Welchen Einfluss die Struktur eines neuronalen Netzwerks auf seine Funktion ausübt, ist ein zentrales Thema der Neurowissenschaften. Obwohl gezeigt wurde, dass die Struktur vieler Gehirnnetzwerke nicht-triviale Gradkorrelationen aufweisen, ist deren Einfluss auf die neuronale Verarbeitung noch nicht vollständig verstanden. Diese Problem stellt einen Schwerpunkt dieser Arbeit dar – wir entwickeln ein „mean field“-Modell zur Untersuchung der Aktivitäten in rekurrenten neuronalen Netzwerken. Diese Untersuchung zeigt unter anderem, dass Gradkorrelationen in neuronalen Netzwerken zu komplexen, multistabilen Aktivitätsregimen führen können. Der zweite Schwerpunkt dieser Arbeit liegt auf Wellen auf der Netzhaut, von denen angenommen wird, dass sie für die Entwicklung des visuellen Systems eine wesentliche Rolle spielen. An Kaninchen durchgeführte Experimente zeigten, dass Wellen auf der Netzhaut im frühesten Stadium mit einer mittleren Rate von 36±18 1/sec auftreten und sich mit einer Geschwindigkeit von 451±91 μm/sec ausbreiten. Es ist bekannt, dass sich die Wellen in der Ganglienzellschicht der Netzhaut ausbreiten und auf Gap Junction-Kopplung zwischen den Neuronen beruhen. Da Gap Junctions (elektrische Synapsen) kurze Integrationszeiten haben, wurde vermutet, dass diese nicht für die niedrige Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen auf der Netzhaut verantwortlich sein können. Wir entwickeln ein Modell, das aus einem zweidimensionalen Netzwerk von gekoppelten burstenden Neuronen besteht und die beobachtete Ausbreitungsgeschwindigkeit erklärt. Nach unserem Kenntnisstand ist dies das erste Mal, dass gezeigt wurde, dass die experimentell beobachtete Wellengeschwindigkeit und Nukleationsrate der frühen Wellen auf der Netzhaut für eine physiologisch plausible Gap Junction Kopplungsstärke und Rauschintensität zu erwarten sind. / The interplay between the structure and the function of a neuronal network is a fundamental issue in neuroscience. Although many brain networks have been shown to exhibit non-trivial correlations in their connectivity patterns, their role for neuronal computations is yet poorly understood. We set one main focus of this thesis on degree correlations and their influence on the activities in neuronal networks. To this end, we develop a mean field model and investigate the activities in recurrent neuronal networks. We find that depending on the degree-correlations, networks of neurons can exhibit complex, multi-stable activity regimes. The second focus of this thesis concerns retinal waves, which are believed to be essential for the development of the visual system. Experiments performed on rabbits revealed that stage I retinal waves (the earliest stage) are nucleated spontaneously with a mean inter-wave interval of 36±18 1/sec, to propagate without directional bias at a speed of 451±91 μm/sec. It has been known that the waves at this age spread through the ganglion cell layer of the retina and rely on gap junction coupling between the neurons. Because gap junctions (electrical synapses) have short integration times, it has been argued that they cannot set the low speed of stage I retinal waves. We present a theoretical model consisting of a two-dimensional network of the noisy bursting neurons, which are coupled via gap junctions. We demonstrate that this model explains the observed propagation speed, which is discussed analytically. To our knowledge, this is the first time it is demonstrated that the experimentally observed wave speed and nucleation rate of stage I retinal waves is recovered for a gap-junction coupling strength and noise intensity within a physiologically plausible range. Particularly the implication of gap junctions as mediator of these waves was previously unexplained.

