Abordaremos a teoria do transporte otimo demonstrando o teorema da dualidade de Kantorovich para uma classe ampla de funções custo. Tal resultado desempenha um papel de suma importância na teoria do transporte otimo. Uma ferramenta importante utilizada e o teorema da dualidade de Fenchel-Rockafellar, aqui enunciado e demonstrado em bastante generalidade. Demonstramos tamb em o teorema da dualidade de Kantorovich-Rubinstein, que trata do caso particular da função custo distância. / We analyze the optimal transport theory proving the Kantorovich duality theorem for a wide class of cost functions. Such result plays an extremely important role in the optimal transport theory. An important tool used here is the Fenchel-Rockafellar duality theorem, which we state and prove in a general case. We also prove the Kantorovich-Rubinstein duality theorem, which deals with the particular case of cost function given by the distance.

Abordaremos a teoria do transporte otimo demonstrando o teorema da dualidade de Kantorovich para uma classe ampla de funções custo. Tal resultado desempenha um papel de suma importância na teoria do transporte otimo. Uma ferramenta importante utilizada e o teorema da dualidade de Fenchel-Rockafellar, aqui enunciado e demonstrado em bastante generalidade. Demonstramos tamb em o teorema da dualidade de Kantorovich-Rubinstein, que trata do caso particular da função custo distância. / We analyze the optimal transport theory proving the Kantorovich duality theorem for a wide class of cost functions. Such result plays an extremely important role in the optimal transport theory. An important tool used here is the Fenchel-Rockafellar duality theorem, which we state and prove in a general case. We also prove the Kantorovich-Rubinstein duality theorem, which deals with the particular case of cost function given by the distance.

Abordaremos a teoria do transporte otimo demonstrando o teorema da dualidade de Kantorovich para uma classe ampla de funções custo. Tal resultado desempenha um papel de suma importância na teoria do transporte otimo. Uma ferramenta importante utilizada e o teorema da dualidade de Fenchel-Rockafellar, aqui enunciado e demonstrado em bastante generalidade. Demonstramos tamb em o teorema da dualidade de Kantorovich-Rubinstein, que trata do caso particular da função custo distância. / We analyze the optimal transport theory proving the Kantorovich duality theorem for a wide class of cost functions. Such result plays an extremely important role in the optimal transport theory. An important tool used here is the Fenchel-Rockafellar duality theorem, which we state and prove in a general case. We also prove the Kantorovich-Rubinstein duality theorem, which deals with the particular case of cost function given by the distance.

Apresentamos o problema do transporte ótimo de Monge-Kantorovich com duas medidas de probabilidade conhecidas e que possuem suporte em um conjunto de cardinalidade finita. O objetivo é determinar condições que permitam construir um acoplamento destas medidas que minimiza o valor esperado de uma função de custo conhecida e que assume valor nulo apenas nos elementos da diagonal. Apresentamos também um resultado relacionado com a solução do problema de Monge-Kantorovich em espaços produto finitos quando conhecemos soluções para o problema nos espaços marginais. / We present the Monge-Kantorovich optimal problem with two known probability measures on a finite set. The objective is to obtain conditions that allow us to build a coupling of these measures that minimizes the expected value of a cost function that is known and is zero only on the diagonal elements. We also present a result that is related with the solution of the Monge-Kantorovich problem in finite product spaces in the case that solutions to the problem in the marginal spaces are known.

Abordamos o problema do transporte otimo de Monge-Kantorovich no caso em que o custo e dado pelo quadrado da distância. Tal custo tem uma estrutura que permite a obtenção de resultados mais ricos do que o caso geral. Nosso objetivo e determinar se h a soluções para tal problema e caracteriza-las. Al em disso, tratamos informalmente do problema de transporte otimo para um custo geral. / We analyze the Monge-Kantorovich optimal transportation problem in the case where the cost function is given by the square of the Euclidean norm. Such cost has a structure which allow us to get more interesting results than the general case. Our main purpose is to determine if there are solutions to such problem and characterize them. We also give an informal treatment to the optimal transportation problem in the general case.

