Synchonisation ist ein universelles Phänomen welches in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch in Sozialsystemen vorkommt. Verschiedene Modellsysteme wurden zur Beschreibung von Synchronisation vorgeschlagen, wobei das Kuramoto-Modell das am weitesten verbreitete ist. Das Kuramoto-Modell zweiter Ordnung beschreibt eigenständige Phasenoszillatoren mit heterogenen Eigenfrequenzen, die durch den Sinus ihrer Phasendifferenzen gekoppelt sind, und wird benutzt um nichtlineare Dynamiken in Stromnetzen, Josephson-Kontakten und vielen anderen Systemen zu analysieren. Im Laufe der letzten Jahre wurden insbesondere Netzwerke von Kuramoto-Oszillatoren studiert, da sie einfach genug für eine analytische Beschreibung und denoch reich an vielfältigen Phänomenen sind. Eines dieser Phänomene, explosive synchronization, entsteht in skalenfreien Netzwerken wenn eine Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und der Netzwerktopolgie besteht. Im ersten Teil dieser Dissertation wird ein Kuramoto-Netzwerk zweiter Ordnung mit einer Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und dem Netzwerkgrad untersucht. Die Theorie im Kontinuumslimit und für unkorrelierte Netzwerke wird für das Modell mit asymmetrischer Eigenfrequenzverteilung entwickelt. Dabei zeigt sich, dass Cluster von Knoten mit demselben Grad nacheinander synchronisieren, beginnend mit dem kleinsten Grad. Dieses neue Phänomen wird als cluster explosive synchronization bezeichnet. Numerische Untersuchungen zeigen, dass dieses Phänomen auch durch die Zusammensetzung der Netzwerkgrade beeinflusst wird. Zum Beispiel entstehen unstetige Übergänge nicht nur in disassortativen, sondern auch in stark assortativen Netzwerken, im Gegensatz zum Kuramoto-Modell erster Ordnung.Unstetige Phasenübergänge lassen sich anhand eines Ordnungsparameters und der Hysterese auf unterschiedliche Anfangsbedingungen zurückführen. Unter starken Störungen kann das System von wünschenswerten in nicht gewünschte Zustände übergehen. Diese Art der Stabilität unter starken Störungen kann mit dem Konzept der basin stability quantifiziert werden. Im zweiten Teil dieser Dissertation wird die basin stability der Synchronisation im Kuramoto-Modell zweiter Ordnung untersucht, wobei die Knoten separat gestört werden. Dabei wurde ein neues Phänomen mit zwei nacheinander auftretenden Übergängen erster Art entdeckt: Eine \emph{onset transition} von einer globalen Stabilität zu einer lokalen Instabilität, und eine suffusing transition von lokaler zu globaler Stabilität. Diese Abfolge wird als onset and suffusing transition bezeichnet.Die Stabilität von Netzwerknoten kann durch die lokale Netzwerktopologie beeinflusst werden, zum Beispiel haben Knoten neben Netzwerk-Endpunkten eine geringe basin stability. Daraus folgend wird ein neues Konzept der partiellen basin stability vorgeschlagen, insbesondere für cluster synchronization, um die wechselseitigen Stabilitätseinflüsse von Clustern zu quantifizieren.Dieses Konzept wird auf zwei wichtige reale Beispiele angewandt: Neuronale Netzwerke und das nordeuropäische Stromnetzwerk. Die neue Methode erlaubt es instabile und stabile Cluster in neuronalen Netzwerken zu identifizieren und erklärt wie Netzwerk-Endpunkte die Stabilität gefährden. / Synchronization phenomena are ubiquitous in the natural sciences and engineering, but also in social systems. Among the many models that have been proposed for a description of synchronization, the Kuramoto model is most popular. It describes self-sustained phase oscillators rotating at heterogeneous intrinsic frequencies that are coupled through the sine of their phase differences. The second-order Kuramoto model has been used to investigate power grids, Josephson junctions, and other systems.The study of Kuramoto models on networks has recently been boosted because it is simple enough to allow for a mathematical treatment and yet complex enough to exhibit rich phenomena. In particular, explosive synchronization emerges in scale-free networks in the presence of a correlation between the natural frequencies and the network topology. The first main part of this thesis is devoted to study the networked second-order Kuramoto model in the presence of a correlation between the oscillators'' natural frequencies and the network''s degree. The theoretical framework in the continuum limit and for uncorrelated networks is provided for the model with an asymmetrical natural frequency distribution. It is observed that clusters of nodes with the same degree join the synchronous component successively, starting with small degrees. This novel phenomenon is named cluster explosive synchronization. Moreover, this phenomenon is also influenced by the degree mixing in the network connection as shown numerically. In particular, discontinuous transitions emerge not just in disassortative but also in strong assortative networks, in contrast to the first-order model. Discontinuous phase transitions indicated by the order parameter and hysteresis emerge due to different initial conditions. For very large perturbations, the system could move from a desirable state to an undesirable state. Basin stability was proposed to quantify the stability of a system to stay in the desirable state after being subjected to strong perturbations. In the second main part of this thesis, the basin stability of the synchronization of the second-order Kuramoto model is investigated via perturbing nodes separately. As a novel phenomenon uncovered by basin stability it is demonstrated that two first-order transitions occur successively in complex networks: an onset transition from a global instability to a local stability and a suffusing transition from a local to a global stability. This sequence is called onset and suffusing transition.Different nodes could have a different stability influence from or to other nodes. For example, nodes adjacent to dead ends have a low basin stability. To quantify the stability influence between clusters, in particular for cluster synchronization, a new concept of partial basin stability is proposed. The concept is implemented on two important real examples: neural networks and the northern European power grid. The new concept allows to identify unstable and stable clusters in neural networks and also explains how dead ends undermine the network stability of power grids.