Diese Arbeit beschäftigt sich sowohl mit der experimentell motivierten Fragestellung nach der Kontrolle der Einzelzellaktivität kortikaler Neurone sowie mit der theoretischen Beschreibung der neuronalen Dynamik und ihrer Transfereigenschaften anhand einfacher Neuronenmodelle. Hierfür werden in-vivo Daten, die mit Hilfe der juxtazellulären Stimulation mit weißem bandpass limitiertem Gaußschem Rauschen erhoben wurden, verwendet. Mit Parameterfits einfacher Neuronenmodelle werden die experimentell ermittelten Pulszugstatistiken sowie die präzisen Zeitpunkte der einzelnen Aktionspotentiale quantitativ reproduziert. Diese Untersuchungen zeigen, dass mit dynamischen Rauschstimuli in juxtazellulärer Stimulation verlässlich und reproduzierbar Pulszüge in einzelnen kortikalen Neuronen hervorgerufen werden können. Weiterhin offenbart die Analyse der Daten die Eigenschaft der untersuchten Neurone frequenzunabhängig, bishin zu Vielfachen der Feuerrate des Neurons, Information über Signalkomponenten zu transferieren. Diese Eigenschaft steht im Widerspruch zum Verhalten der einfachsten (und populärsten) integrate-and-fire Modelle, die die Zelle ohne Auflösung ihrer räumlichen Struktur näherungsweise beschreiben. Die Erweiterung solcher Ein-Kompartiment Modelle auf ein Zwei-Kompartiment Modell und die damit eingeführte Unterscheidung zwischen Soma und Dendrit ermöglicht es, für einzelne Neuronen sämtliche experimentell erhobenen Statistiken, einschließlich des Hochfrequenz- Transfers, quantitativ zu reproduzieren. Zusätzlich zu den obigen Untersuchungen wird eine Methode vorgestellt, um, anhand von Input-Output Statistiken konkreter Neurone, Gaußsche Stimuli zu berechnen, die in der jeweiligen Zelle einen vorgeschriebenen Pulszug hervorrufen. In Experimenten und Simulationen wird gezeigt, dass diese vorgeschriebenen Pulszüge mit einer Verlässlichkeit erzeugt werden können, die in etwa der intrinsischen Verlässlichkeit des untersuchten Neurons entspricht. / This work elaborates on the question to which extent experimental control about the activity of single cortical neurons can be achieved and deals with the theoretical description of the neuronal dynamics. To this end, in-vivo data that have been recorded from juxtacellular experiments in cortical neurons are used. By means of parameter optimization, simple neuron models are fitted in order to quantitatively reproduce the measured spike train statistics and specific action potential timings. The analysis reveals that dynamic noise-stimuli can be used in juxtacellular stimulation to reliably generate reproducible spike trains in single cortical neurons. The analysis also reveals that the cells show a marked broadband coding of information, up to frequencies that are multiples of the firing rate of the respective neuron. This is in contrast to what is known for the simplest (and most popular) integrate-and-fire models, for which the cellular dynamics are described by a single space-independent variable. The extension of these one-compartment models to two-compartment models introduces a spatially distinction between soma and dendrite and we could show that for particular neurons it is sufficient to quantitatively reproduce all experimentally measured spike-train and input-output statistics, including the highfrequency information-transfer. Therefore, the effect of the spatial structure can be an important (structural) mechanism that can have influence on the neuronal dynamics. Additionally to the above considerations, by means of input-output statistics of particular neurons, we propose a method to compute Gaussian stimuli that are supposed to evoke prescribed spike trains in the respective neuron. Using experiments and simulations, we show that the prescribed spike trains can be evoked with a reliability that is comparable to the intrinsic reliability of the neuron under investigation.