Abordamos o problema do transporte otimo de Monge-Kantorovich no caso em que o custo e dado pelo quadrado da distância. Tal custo tem uma estrutura que permite a obtenção de resultados mais ricos do que o caso geral. Nosso objetivo e determinar se h a soluções para tal problema e caracteriza-las. Al em disso, tratamos informalmente do problema de transporte otimo para um custo geral. / We analyze the Monge-Kantorovich optimal transportation problem in the case where the cost function is given by the square of the Euclidean norm. Such cost has a structure which allow us to get more interesting results than the general case. Our main purpose is to determine if there are solutions to such problem and characterize them. We also give an informal treatment to the optimal transportation problem in the general case.

Abordamos o problema do transporte otimo de Monge-Kantorovich no caso em que o custo e dado pelo quadrado da distância. Tal custo tem uma estrutura que permite a obtenção de resultados mais ricos do que o caso geral. Nosso objetivo e determinar se h a soluções para tal problema e caracteriza-las. Al em disso, tratamos informalmente do problema de transporte otimo para um custo geral. / We analyze the Monge-Kantorovich optimal transportation problem in the case where the cost function is given by the square of the Euclidean norm. Such cost has a structure which allow us to get more interesting results than the general case. Our main purpose is to determine if there are solutions to such problem and characterize them. We also give an informal treatment to the optimal transportation problem in the general case.

Apresentamos o problema do transporte ótimo de Monge-Kantorovich com duas medidas de probabilidade conhecidas e que possuem suporte em um conjunto de cardinalidade finita. O objetivo é determinar condições que permitam construir um acoplamento destas medidas que minimiza o valor esperado de uma função de custo conhecida e que assume valor nulo apenas nos elementos da diagonal. Apresentamos também um resultado relacionado com a solução do problema de Monge-Kantorovich em espaços produto finitos quando conhecemos soluções para o problema nos espaços marginais. / We present the Monge-Kantorovich optimal problem with two known probability measures on a finite set. The objective is to obtain conditions that allow us to build a coupling of these measures that minimizes the expected value of a cost function that is known and is zero only on the diagonal elements. We also present a result that is related with the solution of the Monge-Kantorovich problem in finite product spaces in the case that solutions to the problem in the marginal spaces are known.

Optimal transport has emerged as a promising and effective tool for supporting modern image processing, geometric processing, and even machine learning. Indeed, the optimal transport theory enables great flexibility in modeling problems, as different optimization resources can be successfully employed while preserving a context relevant property that can be interpreted as mass. In this research, we introduce a novel automatic technique for eye fundus image registration which is based on optimal transport theory, image processing filters, graph matching, and geometric transformations into a concise and unified framework. Given two ocular fundus images, we construct representative graphs which embed in their structures spatial and topological information from the eyes blood vessels. The graphs produced are then used as input by our optimal transport model in order to establish a correspondence between their sets of nodes. We also proposed a new measure that estimates the register quality and an extension of an outlier removal technique called DeSAC. Finally, the best geometric transformation is performed on the image to properly accomplish the registration task. Our method relies on a solid mathematical foundation, is easy-to-implement and performs well when dealing with outliers created during the matching stage, producing deterministic and accurate solutions. We demonstrate the accuracy and effectiveness of the proposed methodology through a comprehensive set of qualitative and quantitative comparisons against various representative state-of-the-art methods on different fundus image databases. / O transporte ótimo se tornou uma ferramenta promissora e eficaz para apoiar o processamento de imagens moderno, processamento geométrico e até aprendizado de máquina. De fato, a teoria do transporte ótimo permite uma grande flexibilidade na modelagem de problemas, pois diferentes recursos de otimização podem ser empregados enquanto se preserva uma propriedade relevante ao contexto que pode ser interpretada como massa. Nesta pesquisa, nós introduzimos uma nova técnica automática para o registro da imagem do fundo do olho que é baseada na teoria óptima do transporte, filtros de processamento de imagem, correspondência de grafos e transformações geométricas em uma estrutura concisa e unificada . Dadas duas imagens de fundo ocular, construímos grafos representativos que incorporam em suas estruturas informações espaciais e topológicas dos vasos sanguíneos do olho. Os grafos produzidos são usados como entrada pelos nossos modelo de transporte ótimo, a fim de estabelecer uma correspondência entre seus conjuntos de nós. Propomos também uma nova medida que estima a qualidade do registro e uma extensão de uma tecnica de removeção de outliers chamada DeSAC. Finalmente, transformações geométricas são realizadas entre as imagens para realizar adequadamente a tarefa de registro. Nosso método baseia-se em uma sólida base matemática, é fácil de implementar e funciona bem lidando com outliers criados durante o estágio de correspondência, produzindo soluções determinísticas e precisas. Demonstramos a exatidão e eficácia da metodologia proposta por meio de uma abordagem abrangente de comparações qualitativas e quantitativas contra vários métodos representativos do estado da arte em diferentes bases de dados de imagens de fundo de olho.

