Tsoi, Hung Ming. / Thesis (M.Phil.)--Chinese University of Hong Kong, 2008. / Includes bibliographical references (leaves 88-90). / Abstracts in English and Chinese. / Preface --- p.7 / Chapter 1 --- Kahler Manifold --- p.10 / Chapter 1.1 --- Hermitian Manifold --- p.12 / Chapter 1.2 --- Kahler Manifold --- p.13 / Chapter 1.2.1 --- "Positive (l,l)-form" --- p.15 / Chapter 2 --- Vector Bundle --- p.16 / Chapter 2.1 --- Holomorphic Vector Bundle and Connection --- p.17 / Chapter 2.2 --- Hermitian Connection and Chern Connection --- p.18 / Chapter 2.2.1 --- Existence of Chern connection on a holomorphic vector bundle --- p.19 / Chapter 2.3 --- Curvature --- p.21 / Chapter 2.4 --- Positivity of Vector Bundles --- p.23 / Chapter 2.5 --- Chern Classes and Holomorphic Line Bundle --- p.24 / Chapter 2.5.1 --- Chern class in axiomatic approach --- p.25 / Chapter 2.5.2 --- Chern class in algebraic topology --- p.26 / Chapter 2.5.3 --- Chern class in terms of curvature --- p.27 / Chapter 2.5.4 --- In the case of hermitian line bundle --- p.28 / Chapter 3 --- Analytic Technique on Kahler Manifold --- p.30 / Chapter 3.1 --- Dolbeault Cohomology --- p.30 / Chapter 3.2 --- Commutator Relations on Kahler Manifold --- p.31 / Chapter 3.2.1 --- Commutator relation on a line bundle --- p.32 / Chapter 3.3 --- Hodge Theory --- p.33 / Chapter 3.4 --- Bochner Technique --- p.35 / Chapter 3.4.1 --- Bochner-Kodaira-Nakano identity --- p.36 / Chapter 4 --- Kodaira Vanishing Theorem and L2 estimate of d --- p.38 / Chapter 4.1 --- Kodaira Vanishing Theorem --- p.39 / Chapter 4.2 --- Extension of Kodaira Vanishing Theorem by L2 Method --- p.44 / Chapter 4.2.1 --- Plurisubharmonic functions and weakly pseudoconvex Kahler manifold --- p.47 / Chapter 5 --- Multiplier Ideal Sheaf --- p.55 / Chapter 5.1 --- Algebraic Properties of Multiplier Ideal Sheaf --- p.56 / Chapter 5.2 --- Some Calculations of Multiplier Ideal Sheaf --- p.59 / Chapter 6 --- Nadel Vanishing Theorem --- p.62 / Chapter 6.1 --- Nadel Vanishing Theorem by L2 Estimate of d --- p.62 / Chapter 6.2 --- The Original Setting of Nadel --- p.64 / Chapter 6.2.1 --- S-bounded and S-null sequence --- p.65 / Chapter 6.2.2 --- Multiplier ideal sheaf by Nadel --- p.67 / Chapter 6.3 --- Nadel Vanishing Theorem by Computation of Cech Cohomology --- p.69 / Chapter 6.3.1 --- L2 estimate of d --- p.69 / Chapter 6.3.2 --- Koszul cochain --- p.70 / Chapter 6.3.3 --- The cohomology vanishing theorem --- p.73 / Chapter 7 --- Kawamata-Viehweg Vanishing Theorem --- p.77 / Chapter 7.1 --- Numerically Effective Line Bundle --- p.77 / Chapter 7.2 --- Kawamata-Viehweg Vanishing Theorem --- p.85 / Bibliography --- p.88

L'objet principal de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats bien connus de la géométrie algébrique au cas k"{a}hlerien non nécessairement projectif. On généralise d'abord le théorème d'annulation de Nadel au cas k"{a}hlerien arbitraire. On obtient aussi un cas particulier du théorème d'annulation de Kawamata-Viehweg pour les variétés qui admettent une fibration vers un tore dont la fibre générique est projective. En utilisant ce résultat, on étudie le problème de déformation pour les variétés k"{a}hlériennes compactes sous une hypothèse portant sur les fibrés canoniques. On étudie enfin les variétés à fibré anticonique nef. On montre que si le fibré anticanonique est nef, alors le fibré tangent est à pentes semi-positif relative à la filtration de Harder-Narasimhan pour la polarization $omega_X ^{n-1}$. Comme application, on donne une preuve simple de la surjectivité de l'application d'Albanese, et on étudie aussi la trivialité locale de l'application d'Albanese. / The aim of this thesis is to generalize a certain number of results of algebraic geometry to K"{a}hler geometry. We first generalize the Nadel vanishing