant nous introduisons le concept d’incertitude knightienne et adoptons le modèle de marché financier multi-période à temps discret avec croyances multiples non dominées introduit par B. Bouchard and M. Nutz (Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models)Dans le second chapitre, nous étudions la notion de non-arbitrage quasi-sûre introduite par B. Bouchard and M. Nutz (Arbitrage and duality in nondominated discrete-time models) et en proposons deux formulations équivalentes: une version quantitative et une version géométrique. Nous proposons aussi une condition forte de non-arbitrage afin de simplifier des difficultés techniques.Nous utilisons ces résultats dans le troisième chapitre pour résoudre le problème de la maximisation d’espérance d’utilité sous la plus défavorable des croyances pour des fonctions d’utilité concaves, définies sur l’axe positif réel non-bornées. La preuve utilise à nouveau de la programmation dynamique et des techniques de sélection mesurable.Finalement, dans le dernier chapitre, nous développons un modèle de d’évaluation par indifférence d’utilité et démontrons que sous de bonnes conditions, le prix d’indifférence d’un actif contingent converge vers son prix de sur réplication. / This dissertation evolves around the following three general thematic: uncertainty, utility and no-arbitrage.In the first chapter we establish the existence of an optimal portfolio for investor trading in a multi-period and discrete-time financial market without uncertainty and maximising its terminal wealth expected utility. We consider general non-concave and non-smooth random utility function defined on the half real-line. The proof is based on dynamic programming and measure theory tools.In the next three chapters, we introduce the concept of Knightian uncertainty and adopt the multi-prior non dominated and discrete time framework introduced in [25]..In this setting, in the second chapter we study the notion of quasi-sure no-arbitrage introduced in [25] and propose two equivalent definitions: a quantitative and geometric characterisation. We also introduce a stronger no-arbitrage condition that simplifies some of the measurability difficulties.In the third chapter, we build on the results obtained in the previous chapter to study the maximisation of multiple-priors non-dominated worst-case expected utility for investors trading in a multi-period and discrete-time financial for general concave utility functions defined on the half-real line unbounded from above. The proof uses again a dynamic programming framework together with measurable selection.Finally the last chapter formulates a utility indifference pricing model for investor trading in a multi-period and discrete-time financial market. We prove that under suitable condition the multiples-priors utility indifference prices of a contingent claim converge to its multiple-priors superreplication price

Cette thèse se compose de trois parties indépendantes portant sur l'application du contrôle stochastique à la finance. Dans la première partie, nous étudions le problème de maximisation de la fonction d'utilité dans un marché incomplet avec défauts et information totale/partielle. Nous utilisons le principe de la programmation dynamique pour pouvoir caractériser la fonction valeur solution du problème. Ensuite, nous utilisons cette caractérisation pour en déduire une EDSR dont la fonction valeur est solution. Nous donnons également une approximation de cette fonction valeur. Dans la seconde partie, nous étudions les EDSR à sauts. En utilisant les résultats de décomposition des processus à sauts liée au grossissement progressif de filtration, nous faisons un lien entre les EDSR à sauts et les EDSR browniennes. Cela nous permet de donner un résultat d'existence, un théorème de comparaison ainsi qu'une décomposition de la formule de Feynman-Kac. Puis nous utilisons ces techniques pour la détermination du prix d'une option européenne dans un marché complet et le prix d'indifférence d'un actif contingent non duplicable dans un marché incomplet. Enfin, dans la troisième partie, nous utilisons la théorie des erreurs pour expliquer le risque de liquidité comme une propriété intrinsèque au marché. Cela nous permet de modéliser la fourchette Bid-Ask. Puis nous résolvons dans ce modèle le problème de liquidation optimale d'un portefeuille en temps discret et déterministe en utilisant la programmation dynamique.