In welcher Weise hängt die Dynamik eines neuronalen Systems von den Eigenschaften seiner Netzwerkstruktur ab? Diese wichtige Fragestellung der Neurowissenschaft untersuchen wir in dieser Dissertation anhand einer analytischen und numerischen Modellierung der Aktivität großer neuronaler Netzwerke mit komplexer Struktur. Im Fokus steht die Relevanz zweier bestimmter Merkmale für die Dynamik: strukturelle Heterogenität und Gradkorrelationen. Ein zentraler Bestandteil der Dissertation ist die Entwicklung einer Molekularfeldnäherung, mit der die mittlere Aktivität heterogener, gradkorrelierter neuronaler Netzwerke berechnet werden kann, ohne dass einzelne Neuronen explizit simuliert werden müssen. Die Netzwerkstruktur wird von einer reduzierten Matrix erfasst, welche die Verbindungsstärke zwischen den Neuronengruppen beschreibt. Für einige generische Zufallsnetzwerke kann diese Matrix analytisch berechnet werden, was eine effiziente Analyse der Dynamik dieser Systeme erlaubt. Mit der Molekularfeldnäherung und numerischen Simulationen zeigen wir, dass assortative Gradkorrelationen einem neuronalen System ermöglichen, seine Aktivität bei geringer externer Anregung aufrecht zu erhalten und somit besonders sensitiv auf schwache Stimuli zu reagieren. / An important question in neuroscience is how the structure and dynamics of a neuronal network relate to each other. We approach this problem by modeling the spiking activity of large-scale neuronal networks that exhibit several complex network properties. Our main focus lies on the relevance of two particular attributes for the dynamics, namely structural heterogeneity and degree correlations. As a central result, we introduce a novel mean-field method that makes it possible to calculate the average activity of heterogeneous, degree-correlated neuronal networks without having to simulate each neuron explicitly. We find that the connectivity structure is sufficiently captured by a reduced matrix that contains only the coupling between the populations. With the mean-field method and numerical simulations we demonstrate that assortative degree correlations enhance the network’s ability to sustain activity for low external excitation, thus making it more sensitive to small input signals.

Wahrnehmung ist kein vollständig durch sensorische Reize determinierter bottom-up Prozeß, sondern wird stark beeinflußt durch von diesen Reizen unabhängige top-down Prozesse wie etwa Aufmerksamkeit oder Erwartungen. Welche neuronalen Mechanismen liegen der Integration von bottom-up und top-down gerichteter Verarbeitung sensorischer Information zu Grunde? Im ersten Teil dieser Arbeit wurde diese Frage an Hand von Simulationen eines neuronales Netzwerks zweier vereinfachter kortikaler Areale untersucht. Dieses Netzwerk berücksichtigt hierbei jüngste zellphysiologische Befunde über die stark asymmetrischen funktionellen Eigenschaften kortikaler Neurone. Das simulierte Netzwerk repliziert zentrale neurophysiologische Befunde: 1) Top-down Signale erhöhen die Feuerraten der Neurone sowohl in einem hierarchisch hohen als auch tiefen kortikalen Areal. 2) Durch selektive top-down Signale wird die Verarbeitung simultaner Reize zu Gunsten eines faszilitierten Reizes moduliert. 3) Durch die reziproke Netzwerkarchitektur kommt es zu einem bidirektionalen Informationsfluß zwischen Arealen. Diese kooperative Verarbeitung bedingt gemeinsam mit einer nichtlinearen somato-dendritischen Interaktion neuronale Salvenentladungen, die ein hohes Signal-Rausch-Verhältnis aufweisen. Das simulierte Netzwerk demonstriert, welche zentrale Rolle die komplexen nichtlinearen Eigenschaften kortikaler Neurone bei der Integration bottom-up und top-down gerichteter Verarbeitung sensorischer Information spielen. Im Mittelpunkt der im zweiten Abschnitt vorgestellten experimentellen Studie steht die hochfrequente Synchronisation neuronaler Aktivität. Das große neurowissenschaftliche Interesse an der zeitlichen Struktur neuronaler Aktivität liegt insbesondere in der kontrovers diskutierten Hypothese eines „Synchronisationscodes“ begründet, gemäß welcher Information nicht nur durch die Feuerraten kortikaler Neurone, sondern auch durch die Synchronisation der Aktionspotentiale einer Neuronenpopulation codiert wird. Finden sich solche Synchronisationsphänomene in wachen, sich unter möglichst natürlichen Bedingungen verhaltenden Tieren wieder? Sind diese Synchronisationen selektiv für Eigenschaften des Reizes? Gelingt es, an Hand eines objektiven Kriteriums ein funktionelles Frequenzband neuronaler Synchronisation zu definieren? Diese Fragestellungen wurden mittels chronischer extrazellulärer Ableitungen im primären visuellen Kortex wacher, sich verhaltender Katzen untersucht: 1) Visuelle Stimulation induziert einen breitbandigen hochfrequenten Anstieg neuronaler Synchronisation. 2) Diese Synchronisation ist selektiv für die Orientierung visueller Reize. 3) Durch Analyse dieser Stimulusselektivität kann ein funktionelles Band neuronaler Synchronisation von etwa 45 Hz bis 120 Hz definiert werden. Diese Untersuchungen an wachen, sich unter vergleichsweise natürlichen Bedingungen verhaltenden Tieren demonstrieren eine überraschend breite Frequenzverteilung neuronaler Synchronisation, die im hochfrequenten Bereich weit über die üblicherweise untersuchten Frequenzbänder hinausreicht. Diese Befunde sprechen gegen die Hypothese hochfrequenter kortikaler Synchronisation als einem schmalbandigen statischen Phänomen. / Sensory perception is not purely a bottom-up process determined only by sensory stimuli, but is strongly dependent on top-down factors such as attention or expectations.Which neuronal mechanisms underlie the integration of bottom-up and top-down directed processing of sensory information? In the first part of this study this question was addressed by numerical simulations of a neural network model of two simplified cortical areas. The simulated network takes into account recent findings concerning the pronounced functional asymmetry of cortical neurons.The network replicates several important neurophysiological findings: 1) Top-down signals enhance firing rates in hierarchically high and low cortical areas. 2) The processing of two competing stimuli is biased towards one stimulus by selective top-down signals. 3) The reciprocal network architecture results in a bidirectional flow of information. Together with the implemented non-linear somato-dendritic interaction this leads to neuronal bursting behaviour with a high signal to noise ratio. The simulated network demonstrates the critical role of the complex non-linear properties of cortical neurons for the integration of bottom-up and top-down directed sensory processing. The central question of the second part of this study is the functional role of high-frequency synchronization of neuronal activity. The strong interest in the temporal dynamics of neuronal activity is particularly due to the hypothesis of a “synchronization-code” according to which information is not solely encoded by firing rates but also by the synchronization of neuronal ensembles. Is such synchronization observed in awake animals behaving under natural conditions? Are these synchronizations stimulus selective? Is it possible to define a functional frequency band of synchronization based on an objective criterion? These questions were addressed by chronic extracellular recordings of neuronal activity in primary visual cortex of awake behaving cats: 1) Visual stimulation induces neuronal synchronization in a broad and high frequency range. 2) This synchronization is selective for the orientation of a visual stimulus. 3) By analyzing the stimulus selectivity of synchronization a functional band of neuronal synchronization can be defined from about 45 to 120 Hz. These results from animals behaving under natural conditions show a surprisingly broad spectral distribution of synchronization that extends well beyond typically investigated frequency ranges. These results cast doubt on the hypothesis of cortical high-frequency synchronizations as a spectrally sharp and static phenomenon.