theorem to arbitrary compact K"{a}hler manifolds. We prove also a particular version of the Kawamata-Viehweg vanishing theorem for manifolds admitting a fibration to a torus such that the generic fiber is projective. Using this result, we study the theory of deformations of compact Kähler manifolds under certain assumptions on their canonical bundles. Finally, we study varieties with nef anticanonical bundles. We prove that the slopes of the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundles with respect to a polarization of the form $omega_X^{n-1}$ are semi-positive. As an application, we give a simple proof of the surjectivity of the Albanese map, and we investigate also the local triviality of the Albanese map.

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Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des variétés de Fano complexes en utilisant les propriétés des sous-faisceaux du fibré tangent et la géométrie du diviseur fondamental. Les résultats principaux compris dans ce texte sont : (i) Une généralisation de la conjecture de Hartshorne: une variété lisse projective est isomorphe à un espace projectif si et seulement si son fibré tangent contient un sous-faisceau ample.(ii) Stabilité du fibré tangent des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un : à l'aide de théorèmes d'annulation sur les espaces hermitiens symétriques irréductibles de type compact M, nous montrons que pour presque toute intersection complète générale dans M, le fibré tangent est stable. La même méthode nous permet de donner une réponse sur la stabilité de la restriction du fibré tangent de l'intersection complète à une hypersurface générale.(iii) Non-annulation effective pour des variétés de Fano et ses applications : nous étudions la positivité de la seconde classe de Chern des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un. Ceci nous permet de montrer un théorème de non-annulation pour les variétés de Fano lisses de dimension n et d'indice n-3. Comme application, nous étudions la géométrie anticanonique des variétés de Fano et nous calculons les constantes de Seshadri des diviseurs anticanoniques des variétés de Fano d'indice grand.(iv) Diviseurs fondamentaux des variétés de Moishezon lisses de dimension trois et de nombre de Picard un : nous montrons l'existence d'un diviseur lisse dans le système fondamental dans certain cas particulier. / This thesis is devoted to the study of complex Fano varieties via the properties of subsheaves of the tangent bundle and the geometry of the fundamental divisor. The main results contained in this text are:(i) A generalization of Hartshorne's conjecture: a projective manifold is isomorphic to a projective space if and only if its tangent bundle contains an ample subsheaf.(ii) Stability of tangent bundles of Fano manifolds with Picard number one: by proving vanishing theorems on the irreducible Hermitian symmetric spaces of compact type M, we establish that the tangent bundles of almost all general complete intersections in M are stable. Moreover, the same method also gives an answer to the problem of stability of the restriction of the tangent bundle of a complete intersection on a general hypersurface.(iii) Effective non-vanishing for Fano varieties and its applications: we study the positivity of the second Chern class of Fano manifolds with Picard number one, this permits us to prove a non-vanishing result for n-dimensional Fano manifolds with index n-3. As an application, we study the anticanonical geometry of Fano varieties and calculate the Seshadri constants of anticanonical divisors of Fano manifolds with large index.(iv) Fundamental divisors of smooth Moishezon threefolds with Picard number one: we prove the existence of a smooth divisor in the fundamental linear system in some special cases.