In dieser Dissertation geht es um Schwinger-parametrische Feynmanintegrale in der Quantenelektrodynamik. Mittels einer Vielzahl von Methoden aus der Kombinatorik und Graphentheorie wird eine signifikante Vereinfachung des Integranden erreicht. Nach einer größtenteils in sich geschlossenen Einführung zu Feynmangraphen und -integralen wird die Herleitung der Schwinger-parametrischen Darstellung aus den klassischen Impulsraumintegralen ausführlich erläutert, sowohl für skalare Theorien als auch Quantenelektrodynamik. Es stellt sich heraus, dass die Ableitungen, die benötigt werden um Integrale aus der Quantenelektrodynamik in ihrer parametrischen Version zu formulieren, neue Graphpolynome enthalten, die auf Zykeln und minimalen Schnitten (engl. "bonds") basieren. Danach wird die Tensorstruktur der Quantenelektrodynamik, bestehend aus Dirac-Matrizen und ihren Spuren, durch eine diagrammatische Interpretation ihrer Kontraktion zu ganzzahligen Faktoren reduziert. Dabei werden insbesondere gefärbte Sehnendiagramme benutzt. Dies liefert einen parametrischen Integranden, der über bestimmte Teilmengen solcher Diagramme summierte Produkte von Zykel- und Bondpolynomen enthält. Weitere Untersuchungen der im Integranden auftauchenden Polynome decken Verbindungen zu Dodgson- und Spannwaldpolynomen auf. Dies wird benutzt um eine Identität zu beweisen, mit der sehr große Summen von Sehnendiagrammen in einer kurzen Form ausgedrückt werden können. Insbesondere führt dies zu Aufhebungen, die den Integranden massiv vereinfachen. / This thesis is concerned with the study of Schwinger parametric Feynman integrals in quantum electrodynamics. Using a variety of tools from combinatorics and graph theory, significant simplification of the integrand is achieved. After a largely self-contained introduction to Feynman graphs and integrals, the derivation of the Schwinger parametric representation from the standard momentum space integrals is reviewed in full detail for both scalar theories and quantum electrodynamics. The derivatives needed to express Feynman integrals in quantum electrodynamics in their parametric version are found to contain new types of graph polynomials based on cycle and bond subgraphs. Then the tensor structure of quantum electrodynamics, products of Dirac matrices and their traces, is reduced to integer factors with a diagrammatic interpretation of their contraction. Specifically, chord diagrams with a particular colouring are used. This results in a parametric integrand that contains sums of products of cycle and bond polynomials over certain subsets of such chord diagrams. Further study of the polynomials occurring in the integrand reveals connections to other well-known graph polynomials, the Dodgson and spanning forest polynomials. This is used to prove an identity that expresses some of the very large sums over chord diagrams in a very concise form. In particular, this leads to cancellations that massively simplify the integrand.

Wir untersuchen numerisch und teilweise analytisch die kompakte Quantenelektrodynamik auf dem Gitter mit Wilson-Fermionen. Dabei konzentrieren wir uns auf zwei wesentliche Teilprobleme der Theorie: der Einfluss von Eichfeld-Moden mit verschwindendem Impuls in der Coulomb-Phase und die Effizienz von verschiedenen Monte-Carlo-Algorithmen unter Berücksichtigung dynamischer Fermionen. Wir zeigen, dass der Einfluss der Null-Impuls-Moden auf die eichabhängigen Gitter-Observablen wie Photon- und Fermion-Korrelatoren nahe der kritischen chiralen Grenzlinie innerhalb der Coulomb Phase zu einem Verhalten führt, das vom naiv erwarteten gitterstörungstheoretischen Verhalten abweicht. Diese Moden sind auch für die Abschirmung des kritischen Verhaltens der eichinvarianten Fermion-Observablen nahe der chiralen Grenzlinie verantwortlich. Eine Entfernung dieser Null-Impuls-Moden aus den Eichfeld-Konfigurationen führt innerhalb der Coulomb-Phase zum störungstheoretisch erwarteten Verhalten der eichabhängigen Observablen. Die kritischen Eigenschaften der eichinvarianten Fermion-Observablen in der Coulomb-Phase werden nach dem Beseitigen der Null-Impuls-Moden sichtbar. Der kritische Hopping-Parameter, den man aus den invarianten Fermion-Observablen erhält, stimmt gut mit demjenigen überein, der aus den eichabhängigen Observablen extrahiert werden kann. Wir führen den zweistufigen Multiboson-Algorithmus für numerische Untersuchungen im U(1)-Gittermodell mit einer geraden Anzahl von dynamischen Fermion-Flavour-Freiheitsgraden ein. Wir diskutieren die geeignete Wahl der technischen Parameter sowohl für den zweistufigen Multiboson-Algorithmus als auch für den hybriden Monte-Carlo-Algorithmus. Wir geben theoretische Abschätzungen für die Effizienz dieser Simulationsmethoden. Wir zeigen numerisch und theoretisch, daß der zweistufige Multiboson-Algorithmus eine gute Alternative darstellt und zumindestens mit der hybriden Monte-Carlo-Methode konkurrieren kann. Wir argumentieren, daß eine weitere Verbesserung der Effizienz des zweistufigen Multiboson-Algorithmus durch eine Vergrößerung der Zahl lokaler Update-Schleifen und auch durch die Reduktion der Ordnungen der ersten und zweiten Polynome zu Lasten des sogenannten 'Reweighting' erzielt werden kann. / We investigate numerically and in part analytically the compact lattice quantum electrodynamics with Wilson fermions. We studied the following particular tasks of the theory: the problem of the zero-momentum gauge field modes in the Coulomb phase and the performance of different Monte Carlo algorithms in the presence of dynamical fermions. We show that the influence of the zero-momentum modes on the gauge dependent lattice observables like photon and fermion correlators within the Coulomb phase leads to a behaviour of these observables different from standard perturbation theory. These modes are responsible also for the screening of the critical behaviour of the gauge invariant fermion values near the chiral limit line. Within the Coulomb phase the elimination of these zero-momentum modes from gauge configurations leads to the perturbatively expected behaviour of gauge dependent observables. The critical properties of gauge invariant fermion observables upon removing the zero-momentum modes are restored. The critical hopping-parameter obtained from the invariant fermion observables coincides with that extracted from gauge dependent values. We implement the two-step multiboson algorithm for numerical investigations in the U(1) lattice model with even dynamical Wilson fermion flavours. We discuss the scheme of an appropriate choice of technical parameters for both two-step multiboson and hybrid Monte Carlo algorithms. We give the theoretical estimates of the performance of such simulation methods. We show both numerically and theoretically that the two-step multiboson algorithm is a good alternative and at least competitive with the hybrid Monte Carlo method. We argue that an improvement of efficiency of the two-step multiboson algorithm can be achieved by increasing the number of local update sweeps and also by decreasing the orders of first and second polynomials corrected for by the reweighting step.

Chemische Reaktionen in der Natur sowie Prozesse in synthetischen Materialien werden oft erst durch die Wechselwirkung von Licht mit Materie ausgelöst. Üblicherweise werden diese komplexen Prozesse mit Hilfe von Näherungen beschrieben. Im ersten Teil der Arbeit wird die Gültigkeit der Born-Oppenheimer Näherung in einem vibronischen Modellsystem (Trans-Polyacetylene) unter Photoelektronenspektroskopie im Gleichgewicht sowie zeitaufgelöster Photoelektronenspektroskopie im Nichtgleichgewicht überprüft. Die vibronische Spektralfunktion zeigt aufgrund des faktorisierten Anfangs- und Endzustandes in der Born-Oppenheimer Näherung zusätzliche Peaks, die in der exakten Spektralfunktion nicht auftreten. Im Nichtgleichgewicht zeigen wir für eine Franck-Condon Anregung und eine Anregung mit Pump-Probe Puls, wie die Bewegung des vibronischen Wellenpaktes im zeitabhängigen Photoelektronenspektrum verfolgt werden kann. Im zweiten Teil der Arbeit werden sowohl die Materie als auch das Licht quantisiert behandelt. Für eine volle quantenmechanische Beschreibung des Elektron-Licht Systems, verwenden wir die kürzlich entwickelte quantenelektrodynamische Dichtefunktionaltheorie (QEDFT) für gekoppelte Elektron-Photon Systeme. Wir zeigen erste numerische QEDFT-Berechnungen voll quantisierter Atome und Moleküle in optischen Kavitäten, die an das quantisierte elektromagnetische Feld gekoppelt sind. Mit Hilfe von Fixpunktiterationen berechnen wir das exakte Kohn-Sham Potential im diskreten Ortsraum, wobei unser Hauptaugenmerk auf dem Austausch-Korrelations-Potential liegt. Wir zeigen die erste Näherung des Austausch-Korrelations-Potentials mit Hilfe eines optimierten effektiven Potential Ansatzes angewandt auf einen Jaynes-Cummings-Dimer. Die dieser Arbeit zugrunde liegenden Erkenntnisse und Näherungen ermöglichen es neuartige Phänomene an der Schnittstelle zwischen den Materialwissenschaften und der Quantenoptik zu beschreiben. / Many natural and synthetic processes are triggered by the interaction of light and matter. All these complex processes are routinely explained by employing various approximations. In the first part of this work, we assess the validity of the Born-Oppenheimer approximation in the case of equilibrium and time-resolved nonequilibrium photoelectron spectra for a vibronic model system of Trans-Polyacetylene. We show that spurious peaks appear for the vibronic spectral function in the Born-Oppenheimer approximation, which are not present in the exact spectral function of the system. This effect can be traced back to the factorized nature of the Born-Oppenheimer initial and final photoemission states. In the nonequilibrium case, we illustrate for an initial Franck-Condon excitation and an explicit pump-pulse excitation how the vibronic wave packet motion can be traced in the time-resolved photoelectron spectra as function of the pump-probe delay. In the second part of this work, we aim at treating both, matter and light, on an equal quantized footing. We apply the recently developed quantum electrodynamical density-functional theory, (QEDFT), which allows to describe electron-photon systems fully quantum mechanically. We present the first numerical calculations in the framework of QEDFT. We focus on the electron-photon exchange-correlation contribution by calculating exact Kohn-Sham potentials in real space using fixed-point inversions and present the performance of the first approximate exchange-correlation potential based on an optimized effective potential approach for a Jaynes-Cummings-Hubbard dimer. This work opens new research lines at the interface between materials science and quantum optics.