Synchonisation ist ein universelles Phänomen welches in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch in Sozialsystemen vorkommt. Verschiedene Modellsysteme wurden zur Beschreibung von Synchronisation vorgeschlagen, wobei das Kuramoto-Modell das am weitesten verbreitete ist. Das Kuramoto-Modell zweiter Ordnung beschreibt eigenständige Phasenoszillatoren mit heterogenen Eigenfrequenzen, die durch den Sinus ihrer Phasendifferenzen gekoppelt sind, und wird benutzt um nichtlineare Dynamiken in Stromnetzen, Josephson-Kontakten und vielen anderen Systemen zu analysieren. Im Laufe der letzten Jahre wurden insbesondere Netzwerke von Kuramoto-Oszillatoren studiert, da sie einfach genug für eine analytische Beschreibung und denoch reich an vielfältigen Phänomenen sind. Eines dieser Phänomene, explosive synchronization, entsteht in skalenfreien Netzwerken wenn eine Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und der Netzwerktopolgie besteht. Im ersten Teil dieser Dissertation wird ein Kuramoto-Netzwerk zweiter Ordnung mit einer Korrelation zwischen den Eigenfrequenzen der Oszillatoren und dem Netzwerkgrad untersucht. Die Theorie im Kontinuumslimit und für unkorrelierte Netzwerke wird für das Modell mit asymmetrischer Eigenfrequenzverteilung entwickelt. Dabei zeigt sich, dass Cluster von Knoten mit demselben Grad nacheinander synchronisieren, beginnend mit dem kleinsten Grad. Dieses neue Phänomen wird als cluster explosive synchronization bezeichnet. Numerische Untersuchungen zeigen, dass dieses Phänomen auch durch die Zusammensetzung der Netzwerkgrade beeinflusst wird. Zum Beispiel entstehen unstetige Übergänge nicht nur in disassortativen, sondern auch in stark assortativen Netzwerken, im Gegensatz zum Kuramoto-Modell erster Ordnung.Unstetige Phasenübergänge lassen sich anhand eines Ordnungsparameters und der Hysterese auf unterschiedliche Anfangsbedingungen zurückführen. Unter starken Störungen kann das System von wünschenswerten in nicht gewünschte Zustände übergehen. Diese Art der Stabilität unter starken Störungen kann mit dem Konzept der basin stability quantifiziert werden. Im zweiten Teil dieser Dissertation wird die basin stability der Synchronisation im Kuramoto-Modell zweiter Ordnung untersucht, wobei die Knoten separat gestört werden. Dabei wurde ein neues Phänomen mit zwei nacheinander auftretenden Übergängen erster Art entdeckt: Eine \emph{onset transition} von einer globalen Stabilität zu einer lokalen Instabilität, und eine suffusing transition von lokaler zu globaler Stabilität. Diese Abfolge wird als onset and suffusing transition bezeichnet.Die Stabilität von Netzwerknoten kann durch die lokale Netzwerktopologie beeinflusst werden, zum Beispiel haben Knoten neben Netzwerk-Endpunkten eine geringe basin stability. Daraus folgend wird ein neues Konzept der partiellen basin stability vorgeschlagen, insbesondere für cluster synchronization, um die wechselseitigen Stabilitätseinflüsse von Clustern zu quantifizieren.Dieses Konzept wird auf zwei wichtige reale Beispiele angewandt: Neuronale Netzwerke und das nordeuropäische Stromnetzwerk. Die neue Methode erlaubt es instabile und stabile Cluster in neuronalen Netzwerken zu identifizieren und erklärt wie Netzwerk-Endpunkte die Stabilität gefährden. / Synchronization phenomena are ubiquitous in the natural sciences and engineering, but also in social systems. Among the many models that have been proposed for a description of synchronization, the Kuramoto model is most popular. It describes self-sustained phase oscillators rotating at heterogeneous intrinsic frequencies that are coupled through the sine of their phase differences. The second-order Kuramoto model has been used to investigate power grids, Josephson junctions, and other systems.The study of Kuramoto models on networks has recently been boosted because it is simple enough to allow for a mathematical treatment and yet complex enough to exhibit rich phenomena. In particular, explosive synchronization emerges in scale-free networks in the presence of a correlation between the natural frequencies and the network topology. The first main part of this thesis is devoted to study the networked second-order Kuramoto model in the presence of a correlation between the oscillators'' natural frequencies and the network''s degree. The theoretical framework in the continuum limit and for uncorrelated networks is provided for the model with an asymmetrical natural frequency distribution. It is observed that clusters of nodes with the same degree join the synchronous component successively, starting with small degrees. This novel phenomenon is named cluster explosive synchronization. Moreover, this phenomenon is also influenced by the degree mixing in the network connection as shown numerically. In particular, discontinuous transitions emerge not just in disassortative but also in strong assortative networks, in contrast to the first-order model. Discontinuous phase transitions indicated by the order parameter and hysteresis emerge due to different initial conditions. For very large perturbations, the system could move from a desirable state to an undesirable state. Basin stability was proposed to quantify the stability of a system to stay in the desirable state after being subjected to strong perturbations. In the second main part of this thesis, the basin stability of the synchronization of the second-order Kuramoto model is investigated via perturbing nodes separately. As a novel phenomenon uncovered by basin stability it is demonstrated that two first-order transitions occur successively in complex networks: an onset transition from a global instability to a local stability and a suffusing transition from a local to a global stability. This sequence is called onset and suffusing transition.Different nodes could have a different stability influence from or to other nodes. For example, nodes adjacent to dead ends have a low basin stability. To quantify the stability influence between clusters, in particular for cluster synchronization, a new concept of partial basin stability is proposed. The concept is implemented on two important real examples: neural networks and the northern European power grid. The new concept allows to identify unstable and stable clusters in neural networks and also explains how dead ends undermine the network stability of power grids.

Neuronen sind erregbare Systeme. Ihre Antwort auf Anregungen oberhalb eines bestimmten Schwellwertes sind Pulse. Häufig wird die Pulserzeugung von verschiedenen Rückkopplungsmechanismen beeinflusst, die auf langsamen Zeitskalen agieren. Das kann zu Phänomenen wie Feuerraten-Adaptation, umgekehrter Feuerraten-Adaptation oder zum Feuern von Pulsen in Salven führen. Weiterhin sind Neuronen verschiedenen Rauschquellen ausgesetzt und wechselwirken mit anderen Neuronen, in neuronalen Netzen. Doch wie beeinflusst das Zusammenspiel von Rückkopplungsmechanismen, Rauschen und der Wechselwirkung mit anderen Neuronen die Pulserzeugung? Diese Arbeit untersucht, wie die Pulserzeugung in rauschgetriebenen erregbaren Systemen von langsamen Rückkopplungsmechanismen und der Wechselwirkung mit anderen erregbaren Systemen beeinflusst wird. Dabei wird die Pulserzeugung in drei Szenarien betrachtet: (i) in einem einzelnen erregbaren System, das um einen langsamen Rückkopplungsmechanismus erweitert wurde, (ii) in gekoppelten erregbaren Systemen und (iii) in stark gekoppelten salvenfeuernden Neuronen. In jedem dieser Szenarien wird die Pulsstatistik mit Hilfe von analytischen Methoden und Computersimulationen untersucht. Das wichtigste Resultat im ersten Szenario ist, dass das Zusammenspiel von einer stark anregenden Rückkopplung und Rauschen zu rauschkontrollierter Bistabilität führt. Das erlaubt es dem System zwischen verschiedenen Modi der Pulserzeugung zu wechseln. In (ii) wird die Pulserzeugung stark von der Wahl der Kopplungsstärken und der Anzahl der Verbindungen beeinflusst. Analytische Näherungen werden abgeleitet, die einen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Verbindungen und der Pulsrate, sowie der Pulszugvariabilität herstellen. In (iii) wird festgestellt, dass eine hemmende Rückkopplung zu sehr unregelmäßigem Verhalten der isolierten Neuronen führt, wohingegen eine starke Kopplung mit dem Netzwerk ein regelmäßigeres Feuern von Salven hervorruft. / Neurons are excitable systems. Their responses to excitations above a certain threshold are spikes. Usually, spike generation is shaped by several feedback mechanisms that can act on slow time scales. These can lead to phenomena such as spike-frequency adaptation, reverse spike-frequency adaptation, or bursting. In addition to these, neurons are subject to several sources of noise and interact with other neurons, in the connected complexity of a neural network. Yet how does the interplay of feedback mechanisms, noise as well as interaction with other neurons affect spike generation? This thesis examines how spike generation in noise-driven excitable systems is influenced by slow feedback processes and coupling to other excitable systems. To this end, spike generation in three setups is considered: (i) in a single excitable system, which is complemented by a slow feedback mechanism, (ii) in a set of coupled excitable systems, and (iii) in a set of strongly-coupled bursting neurons. In each of these setups, the statistics of spiking is investigated by a combination of analytical methods and computer simulations. The main result of the first setup is that the interplay of strong positive (excitatory) feedback and noise leads to noise-controlled bistability. It enables excitable systems to switch between different modes of spike generation. In (ii), spike generation is strongly affected by the choice of the coupling strengths and the number of connections. Analytical approximations are derived that relate the number of connections to the firing rate and the spike train variability. In (iii), it is found that negative (inhibitory) feedback causes very irregular behavior of the isolated bursters, while strong coupling to the network regularizes the bursting.