Dans la première partie de cette thèse nous appliquons le calcul via régularisation à l'étude d'un marché où le processus des prix d'un actif risqué n'est pas une semimartingale mais simplement à variation quadratique finie. Cette condition est réalisée lorsque le prix de l'actif est admis dans la classe A de toutes les stratégies admissibles, et devient réaliste si la condition de non-arbitrage sur l'ensemble de toutes les stratégies simples prévisibles n'est pas plausible. Cette situation est vérifiée, par exemple, lorsque l'agent est un initié ou si A est restreinte.<br />Nous fournissons des exemples de portefeuilles autofinancés et introduisons une notion de A-martingale. Un calcul relatif à celle-ci est développé. La condition de non-arbitrage parmi toutes les stratégies dans A est récupérée si le processus des prix de l'actif risqué est une A-martingale.<br />Nous abordons le problème de la viabilité du marché, de la couverture et de la maximisation de l'utilité de la richesse terminale.<br />La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une équation différentielle stochastique unidimensionnelle dirigée par une semimartingale mélangée à un processus à variation cubique finie.<br />Nous proposons une méthode qui repose sur une transformation réduisant le coefficient de diffusion à 1.<br />Le développement de la méthode utilisée nous conduit à des résultats significatifs dans l'analyse du calcul via régularisation.<br />En particulier, une formule de type Ito-Wentzell relative aux processus à variation cubique finie est<br />établie et la structure des processus weak-Dirichlet par rapport à la filtration brownienne est clarifiée.<br />Nous démontrons, par une approche similaire, l'existence et l'unicité d'une équation dirigée par un processus hölder-continu dans l'espace. En utilisant une formule d'Ito pour les semimartingales réversibles nous prouvons l'existence d'une solution lorsque le processus dirigeant l'équation est le mouvement brownien et le coefficient de diffusion est juste continu

Cette thèse présente deux principaux sujets de recherche indépendants, le dernier étant décliné sous la forme de deux problèmes distincts. Dans toute la première partie de la thèse, nous nous intéressons à la notion d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (dans la suite 2EDSR), introduite tout d'abord par Cheredito, Soner, Touzi et Victoir puis reformulée récemment par Soner, Touzi et Zhang. Nous prouvons dans un premier temps une extension de leurs résultats d'existence et d'unicité lorsque le générateur considéré est seulement continu et à croissance linéaire. Puis, nous poursuivons notre étude par une nouvelle extension au cas d'un générateur quadratique. Ces résultats théoriques nous permettent alors de résoudre un problème de maximisation d'utilité pour un investisseur dans un marché incomplet, à la fois car des contraintes sont imposées sur ses stratégies d'investissement, et parce que la volatilité du marché est supposée être inconnue. Nous prouvons dans notre cadre l'existence de stratégies optimales, caractérisons la fonction valeur du problème grâce à une EDSR du second ordre et résolvons explicitement certains exemples qui nous permettent de mettre en exergue les modifications induites par l'ajout de l'incertitude de volatilité par rapport au cadre habituel. Nous terminons cette première partie en introduisant la notion d'EDSR du second ordre avec réflexion sur un obstacle. Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions de telles équations, et fournissons une application possible au problème de courverture d'options Américaines dans un marché à volatilité incertaine. Le premier chapitre de la seconde partie de cette thèse traite d'un problème de pricing d'options dans un modèle où la liquidité du marché est prise en compte. Nous fournissons des développements asymptotiques de ces prix au voisinage de liquidité infinie et mettons en lumière un phénomène de transition de phase dépendant de la régularité du payoff des options considérées. Quelques résultats numériques sont également proposés. Enfin, nous terminons cette thèse par l'étude d'un problème Principal/Agent dans un cadre d'aléa moral. Une banque (qui joue le rôle de l'agent) possède un certain nombre de prêts dont elle est prête à échanger les intérêts contre des flux de capitaux. La banque peut influencer les probabilités de défaut de ces emprunts en exerçant ou non une activité de surveillance coûteuse. Ces choix de la banque ne sont connus que d'elle seule. Des investisseurs (qui jouent le rôle de principal) souhaitent mettre en place des contrats qui maximisent leur utilité tout en incitant implicitement la banque à exercer une activité de surveillance constante. Nous résolvons ce problème de contrôle optimal explicitement, décrivons le contrat optimal associé ainsi que ses implications économiques et fournissons quelques simulations numériques.