Orientadores: Lucas Catão de Freitas Ferreira, Marcelo da Silva Montenegro, José Antonio Carrillo de la Plata / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T15:13:15Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Santos_MatheusCorreiados_D.pdf: 865476 bytes, checksum: 31a8b558231b701d81c20bf2712e4f50 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Analisaremos dois problemas neste trabalho. Na primeira parte, estudaremos a existência de soluções para uma equação elíptica semilinear no espaço euclidiano todo e com dependência do gradiente e onde nenhuma restrição é imposta sobre o comportamento da não linearidade no infinito. Provaremos que existe uma solução que é localmente única e que herda muitas das propriedades de simetria da não linearidade. A positividade da solução e seu comportamento assintótico também são analisados. Os resultados obtidos também podem ser estendidos para outros casos como o de domínios exteriores ou o semiespaço e também para alguns operadores fracionários. Na segunda parte, analisaremos o comportamento assintótico das soluções da versão fracionária unidimensional da equações de meios porosos introduzida por Caffarelli e Vázquez e onde a pressão é obtida como a inversa do laplaciano fracionário da densidade. Devido à convexidade do núcleo do potencial de Riesz em dimensão um, mostraremos que a entropia associada à equação é displacement convex e satisfaz uma desigualdade funcional envolvendo a dissipação da entropia e a distância de transporte euclidiana. Um argumento por aproximação mostra que essa desigualdade funcional é suficiente para deduzir que a entropia das soluções converge exponencialmente para a entropia do estado estacionário. Também provaremos uma nova desigualdade de interpolação que permitirá obter a convergência exponencial das soluções em espaços Lp / Abstract: We analyse two problems in this work. In the first part we study the existence of solutions to a semilinear elliptic equation in the whole space and with dependence on the gradient and where no restriction is imposed on the behavior of the nonlinearity at infinity. We prove that there exists a solution which is locally unique and inherits many of the symmetry properties of the nonlinearity. Positivity and asymptotic behavior of the solution are also addressed. Our results can be extended to other domains like half-space and exterior domains and also to some fractional operators. For the second part, we analyse the asymptotic behavior of solutions to the one dimensional fractional version of the porous medium equation introduced by Caffarelli and Vázquez and where the pressure is obtained as the inverse of the fractional Laplacian of the density. Due to the convexity of the kernel of the Riesz potential in one dimension, we show that the entropy associated with the equation is displacement convex and satisfies a functional inequality involving also entropy dissipation and the Euclidean transport distance. An argument by approximation shows that this functional inequality is enough to deduce the exponential convergence, in the entropy level, of solutions to the unique steady state. A new interpolation inequality is also proved in order to obtain the exponential decay also in Lp spaces / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática