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Cette thèse est consacrée à la géométrie des variétés de Fano et des fibrés projectifs sur une courbe projective lisse.Dans la première partie on étudie la géométrie des variétés de Fano pas trop singulières admettant un diviseur premier de nombre de Picard 1. En étudiant les contractions associées aux rayons extrémaux dans le cône de Mori de ces variétés nous fournissons un théorème de structure en dimension 3 pour les variétés dont le nombre de Picard est maximal. Ensuite, nous traitons le cas des variétés toriques et nous étendons le théorème de structure aux variétés toriques de dimension supérieure à 3 dont le nombre de Picard est maximal. Enfin, nous traitons les relèvements des contractions extrémales aux espaces de revêtement universels en codimension 1.Dans la deuxième partie on étudie les corps de Newton-Okounkov sur les fibrés projectifs sur une courbe projective lisse. En nous inspirant des estimations de Wolfe utilisées pour calculer la fonction de volume sur ces variétés, nous calculons tous les corps de Newton-Okounkov par rapport aux drapeaux linéaires et nous étudions comment ces corps dépendent de la décomposition en cellules de Schubert par rapport aux drapeaux linéaires compatibles avec la filtration de Harder-Narasimhan du fibré. De plus, nous caractérisons les fibrés vectoriels semi-stables sur une courbe projective lisse à l'aide des corps de Newton-Okounkov. / This thesis is devoted to the geometry of Fano varieties and projective vector bundles over a smooth projective curve.In the first part we study the geometry of mildly singular Fano varieties on which there is a prime divisor of Picard number 1. By studying the contractions associated to extremal rays in the Mori cone of these varieties, we provide a structure theorem in dimension 3 for varieties with maximal Picard number. Afterwards, we address the case of toric varieties and we extend the structure theorem to toric varieties of dimension greater than 3 and with maximal Picard number. Finally, we treat the lifting of extremal contractions to universal covering spaces in codimension 1.In the second part we study Newton-Okounkov bodies on projective vector bundles over a smooth projective curve. Inspired by Wolfe's estimates used to compute the volume function on these varieties, we compute all Newton-Okounkov bodies with respect to linear flags and we study how these bodies depend on the Schubert cell decomposition with respect to linear flags which are compatible with the Harder-Narasimhan filtration of the bundle. Moreover, we characterize semi-stable vector bundles over smooth projective curves via Newton-Okounkov bodies.

Diese Dissertation befasst sich mit Fragen über den Modulraum M_{0,n} der stabilen punktierten rationalen Kurven, die durch das Mori-Programm motiviert sind. Insbesondere studieren wir den nef-Kegel (Chapter 2), den Cox-Ring (Chapter 3), und den Kegel der beweglichen Kurven (Chapter 4). In Kapitel 2 beweisen wir Fultons Vermutung für M_{0,n}, n / We investigate questions motivated by Mori''s program for the moduli space of stable pointed rational curves, M_{0,n}. In particular, we study its nef cone (Chapter 2), its Cox ring (Chapter 3), and its cone of movable curves (Chapter 4). In Chapter 2, we prove Fulton''s conjecture for M_{0,n} for n less than or equal to 7, which states that any divisor on these moduli spaces non-negatively intersecting all so-called F-curves is linearly equivalent to an effective sum of boundary divisors. As a corollary, it follows that a divisor is nef if and only if the divisor intersects all F-curves non-negatively. By duality, we thus recover Keel and McKernan''s result that the F-curves generate the closed cone of curves when n is less than or equal to seven, but with methods that do not rely on negativity properties of the canonical bundle that fail for higher n. Chapter 3 initiates a study of relations among generators of the Cox ring of M_{0,n}. We first prove a `relation-free'' result that exhibits polynomial subrings of the Cox ring in boundary section variables. In the opposite direction, we exhibit multidegrees such that the corresponding graded parts meet the ideal of relations non-trivially. In Chapter 4, we study the so-called complete intersection cone for the three-fold M_{0,6}. For a smooth projective variety X, this cone is defined as the closure of curve classes obtained as intersections of the dimension of X minus one very ample divisors. The complete intersection cone is contained in the cone of movable curves, which is dual to the cone of pseudoeffective divisors. We show that, for a series of toric birational models for M_{0,6}, the complete intersection and movable cones coincide, while for M_{0,6}, there is strict containment.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des variétés de Fano complexes en utilisant les propriétés des sous-faisceaux du fibré tangent et la géométrie du diviseur fondamental. Les résultats principaux compris dans ce texte sont : (i) Une généralisation de la conjecture de Hartshorne: une variété lisse projective est isomorphe à un espace projectif si et seulement si son fibré tangent contient un sous-faisceau ample.(ii) Stabilité du fibré tangent des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un : à l'aide de théorèmes d'annulation sur les espaces hermitiens symétriques irréductibles de type compact M, nous montrons que pour presque toute intersection complète générale dans M, le fibré tangent est stable. La même méthode nous permet de donner une réponse sur la stabilité de la restriction du fibré tangent de l'intersection complète à une hypersurface générale.(iii) Non-annulation effective pour des variétés de Fano et ses applications : nous étudions la positivité de la seconde classe de Chern des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un. Ceci nous permet de montrer un théorème de non-annulation pour les variétés de Fano lisses de dimension n et d'indice n-3. Comme application, nous étudions la géométrie anticanonique des variétés de Fano et nous calculons les constantes de Seshadri des diviseurs anticanoniques des variétés de Fano d'indice grand.(iv) Diviseurs fondamentaux des variétés de Moishezon lisses de dimension trois et de nombre de Picard un : nous montrons l'existence d'un diviseur lisse dans le système fondamental dans certain cas particulier. / This thesis is devoted to the study of complex Fano varieties via the properties of subsheaves of the tangent bundle and the geometry of the fundamental divisor. The main results contained in this text are:(i) A generalization of Hartshorne's conjecture: a projective manifold is isomorphic to a projective space if and only if its tangent bundle contains an ample subsheaf.(ii) Stability of tangent bundles of Fano manifolds with Picard number one: by proving vanishing theorems on the irreducible Hermitian symmetric spaces of compact type M, we establish that the tangent bundles of almost all general complete intersections in M are stable. Moreover, the same method also gives an answer to the problem of stability of the restriction of the tangent bundle of a complete intersection on a general hypersurface.(iii) Effective non-vanishing for Fano varieties and its applications: we study the positivity of the second Chern class of Fano manifolds with Picard number one, this permits us to prove a non-vanishing result for n-dimensional Fano manifolds with index n-3. As an application, we study the anticanonical geometry of Fano varieties and calculate the Seshadri constants of anticanonical divisors of Fano manifolds with large index.(iv) Fundamental divisors of smooth Moishezon threefolds with Picard number one: we prove the existence of a smooth divisor in the fundamental linear system in some special cases.