Im Kapitel 2 geben wir einen Überblick über alle Evolutionären Algorithmen mit der oben beschriebenen Reproduktion und Selektion. Als Mutation haben wir einen Diffusionsprozeß angenommen. Im eigentlichen Sinne zählt die zuerst behandelte Boltzmann-Strategie nicht zu den Evolutionären Strategien, da es im engerem Sinne keine Reproduktion und Selektion gibt. Aufgrund der ähnlichen Struktur der dynamischen Gleichungen wird sie aber im erweiterten Sinne mit dazugezählt. Danach führen wir die Darwin-Strategie ein, welche ein klassisches Beispiel für eine evolutionäre Strategie ist. Eine Analyse dieser beiden Strategien hat ein gegenläufiges Verhalten beim Überwinden einer Barriere ergeben. Da dieser Fall eine Standardsituation auf Fitnesslandschaften ist, führen wir eine Mischung der Darwin- und Boltzmann-Strategie ein. Dabei entsteht die Gemischte Strategie, die sich schon in vielen Computerexperimenten bewährt hat. In den nächsten beiden Abschnitten behandeln wir die Frage nach einer Anpassung der Mutationsstärke (äquivalent mit der Schrittweite) und leiten erstmalig die Gleichung für die Veränderung der Schrittweite bei einer Darwin-Strategie her. Die Grundidee für diese adaptive Darwin-Strategiestammt von Schwefel, der sie in der Folgezeit ausgiebig untersucht hat. Ein ähnliches Problem tritt auch bei der Boltzmann-Strategie auf, die als freien Parameter für die Schrittweite eine reziproke Temperatur besitzt. Eine "Abkühlung" führt zu einem Hängenbleiben der Strategie in den lokalen Minima. Dabei setzen wir voraus, daß die Abkühlung so langsam vor sich geht, daß dabei das globale Minimum gefunden wird. Diese Strategie wird als "simulated annealing" bezeichnet. Wie wir uns denken, ist die Wahl der Abkühlung das eigentliche Problem. Rose fand einen evolutionären Ausweg aus diesem Dilemma, indem er jedem Individuum der Gemischten Strategie eine Temperatur gab, die auch der Selektion ausgesetzt wurde. Dadurch konnte die Strategie ihre Abkühlungskurve selbst finden. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels gehen wir noch der Frage nach einer einheitlichen Darstellung der dynamischen Gleichung nach. Dabei ergibt sich eineverallgemeinerte Wärmeleitungsgleichung, die auf einem metrischen Raum definiert ist. Die Wahl der Metrik und Koeffizienten listen wir für alle Strategien auf. Die Bedeutung dieses Ergebnisses liegt in der späteren Klassi kation begründet. Den größten Teil der Arbeit bildet das Kapitel 3, welches sich mit dem Vergleich der Strategien beschäftigt. Dazu führen wir verschiedene Maße zur Messung von Geschwindigkeiten der Strategien ein. Diese Maße bestehen vorrangig aus Kombinationen der Erwartungswerte von Polynomen der Fitnessfunktion sowie deren zeitliche Ableitungen. Wir behandeln und berechnen diese Größen anhand von zwei Beispielen: der Parabel und des Doppeltopfes. Beide Fälle stellen zugleich dieeinfachsten Probleme für eine Optimierung dar. Für die Parabel ist es wichtig, daß wir die Geschwindigkeit der Strategie messen. Die einfachste Größe, die dies beschreibt, ist die zeitliche Änderung des Erwartungswerts der Fitness. Sie ist die Geschwindigkeit der Strategie auf der Fitnesslandschaft. Als weitere interessante Größe betrachten wir die Varianz der Verteilungsfunktion der Individuen auf der Fitnesslandschaft. Sie gibt Auskunft über die Variabilität der Individuen bezüglich der Fitness. Diese beiden Größen werden im Fall der Parabel für die Boltzmann- und Darwin-Strategie explizit berechnet. Dabei ergeben sich ähnliche Ergebnisse, die für diesen Fall nicht erstaunlich sind, da die Strategie immer dem Gradienten der Fitnessfunktion folgen. Das zweite Beispiel ist der Doppeltopf. Hierbei interessiert uns vor allem die Wahrscheinlichkeit, daß die Strategie von einem Topf in den anderen wechselt. Dazu starten wir im lokalen Minimum und versuchen in das globalen Minimum zu gelangen. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist durch das Integral über die Wahrscheinlichkeitsverteilung 1 gegeben. Deren zeitliche Ableitung läßt sich als Strom von Suchern durch die Barriere interpretieren. Eine Untersuchung dieser Größen für die Boltzmann-und Darwin-Strategie erbringt das Ergebnis, daß die Boltzmann-Strategie auf achen Fitnessland-schaften schneller als die Darwin-Strategie ist. Andererseits ist die Darwin-Strategie auf stark zerklüfteten Landschaften schneller als die Boltzmann-Strategie. Das gegenläuge Verhalten beider Strategien beim Problem des Doppeltopfes legt die Idee der Mischung der Strategien nahe. Nun fragen wir uns natürlich, ob eine Mischung wirklich den gewünschten Erfolg zeigt. Im nächsten Abschnitt wird daher erneut der Doppeltopf behandelt. Dabei zeigen wir, daß die gemischte Strategie für fast alle Parametersätze das globale Minimum findet. Desweiteren werden Kriterien für die Wahl des Mischungsparameters angegeben. Im letzten Abschnitt dieses Kapitels beschreiben wir die Simulationsalgorithmen der Boltzmann- und Darwin-Strategie. Im Kapitel 4 beschäftigen wir uns mit den mathematischen Eigenschaften von Schrödinger-Operatoren. Dabei steht der Zugang über das Spektrum zusammen mit den Eigenschaften des sogenannten Wärmeleitungskerns am Anfang im Mittelpunkt des Interesses. Wir zeigen, daß die Geschwindigkeit der Strategie mit solchen Eigenschaften wie Spektraldichte im Zusammenhang steht. Andererseits ist das Spektrum auch in der Quantenmechanik anwendbar. Durch die Bestimmung der Änderung der Autokorrelationsfunktion in Bezug auf die Erwartungswerte der Fitness wird über eine Hierarchie das gesamte Spektrum aufgebaut. Eine Diskussion des Einflusses einer Deformation der Fitnessfunktion auf das Spektrum rundet diesen ersten Abschnitt ab. Gerade die Diskussion dieser Beziehung zu den Korrelationen sowie die Diskussion der Deformation der Fitnessfunktion sind neu. Der Hauptteil des Kapitels ist der Klassifikation von Schrödinger-Operatoren durch die Untersuchung der topologischen Eigenschaften des Lösungsraums gewidmet. Zuerst führen wir das Problem auf ein algebraisches Problem zurück, was gleichzeitig eine Vereinfachung der ursprünglichen Fragestellung bedeutet. Eine Charakterisierung der Äquivalenzklassen ist mit Hilfe der Singularitätstheorie möglich. Dabei treten als kleinste Einheiten der Fitnesslandschaft 6 Singularitäten auf, d.h. falls zwei Fitnesslandschaften die gleiche Zerlegung der Landschaft bezüglich der Singularitäten besitzen, so verhalten sich die Strategien ebenfalls gleich. Damit ist ein Zusammenhang zwischen der Struktur der Fitnesslandschaft und dem Verhalten der Strategien gefunden. Als weitere Anwendung dieses Ergebnisses erhalten wir eine Charakterisierung des Grundzustandes von Schrödinger-Operatoren. Aufbauend auf den mathematischen Ergebnissen des letzten Kapitels wird in Kapitel 5 die Klassifikation der Strategien durchgeführt. Dabei erhalten wir das wichtige Resultat, daß zwei Fitnesslandschaften, die lokal aus den gleichen Singularitäten (siehe Tabelle 4.5) bestehen dasselbe Verhalten der Evolutionären Strategie implizieren. Dieses Ergebnis wurde zuerst nur für die Darwin-Strategie erhalten, um es dann auch auf die anderen behandelten Strategien auszudehnen. Im letzten Kapitel der Arbeit wird noch der Frage nach derVeränderung der Mutationsverteilung nachgegangen. Bisher haben wir dafür eine Diffusionsnäherung benutzt, die aber im allgemeinen in Computerexperimenten nicht verwendet wird. Lassen wir diese Einschränkung fallen, so wechselt die Beschreibungsweise von partiellen Differentialgleichungen zu Integro-Differentialgleichungen. Eine Angabe der Lösung ist über die Methode des iterierten Kerns möglich. Am Beispiel der Gauß- bzw. Cauchy-Verteilung werden die Standardprobleme Parabel und Doppeltopf studiert. Die Ergebnisse erbrachten für die Gauß-Verteilung ein ähnliches Ergebnis wie für die Diffusionsnäherung. Dagegen sind die Eigenschaften der Lösung für die Cauchy-Verteilung im Falle des Doppeltopfes von denen der Gauß-Verteilung verschieden. Eine Darstellung der einheitlichen Beschreibung dieser Strategien sowie ein Ansatz zur Klassifikation beenden das letzte Kapitel. Am Schluß der Arbeit befinden sich 4 Anhänge, welche die umfangreichen Rechnungen und Formeln enthalten. Im Anhang A berechnen wir eine wichtige Invariante von Fitnesslandschaften, die über den Einfluß von Zwangsbedingungen auf die Optimierung die Aussagen treffen. Danach analysieren wir im Anhang B die Gegenwertprobleme der Boltzmann- und Darwin-Strategie, um eine alternative Möglichkeit zu den Berechnungen des Kapitels 3 zu erhalten. Der Anhang C ist der vollständigen Berechnung des Stromes für den Fall eines stückweise quadratischen Doppeltopfes gewidmet. Im Anhang D schließlich ist eine Zusammenstellung der Formeln für die Gemischte Strategie am Beispiel der Parabel und des Doppeltopfs zu finden.

Die große Menge an Datensätzen, die in den letzten Jahren verfügbar wurden, hat es ermöglicht, sowohl menschlich-getriebene als auch biologische komplexe Systeme in einem beispiellosen Ausmaß empirisch zu untersuchen. Parallel dazu ist die Vorhersage und Kontrolle epidemischer Ausbrüche für Fragen der öffentlichen Gesundheit sehr wichtig geworden. In dieser Arbeit untersuchen wir einige wichtige Aspekte von Diffusionsphänomenen und Ausbreitungsprozeßen auf Netzwerken. Wir untersuchen drei verschiedene Probleme im Zusammenhang mit Ausbreitungsprozeßen im überkritischen Regime. Zunächst untersuchen wir die Reaktionsdiffusion auf Ensembles zufälliger Netzwerke, die durch die beobachteten Levy-Flugeigenschaften der menschlichen Mobilität charakterisiert sind. Das zweite Problem ist die Schätzung der Ankunftszeiten globaler Pandemien. Zu diesem Zweck leiten wir geeignete verborgene Geometrien netzgetriebener Streuprozeße, unter Nutzung der Random-Walk-Theorie, her und identifizieren diese. Durch die Definition von effective distances wird das Problem komplexer raumzeitlicher Muster auf einfache, homogene Wellenausbreitungsmuster reduziert. Drittens führen wir durch die Einbettung von Knoten in den verborgenen Raum, der durch effective distances im Netzwerk definiert ist, eine neuartige Netzwerkzentralität ein, die ViralRank genannt wird und quantifiziert, wie nahe ein Knoten, im Durchschnitt, den anderen Knoten im Netzwerk ist. Diese drei Studien bilden einen einheitlichen Rahmen zur Charakterisierung von Diffusions- und Ausbreitungsprozeßen, die sich auf komplexen Netzwerken allgemein abzeichnen, und bieten neue Ansätze für herausfordernde theoretische Probleme, die für die Bewertung künftiger Modelle verwendet werden können. / The large amount of datasets that became available in recent years has made it possible to empirically study humanly-driven, as well as biological complex systems to an unprecedented extent. In parallel, the prediction and control of epidemic outbreaks have become very important for public health issues. In this thesis, we investigate some important aspects of diffusion phenomena and spreading processes unfolding on networks. We study three different problems related to spreading processes in the supercritical regime. First, we study reaction-diffusion on ensembles of random networks characterized by the observed Levy-flight properties of human mobility. The second problem is the estimation of the arrival times of global pandemics. To this end, we derive and identify suitable hidden geometries of network-driven spreading processes, leveraging on random-walk theory. Through the definition of network effective distances, the problem of complex spatiotemporal patterns is reduced to simple, homogeneous wave propagation patterns. Third, by embedding nodes in the hidden space defined by network effective distances, we introduce a novel network centrality, called ViralRank, which quantifies how close a node is, on average, to the other nodes. These three studies constitute a unified framework to characterize diffusion and spreading processes unfolding on complex networks in very general settings, and provide new approaches to challenging theoretical problems that can be used to benchmark future models.

Für die erfolgreiche Lösung eines Optimierungsproblems ist die Wahl der verwendeten Suchstrategie von entscheidender Bedeutung. Die vorliegende Arbeit untersucht die Kriterien dieser Wahl. Dabei stellen sich drei grundlegende Fragen: Welche Strategien der Optimierung eines gegebenen Problems existieren überhaupt, und was für Eigenschaften besitzen sie? Wodurch wird der Charakter eines Optimierungsproblems bestimmt, und gibt es Klassen ähnlicher Probleme? Besteht eine Verbindung zwischen den Eigenschaften der Strategien und den Klassen der Probleme, die es ermöglicht, für jede Problemklasse eine geeignete Optimierungsstrategie anzugeben? Dazu wird zuerst die Klasse der Evolutionären Algorithmen naher betrachtet, deren generelles Verhalten die Boltzmannstrategie, Darwinstrategie oder Boltzmann-Darwin-Strategie beschreiben. Als weiteres Beispiel wird die Multitome Strategie untersucht. In ihr wird das Problem unter verschiedenen Gesichtspunkten betrachtet und in Einzelanforderungen zerlegt, die abwechselnd optimiert werden. Für den speziellen Fall der Dichotomen Strategie wird die allgemeine zeitabhängige Lösung mit Hilfe der Methode der Charakteristiken bestimmt. Zur Beantwortung der zweiten Frage wird die Zustandsdichte als klassifizierende Größe des Optimierungsproblems eingeführt. Sie kann unter Verwendung der Boltzmannstrategie während des Optimierungslaufes durch zwei allgemeine Approximationsmethoden: die Methode der stationären Verteilungen und die Eigenvektormethode bestimmt werden. Aus der Zustandsdichte erhält man den Wirkungsgrad der Zufallssuche. Er charakterisiert den Ordnungsgrad des Problems und stellt damit ein wichtiges Maß der Problemschwierigkeit dar. Die entscheidende dritte Frage wird für Probleme der Optimierung frustrierter Sequenzen, der Netzwerkoptimierung und für das Faltungsproblem der RNA behandelt. Mit der Einführung der Klassen gerichteter und ungerichteter Strategien, die für Optimierungsprobleme mit niedrigem bzw. hohem Wirkungsgrad der Zufallssuche effektiv sind, kann eine Verbindung zwischen dem Strategieverhalten und dem Problemcharakter hergestellt werden, die es ermöglicht, für eine konkrete Optimierungsaufgabe die Klasse der geeigneten Strategien zu wählen. / A crucial point of successful solving an optimization problem is the choice of the used strategy. The present paper investigates the criteria of this choice. Thereby three fundamental questions put themselves: Which strategies of the optimization of a given problem exist altogether, and which properties characterize the strategies? How is the character of an optimization problem determined, and are there classes of similar problems? Does a combination exist between the characteristics of the strategies and the classes of problems, which makes it possible to indicate a suitable strategy for each class? The class of the Evolutionary Algorithms is considered more closely. The general behavior of the algorithms can be described by the Boltzmann strategy, Darwin strategy or Boltzmann-Darwin strategy. As a further example the Multitomic strategy is explored. In this approach the problem is considered under different points of view and decomposes in single demands, which are optimized alternately. For the special case of the Dichotomic strategy the general time dependent solution is determined. To answer the second question the density of states is introduced as classifying measure of optimization problems. The density can be determined during the optimization course by two general approaches: the method of the stationary distribution and the eigenvalue method. From the density of states one receives the efficiency of the random search. It describes the degree of order of the problem and presents an measure of the problem difficulty. The important third question is treated for problems of the optimization of frustrated sequences, the network optimization and RNA folding. The introduction of the classes of directed and non directed strategies, which are effective for problems with low and high efficiency of the random search, establishes a connection between the strategy and the character of the problem, which makes it possible to choose the class of the suitable strategies for a given optimization task.

Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer Reihe von Fragestellungen, die Forschungsfeldern wie rauschinduziertem Verhalten, Strukturbildung in aktiven Medien und Synchronisation nichlinearer Oszillatoren erwachsen. Die verwendeten nichtlinearen Modelle verfügen über erregbare, oszillatorische und bistabile Eigenschaften. Zusätzliche stochastische Fluktuationen tragen wesentlich zur Entstehung komplexer Dynamik bei. Modelliert wird, auf welche Weise sich extrazelluläre Kaliumkonzentration, gespeist von umliegenden Neuronen, auf die Aktivität dieser Neuronen auswirkt. Neben lokaler Dynamik wird die Ausbildung ausgedehnter Strukturen in einem heterogenem Medium analysiert. Die raum-zeitlichen Muster umfassen sowohl Wellenfronten und Spiralen als auch ungewöhnliche Strukturen, wie wandernde Cluster oder invertierte Wellen. Eine wesentliche Rolle bei der Ausprägung solcher Strukturen spielen die Randbedingungen des Systems. Sowohl für diskret gekoppelte bistabile Elemente als auch für kontinuierliche Fronten werden Methoden zur Berechnung von Frontgeschwindigkeiten bei fixierten Rändern vorgestellt. Typische Bifurkationen werden quantifiziert und diskutiert. Der Rückkopplungsmechanismus aus dem Modell neuronaler Einheiten und deren passiver Umgebung kann weiter abstrahiert werden. Ein Zweizustandsmodell wird über zwei Wartezeitverteilungen definiert, welche erregbares Verhalten widerspiegeln. Untersucht wird die instantane und die zeitverzögerte Antwort des Ensembles auf die Rückkopplung. Im Fall von Zeitverzögerung tritt eine Hopf-Bifurkation auf, die zu Oszillationen der mittleren Gesamtaktivität führt. Das letzte Kapitel befasst sich mit Diffusion und Transport von Brownschen Teilchen in einem raum-zeiltich periodischen Potential. Wieder sind es Synchronisationsmechanismen, die nahezu streuungsfreien Transport ermöglichen können. Für eine erhöhte effektiven Diffusion gelangen wir zu einer Abschätzung der maximierenden Parameter. / In this work problems are investigated that arises from resarch fields of noise induced dynamics, pattern formation in active media and synchronisation of self-sustained oscillators. The applied model systems exhibit excitable, oscillatory and bistable behavior as basic modes of nonlinear dynamics. Addition of stochastic fluctuations contribute to the appearance of complex behavior. The extracellular potassium concentration fed by surrounding activated neurons and the feeback to these neurons is modelled. Beside considering the local behavior, nucleation of spatially extended structures is studied. We find typical fronts and spirales as well as unusal patterns such as moving clusters and inverted waves. The boundary conditions of the considered system play an essential role in the formation process of such structures. We present methods to find expressions of the front velocity for discretely coupled bistable units as well as for the countinus front interacting with boundary values. Canonical bifurcation scenarios can be quantified. The feedback mechanism from the model for neuronal units can be generalized further. A two-state model is defined by two waiting time distributions representing excitable dynamics. We analyse the instantaneous and delayed response of the ensemble. In the case of delayed feedback a Hopf-bifurcation occur which lead to oscillations of the mean activity. In the last chapter the transport and diffusion of Brownian particles in a spatio-temporal oscillating potential is discussed. As a cause of nearly dispersionless transport synchronisations mechanisms can be identified. We find an estimation for parameter values which maximizes the effective diiffusion.

Das Studium des derzeitigen Klimawandels ist von hoher Relevanz da viele Menschen dessen direkten Folgen ausgesetzt sind. Das Verständnis der Vergangenheit ist der Schlüssel zu Fragen zum Klima als auch zur Vegetation, dem Leben, der Evolution und der Natur allgemein. Diese Dissertation beschäftigt sich damit Übergange zwischen dynamischen Regimen in nichtlinearen Systemen zu detektieren. Den Anfang macht eine kurze Einführung in die Methodik mit der Einführung der Rekurrenzplots (RP) als wichtigem Werkzeug für die folgende Analyse. Die genaue Gestalt eines RP hängt dabei von einem freien Parameter ab, dem Distanzschwellwert. Hier schlage ich eine neue Variante vor, den gewichteten Rekurrenzplot (wRP), welcher ohne Abhängigkeit von diesem Parameter auskommt. Darüberhinaus schlage ich eine neue Möglichkeit vor den Schwellwert für Rekurrenznetzwerke (RN) für eine gegebene Zeitreihe auszuwählen. Einen optimalen Schwellwert auszuwählen ist ausschlaggebend für das Ergebnis der Zeitreihenanalyse. In den folgenden theoretischen Ausführungen beschreibe ich daher eine neuartige Vorbehandlung von heterogenen (insbesondere irregulär gesampelten) Zeitreihen. Diese treten oft in Proxyda- ten, etwa Speläothemen, auf und lassen sich nicht direkt mit RP analysieren. Die vorgestellten Ansätze bieten geeignete Methoden um dynamische Übergänge zu untersuchen. Sie können unterschiedlichste Anwendungen in einer Vielzahl von Zeitreihenanalysen finden. Beispielsweise wird generell die Untersuchung irregulär gesampelter Datensätze ermöglicht. Letztlich, da die Zusammenwirkung der Proxydaten aus Nordwestaustralien und Südchina besser verstanden ist, stellt sich die Aufgabe solche Analysen mit Hilfe der hier vorgestellten Methoden auf Paläoklimadaten der gesamten Erde auszuweiten, um ein umfassendes Netzwerk der paarweisen Wechselbeziehungen zu erstellen, das für ein besseres Verständnis des Erdsystems hilfreich sein kann. / The study of climate change is a very important field of science, since life is directly affected by these changes. Investigating the past climate changes leads to the forecasts of future possibilities. Therefore, enlightening the past is a keystone to answer questions about climate as well as vegetation, life, evolution, and nature. This Thesis focuses on detecting dynamical regime transitions in nonlinear dynamical systems as well as in climate proxies where they mark previous critical climate changes. The thesis begins with a brief methodological background and brings the recurrence plot (RP) to forefront as the main tool for the further analyses. The thesis consists of three main studies: (i) The formation of RPs naturally depends on a free parameter in the analysis given by the distance threshold. I propose an alternative definition by using a weighted variant of the RP, called weighted recurrence plot, which removes dependence on this free parameter. (ii) Furthermore, I suggest a novel way to select the threshold for a recurrence network for a specific time series. Selecting the optimization parameters for a specific time series is very important for the performance of the analysis. (iii) Next, I introduce a new preprocessing technique to deal with the heterogeneousness of time series, since the RP is not directly applicable on such data sets and the proxies from speleothems, in general, are irregularly sampled. Among these presented approaches are suitable methods to investigate the dynamical transition and they can be used for different purposes in a large variety of time series analyses. These techniques can be used in several different disciplines which have heterogeneousness in their sources. After the relationship between the two proxies from Australia and China has been uncovered, in the future, it should be achievable to extend the study to create a large paleoclimate relationship network for the entire Earth by using the methods given in this Thesis.

Die Untersuchung kausaler Zusammenhänge in komplexen dynamischen Systemen spielt in der Wissenschaft eine immer wichtigere Rolle. Ziel dieses aktuellen, interdisziplinären Forschungsbereiches ist ein grundlegendes, tiefes Verständnis der vorherrschenden Prozesse und deren Wechselwirkungen in solchen Systemen. Die Untersuchung von Zeitreihen mithilfe moderner Kopplungsanalysemethoden liefert dabei Möglichkeiten zur Modellierung der betreffenden Systeme und somit bessere Vorhersagemethoden und fortgeschrittene Interpretationsmöglichkeiten der Ergebnisse. In der vorliegenden Arbeit werden zunächst einige existierende Kopplungsmaße mit ihren jeweiligen Anwendungsgebieten vorgestellt. Eine Gemeinsamkeit dieser Maße liegt in der Voraussetzung stationärer Zeitreihen, um die Anwendbarkeit zu gewährleisten. Daher wird im Verlauf der Dissertation eine Möglichkeit zur Erweiterung solcher Maße vorgestellt, die eine Kopplungsanalyse mit einer sehr hohen Zeitauflösung und somit auch die Untersuchung nichtstationärer, transienter Ereignisse ermöglicht. Die Erweiterung basiert auf der Verwendung von Ensembles von Messreihen und der Schätzung der jeweiligen Maße über das Ensemble anstatt über die Zeit. Dies ermöglicht eine Zeitauflösung bei der Analyse in der Größenordnung der Abtastrate des ursprünglichen Signals, die nur von der Art der verwendeten Kopplungsmaße abhängt. Der Ensemble-Ansatz wird auf verschiedene Kopplungsmaße angewandt. Zunächst werden die Methoden ausführlich an verschiedenen theoretischen Modellen und unter verschiedenen Bedingungen getestet. Anschließend erfolgt eine zeitaufgelöste Kopplungsanalyse kardiovaskulärer Zeitreihen, die während transienter Ereignisse aufgenommen wurden. Die Ergebnisse dieser Analyse bestätigen zum einen aktuelle Studienresultate, liefern aber auch neue Erkenntnisse, die es in Zukunft ermöglichen können, Modelle des Herz-Kreislauf-Systems zu erweitern und zu verbessern. / The analysis of causal relationships in complex dynamic systems plays a more and more important role in various scientific fields. The aim of this current, interdisciplinary field of research is a fundamental, deep understanding of predominant processes and their interactions in such systems. The study of time series using modern coupling analysis tools allows the modelling of the respective systems and thus better prediction methods and advanced interpretation possibilities for the results. In this work, initially some existing coupling measures and their fields of application are introduced. One trait these measures have in common is the requirement of stationary time series to ensure their applicability. Therefore, in the course of this thesis a possibility to extend these measures is presented, which allows a coupling analysis with a high temporal resolution and thus also the analysis of transient, nonstationary events. The extension is based on the use of ensembles of time series and the calculation of the respective measures across these ensembles instead of across time. This allows for a temporal resolution of the same order of magnitude as the sampling rate in the original signal. The resolution only depends on the kind of coupling analysis method employed. The ensemble extension is applied to different coupling measures. To begin with, the regarded tools are tested on various theoretical models and under different conditions. This is followed by a coupling analysis of cardiovascular time series recorded during transient events. The results on the one hand confirm topical study outcomes and on the other hand deliver new insights, which will allow to extend and improve cardiovascular system models in the future.

In dieser Dissertation werden wir die Wirkung der Verzögerung Kupplung auf Netzwerke von chaotischen erkunden dynamischer Systeme mit dem Rahmen der Master Stabilität Formalismus. Wir werden untersuchen das Phänomen der Verzögerung-verstärkter und Verzögerungen-induzierte stabile Synchronisation in einer willkürlichen Verzögerung gekoppelt Netzwerk von zeitkontinuierlichen dynamischen Systemen. Wir demonstrieren, dass es immer existieren eine erweiterte Regime des stabilen synchronen Zustand als eine Funktion der Kopplungsstärke geeignete Verbindung Verzögerungen, die nicht ohne Verzögerung in die Kupplung beobachtet werden kann. Wir schlagen eine partielle verzögerung Verbindung als eine Kombination von sowohl den momentanen und der komplett Verzögerung Verbindung mit gewissen Gewichten Bestimmung ihrer Beiträgen. Wir werden zeigen, dass die partielle Verzögerung Verbindung beide Grenzfälle des momentanen und der komplett Verzögerung Kupplung am synchronizabilit von Netzwerken übertrifft. Der Rahmen fuer Master Stabilität Formalismus ist mit einem Netzwerk von intrinsischen Zeitverzögerung Systeme, deren Knoten Dynamik durch Verzögerung Differentialgleichungen beschrieben erweitert, zum ersten Mal in der Literatur und veranschaulicht das allgemeine Verhalten des Master-Stabilisierungsfunktion in Netzwerken skalare Zeit Einschaltverzögerung Systeme auf den Synchronisations-Eigenschaften des Netzes. Außerdem untersuchen wir das Zusammenspiel von Lärm und verzögert in das Phänomen der Lärmverstärkter Phasensynchronisierung in beiden unidirektional und bidirektional gekoppelt zeitverzögerung systeme. / In this thesis, we will explore the effect of delay coupling on networks of chaotic dynamical systems using the framework of master stability formalism. We will investigate the phenomenon of delay-enhanced and delay-induced stable synchronization in an arbitrary delay coupled network of time-continuous dynamical systems. We will demonstrate that there always exist an extended regime of stable synchronous state as a function of coupling strength for appropriate coupling delays, which cannot be observed without any delay in the coupling. We will also propose a partial delay coupling as a combination of both the instantaneous and the completely delay coupling with certain weights determining their contributions. We will show that the partial delay coupling outperforms both limiting cases of the instantaneous and the completely delay coupling on the synchronizability of networks. The framework of master stability formalism is extended to a network of intrinsic time-delay systems, whose node dynamics are described by delay differential equations, for the first time in the literature and illustrated the generic behavior of the master stability function in networks of scalar time-delay systems based on the synchronization properties of the network. We also investigate the interplay of noise and delay in the phenomenon of noise-enhanced phase synchronization in both unidirectionally and bidirectionally coupled time-delay systems.

Basierend auf der Theorie von Netzwerken wird ein allgemeines Rahmenwerk entwickelt, um kollektive Synchronisationsphänome von Extremereignissen in komplexen Systemen zu studieren. Die Methode vergleicht die Variabilität der einzelnen Teile des Systems auf Grundlage von Beobachtungszeitreihen mit dem Ziel, emergente Synchronisationsmuster von Extremereignissen auf makroskopischer Ebene aufzudecken. Zu diesem Zweck werden die einzelnen Zeitreihen eines interaktiven Systems mit den Knoten eines Netzwerks identifiziert und die Abhängigkeiten zwischen diesen durch die Kanten des Netzwerks dargestellt. Die komplexe interne Synchronisationsstruktur des Systems wird so in Form der Netzwerktopologie mathematisch zugänglich gemacht und kann durch die Einführung geeigneter Netzwerkmaße analysiert werden. Die Methode wird im Folgenden auf räumlich und zeitlich hochaufgelöste Regendaten aus Satellitenmessungen angewendet, um die kollektive Dynamik extremer Regenereignisse in Südamerika zu untersuchen. Diese Anwendung verfolgt drei Ziele: Erstens wird gezeigt, wie die hier entwickelte Methode zur klimatologischen Analyse verwendet werden kann. Zweitens können Quellen und Senken von Extremereignissen durch die Einführung des Konzeptes der Netzwerkdivergenz identifiziert werden. Dies erlaubt es, die gerichteten Netzwerkpfade, entlang derer Extremereignisse synchronisieren, nachzuverfolgen. Auf dieser Grundlage wird eine statistische Regel gewonnen, die beträchtliche Anteile der extremen Regenereignisse in den Zentralanden vorhersagt. Drittens werden die bis dahin entwickelten Methoden und gewonnenen Einsichten dazu verwendet, die Darstellung extre- mer Regenereignisse in verschiedenen Datensätzen zu vergleichen. Insbesondere wird in diesem Kontext die Implementierung solcher Ereignisse in drei gängigen Klimamodellen evaluiert. / Based on the theory of networks, a general framework is developed to study collective synchronization phenomena of extreme events in complex systems. The method relies on observational time series encoding the variability of the single parts of the system, and is intended to reveal emerging patterns of extreme event synchronization on the macroscopic level. For this purpose, the time series obtained from an interactive system under consideration are identified with network nodes, and the possibly delayed and non-linear interdependence of extreme events in different time series is represented by network links connecting the nodes. In this way, the complex internal synchronization structure of the system becomes accessible in terms of the topology of the network, which can be analyzed by introducing suitable network measures. The methodology is applied to satellite-derived rainfall time series of high spatiotemporal resolution in order to investigate the collective dynamics of extreme rainfall events in South America. The purpose of this application is threefold: First, it is shown how the methodology can be used for climatic analysis by revealing climatological mechanism from the spatial patterns exhibited by different network measures. Second, by introducing the concept of network divergence, sink and source regions of extreme events can be identified, allowing to track their directed synchronization pathways through the network. A simple statistical forecast rule is derived on this basis, predicting substantial fractions of extreme rainfall events in the Central Andes. Third, the methodology and the insights developed in the first two steps are used to evaluate the dynamical representation of extreme events in different datasets, and in particular their dynamical implementation in three state of the art climate models.

Synchonisation ist ein universelles Phänomen welches in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch in Sozialsystemen vorkommt. Verschiedene Modellsysteme wurden zur Beschreibung von Synchronisation vorgeschlagen, wobei das Kuramoto-Modell das am weitesten verbreitete ist. Das Kuramoto-Modell zweiter Ordnung beschreibt eigenständige Phasenoszillatoren mit heterogenen Eigenfrequenzen, die durch den Sinus ihrer Phasendifferenzen gekoppelt sind, und wird benutzt um nichtlineare Dynamiken in Stromnetzen, Josephson-Kontakten und vielen anderen Systemen zu analysieren. Im Laufe der letzten Jahre wurden insbesondere Netzwerke von Kuramoto-Oszillatoren studiert, da sie einfach genug für eine analytische Beschreibung und denoch reich an vielfältigen Phänomenen sind. Eines dieser Phänomene, explosive synchronization, entsteht in skalenfreien Netzwerken wenn eine Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und der Netzwerktopolgie besteht. Im ersten Teil dieser Dissertation wird ein Kuramoto-Netzwerk zweiter Ordnung mit einer Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und dem Netzwerkgrad untersucht. Die Theorie im Kontinuumslimit und für unkorrelierte Netzwerke wird für das Modell mit asymmetrischer Eigenfrequenzverteilung entwickelt. Dabei zeigt sich, dass Cluster von Knoten mit demselben Grad nacheinander synchronisieren, beginnend mit dem kleinsten Grad. Dieses neue Phänomen wird als cluster explosive synchronization bezeichnet. Numerische Untersuchungen zeigen, dass dieses Phänomen auch durch die Zusammensetzung der Netzwerkgrade beeinflusst wird. Zum Beispiel entstehen unstetige Übergänge nicht nur in disassortativen, sondern auch in stark assortativen Netzwerken, im Gegensatz zum Kuramoto-Modell erster Ordnung.Unstetige Phasenübergänge lassen sich anhand eines Ordnungsparameters und der Hysterese auf unterschiedliche Anfangsbedingungen zurückführen. Unter starken Störungen kann das System von wünschenswerten in nicht gewünschte Zustände übergehen. Diese Art der Stabilität unter starken Störungen kann mit dem Konzept der basin stability quantifiziert werden. Im zweiten Teil dieser Dissertation wird die basin stability der Synchronisation im Kuramoto-Modell zweiter Ordnung untersucht, wobei die Knoten separat gestört werden. Dabei wurde ein neues Phänomen mit zwei nacheinander auftretenden Übergängen erster Art entdeckt: Eine \emph{onset transition} von einer globalen Stabilität zu einer lokalen Instabilität, und eine suffusing transition von lokaler zu globaler Stabilität. Diese Abfolge wird als onset and suffusing transition bezeichnet.Die Stabilität von Netzwerknoten kann durch die lokale Netzwerktopologie beeinflusst werden, zum Beispiel haben Knoten neben Netzwerk-Endpunkten eine geringe basin stability. Daraus folgend wird ein neues Konzept der partiellen basin stability vorgeschlagen, insbesondere für cluster synchronization, um die wechselseitigen Stabilitätseinflüsse von Clustern zu quantifizieren.Dieses Konzept wird auf zwei wichtige reale Beispiele angewandt: Neuronale Netzwerke und das nordeuropäische Stromnetzwerk. Die neue Methode erlaubt es instabile und stabile Cluster in neuronalen Netzwerken zu identifizieren und erklärt wie Netzwerk-Endpunkte die Stabilität gefährden. / Synchronization phenomena are ubiquitous in the natural sciences and engineering, but also in social systems. Among the many models that have been proposed for a description of synchronization, the Kuramoto model is most popular. It describes self-sustained phase oscillators rotating at heterogeneous intrinsic frequencies that are coupled through the sine of their phase differences. The second-order Kuramoto model has been used to investigate power grids, Josephson junctions, and other systems.The study of Kuramoto models on networks has recently been boosted because it is simple enough to allow for a mathematical treatment and yet complex enough to exhibit rich phenomena. In particular, explosive synchronization emerges in scale-free networks in the presence of a correlation between the natural frequencies and the network topology. The first main part of this thesis is devoted to study the networked second-order Kuramoto model in the presence of a correlation between the oscillators'' natural frequencies and the network''s degree. The theoretical framework in the continuum limit and for uncorrelated networks is provided for the model with an asymmetrical natural frequency distribution. It is observed that clusters of nodes with the same degree join the synchronous component successively, starting with small degrees. This novel phenomenon is named cluster explosive synchronization. Moreover, this phenomenon is also influenced by the degree mixing in the network connection as shown numerically. In particular, discontinuous transitions emerge not just in disassortative but also in strong assortative networks, in contrast to the first-order model. Discontinuous phase transitions indicated by the order parameter and hysteresis emerge due to different initial conditions. For very large perturbations, the system could move from a desirable state to an undesirable state. Basin stability was proposed to quantify the stability of a system to stay in the desirable state after being subjected to strong perturbations. In the second main part of this thesis, the basin stability of the synchronization of the second-order Kuramoto model is investigated via perturbing nodes separately. As a novel phenomenon uncovered by basin stability it is demonstrated that two first-order transitions occur successively in complex networks: an onset transition from a global instability to a local stability and a suffusing transition from a local to a global stability. This sequence is called onset and suffusing transition.Different nodes could have a different stability influence from or to other nodes. For example, nodes adjacent to dead ends have a low basin stability. To quantify the stability influence between clusters, in particular for cluster synchronization, a new concept of partial basin stability is proposed. The concept is implemented on two important real examples: neural networks and the northern European power grid. The new concept allows to identify unstable and stable clusters in neural networks and also explains how dead ends undermine the network stability of power grids.

In der vorliegenden Arbeit werden Musterbildungsphänomene auf Submikrometerskalen in reaktiven Adsorbaten auf einkristallinen Katalysatoroberflächen theoretisch untersucht. Da auf solch kleinen Skalen Fluktuationen nicht mehr vernachlässigt werden können, wird eine mesoskopische Theorie entwickelt, die zwischen mikroskopischen Gittermodellen und Reaktions-Diffusions-Systemen vermittelt. Sie beschreibt die Dynamik lokal gemittelter Adsorbatbedeckungen im Rahmen eines Kontinuumsmodells unter Berücksichtigung interner Fluktuationen. Dieser Ansatz wird auf verschiedene Systeme angewendet, in denen sich Muster auf Längenskalen ausbilden, die kleiner als die charakterist ische Diffusionslänge sind, die typischerweise im Mikrometerbereich liegt. Wie beispielsweise in kürzlich durchgefh hrten Experimenten mit einem vergleichsweise schnellen Rastertunnelmikroskop beobachtet wurde, können attraktive Adsorbat-Adsorbat-Wech sel wirkungen zu verschiedenen Mustern auf Nanometerskalen führen. Hier wird zunächst eine einzelne Adsorbatspezies betrachtet. In Abwesenheit von Nichtgleichgewichtsreaktionen können hinreichend starke attraktive laterale Adsorbatwechselwirkungen einen Phasenh bergang erster Ordnung in der Adsorbatbedeckung induzieren. Die mesoskopische Entwicklungsgleichung wird auf die Modellierung der Kinetik dieses Phasenh bergangs angewendet. Berücksichtigt man zusätzlich eine Nichtgleichgewichtsreakti on, so können sich stationäre räumlich periodische Mikrostrukturen aufgrund der Konkurrenz zwischen dem Phasenh bergang und der Reaktion ausbilden. Die Vorraussetzungen für deren Auftreten und ihre charakteristischen Eigenschaften werden hier detailliert analysiert. Unter anderem werden alternierende Wechselwirkungen diskutiert und der Einfluß globaler Kopplung durch die Gasphase auf die Musterbildung wird betrachtet. Außerdem wird gezeigt, da8 die Mikrostrukturen auch durch vergleichsweise starke interne Fluktuationen nicht zerstört werden. Im nächsten Schritt wird ein hypothetisches Modell für zwei verschiedene Adsorbatspezies untersucht, in dem ein ähnlicher Mechanismus zur Bildung von laufenden und stehenden Wellenmustern auf der Nanoskala führt. Werden vergleichsweise starke interne Fluktuationen berücksichtigt, so brechen diese Wellenmuster auf und man beobachtet eine komplexe Dynamik miteinander wechselwirkender Wellenfragmente. Im letzten Beispiel wird anhand der Analyse eines einfachen Modells gezeigt, da8 sich auf Skalen unterhalb der Diffusionslänge selbstorganisierte Mikroreaktoren in einer einzelnen reaktiven Adsorbatspezies ausbilden können, ohne daß die Teilchen miteinander wechselwirken. Sie entsprechen lokalisierten Strukturen, die aufgrund des Zusammenspiels einer Nichtgleichgewichtsreaktion, der Diffusion und eines adsorbatinduzierten strukturellen Phasenh bergangs in der Substratoberfläche entstehen. / Nanoscale pattern formation in reactive adsorbates on single crystal surfaces is investigated theoretically. Because on such small scales fluctuations become important, a mesoscopic theory for the adsorbate coverage is developed, which aims at providing a link between microscopic lattice models and reaction-diffusion equations. It describes the dynamics for the locally averaged adsorbate coverages in a continuum model taking into account internal fluctuations. This approach is applied to several systems, where patterns on scales smaller than the characteristic diffusion length, which typically lies in the micrometer range, can be formed. As has been observed e.g. in recent experiments with fast scanning tunneling microscopy, a variety of nanoscale patterns can result from the presence of attractive adsorbate-adsorbate interactions. Here, at first a single species of such an adsorbate is considered. In the absence of nonequilibrium reactions, strong enough attractive lateral interactions can induce a first-order phase transition in the adsorbate coverage. The mesoscopic evolution equation is applied to model the kinetics of this phase transition. If additionally a nonequilibrium reaction is present, stationary spatially periodic microstructures may arise as a result of the competition of the attractive lateral interactions and the reactions. The conditions for their appearance and their properties are investigated in detail, e.g. alternating lateral interactions are discussed and the influence of global coupling through the gas phase is analyzed. Furthermore, it is shown that they are not destroyed by relatively strong internal fluctuations. In the next step, a hypothetical model for two different reactive adsorbate species is investigated, where a similar mechanism leads to the formation of nanoscale traveling and standing waves. In the presence of relatively strong internal fluctuations these waves break up and a complex dynamics of interacting wave fragments is observed. In the last example, it is shown in the analysis of a simple model that self-organized nonequilibrium microreactors with submicrometer sizes may spontaneously develop in a single reactive adsorbate species without attractive lateral interactions. They represent localized structures resulting from the interplay between reaction, diffusion and an adsorbate-induced structural transformation of the surface.