Wir untersuchen globale dynamische Phänomene, die sich von dem Zusammenspiel zwischen Netzwerktopologie und Dynamik der einzelnen Elementen ergeben. Im ersten Teil untersuchen wir relativ kleine strukturierte Netzwerke mit überschaubarer Komplexität. Als geeigneter theoretischer Rahmen für erregbare Systeme verwenden wir das Kuramoto und Shinomoto Modell der sinusförmig-gekoppelten "aktiven Rotatoren" und studieren das Kollektivverhalten des Systems in Bezug auf Synchronisation. Wir besprechen die Einschränkungen, die durch die Netzwerktopologie auf dem Fluss im Phasenraum des Systems gestellt werden. Insbesondere interessieren wir uns für die Stabilitätseigenschaften von Fluss-invarianten Polydiagonalen und die Entwicklungen von Attraktoren in den Parameterräume solcher Systeme. Wir untersuchen zweidimensionale hexagonale Gitter mit periodischen Randbedingungen. Wir untersuchen allgemeine Bedingungen auf der Adjazenzmatrix von Netzwerken, die die Watanabe-Strogatz Reduktion ermöglichen, und diskutieren verschiedene Beispiele. Schließlich präsentieren wir eine generische Analyse der Bifurkationen, die auf der Untermannigfaltigkeit des Watanabe-Strogatz reduzierten Systems stattfinden. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir das globale dynamische Phänomen selbstanhaltender Aktivität (self-sustained activity / SSA) in neuronalen Netzwerken. Wir betrachten Netzwerke mit hierarchischer und modularer Topologie , umfassend Neuronen von verschiedenen kortikalen elektrophysiologischen Zellklassen. Wir zeigen, dass SSA Zustände mit ähnlich zu den experimentell beobachteten Eigenschaften existieren. Durch Analyse der Dynamik einzelner Neuronen sowie des Phasenraums des gesamten Systems erläutern wir die Rolle der Inhibierung. Darüber hinaus zeigen wir, dass beide Netzwerkarchitektur, in Bezug auf Modularität, sowie Mischung aus verschiedenen Neuronen, in Bezug auf die unterschiedlichen Zellklassen, einen Einfluss auf die Lebensdauer der SSA haben. / In this work we study global dynamical phenomena which emerge as a result of the interplay between network topology and single-node dynamics in systems of excitable elements. We first focus on relatively small structured networks with comprehensible complexity in terms of graph-symmetries. We discuss the constraints posed by the network topology on the dynamical flow in the phase space of the system and on the admissible synchronized states. In particular, we are interested in the stability properties of flow invariant polydiagonals and in the evolutions of attractors in the parameter spaces of such systems. As a suitable theoretical framework describing excitable elements we use the Kuramoto and Shinomoto model of sinusoidally coupled “active rotators”. We investigate plane hexagonal lattices of different size with periodic boundary conditions. We study general conditions posed on the adjacency matrix of the networks, enabling the Watanabe-Strogatz reduction, and discuss different examples. Finally, we present a generic analysis of bifurcations taking place on the submanifold associated with the Watanabe-Strogatz reduced system. In the second part of the work we investigate a global dynamical phenomenon in neuronal networks known as self-sustained activity (SSA). We consider networks of hierarchical and modular topology, comprising neurons of different cortical electrophysiological cell classes. In the investigated neural networks we show that SSA states with spiking characteristics, similar to the ones observed experimentally, can exist. By analyzing the dynamics of single neurons, as well as the phase space of the whole system, we explain the importance of inhibition for sustaining the global oscillatory activity of the network. Furthermore, we show that both network architecture, in terms of modularity level, as well as mixture of excitatory-inhibitory neurons, in terms of different cell classes, have influence on the lifetime of SSA.