La théorie des champs de vecteurs logarithmiques et des formes différentielles logarithmiques d’une hypersurface singulière réduite est développée par K.Saito. Ces notions apparaissent dans l’étude de la connexion de Gauss-Manin de certaines familles de singularités et de leur déploiement semi-universel.Lorsque le module des champs de vecteurs logarithmiques est libre, l’hypersurface est appelée diviseur libre. A.G. Aleksandrov et A. Tsikh généralisent les notions de formes différentielles logarithmiques et de résidus logarithmiques aux intersections complètes et aux espaces de Cohen-Macaulay réduits.Nous étudions dans ce travail les formes différentielles logarithmiques d’un espace singulier réduit de codimension quelconque plongé dans une variété lisse, et nous développons une notion de singularités libres qui étend la notion de diviseurs libres. Les résidus des formes différentielles logarithmiques d’une hypersurface ainsi que leur généralisation aux espaces de codimension supérieure interviennent de façon cruciale dans ce travail de thèse. Notre premier objectif est de donner des caractérisations de la liberté pour les intersections complètes et les espaces de Cohen-Macaulay qui généralisent le cas des hypersurfaces. Nous accordons ensuite une attention particulière à une famille de singularités libres, à savoir les courbes, pour lesquelles nous décrivons le module des résidus logarithmiques en termes de multi-valuations. / The theory of logarithmic vector fields and logarithmic differential forms along a reduced singular hypersurface is developed by K. Saito. These notions appear in the study of the Gauss-Manin connection of some families of singularities and their semi-universal unfolding. If the module of logarithmic vector fields is free, the hypersurface is called a free divisor. A.G. Aleksandrov and A. Tsikh generalize the notions of logarithmic differential forms and logarithmic residues to reduced complete intersections and Cohen-Macaulay spaces. In this work, we study the logarithmic differential forms of a reduced singular space of any codimension embedded in a smooth manifold, and we develop a notion of free singularity which extend the notion of free divisor. The residues of logarithmic differential forms as well as theirgeneralization to higher codimension spaces are crucial in this thesis. Our first purpose is to give characterizations of freeness for complete intersections and Cohen-Macaulay spaces which generalize the case of hypersurfaces. We then give a particular attention to a family of free singularities, namely the curves, for which we describe the module of logarithmic residues thanks to their set of values.

Afin d'étendre à un cadre singulier des résultats de la théorie du polynôme de Bernstein-Sato, nous étudions ici les polynômes de Bernstein d'une fonction analytique f associée aux sections du module de cohomologie locale algébrique R à support une intersection complète locale X définie par un morphisme analytique g. En effet, il résulte de la construction algébrique des cycles évanescents que les racines de ces polynômes sont étroitement liées aux valeurs propres de la monodromie locale de f sur X.<br /><br />Après avoir donné des résultats sur les polynômes de Bernstein associés aux sections d'un D-Module holonome, nous faisons l'étude du cas g lisse à l'origine, puis f lisse et X hypersurface. Nous étudions ensuite l'existence de polynômes de Bernstein génériques et relatifs des sections de R associées à une déformation analytique, reliant ces questions à la géométrie d'espaces conormaux.<br /><br />Reprenant des idées de B. Malgrange, nous donnons ensuite une construction adaptée à l'étude des polynômes de Bernstein des sections de R lorsque les morphismes g et (f,g) définissent des intersections complètes à singularité isolée à l'origine. Cette construction impose notamment la quasi-homogénéité de g et nécessite des calculs d'annulateurs. Nous nous consacrons enfin aux calculs de polynômes de Bernstein basés sur ces résultats. Nous donnons d'abord un algorithme de calcul lorsque en plus des hypothèses adéquates, nous supposons que la partie initiale de f définit une singularité isolée sur X. Quand de plus f est quasi-homogène, nous obtenons des formules explicites. Nous terminons notre étude par des exemples de calculs lorsque X est un cône quadratique non dégénéré.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des variétés de Fano complexes en utilisant les propriétés des sous-faisceaux du fibré tangent et la géométrie du diviseur fondamental. Les résultats principaux compris dans ce texte sont : (i) Une généralisation de la conjecture de Hartshorne: une variété lisse projective est isomorphe à un espace projectif si et seulement si son fibré tangent contient un sous-faisceau ample.(ii) Stabilité du fibré tangent des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un : à l'aide de théorèmes d'annulation sur les espaces hermitiens symétriques irréductibles de type compact M, nous montrons que pour presque toute intersection complète générale dans M, le fibré tangent est stable. La même méthode nous permet de donner une réponse sur la stabilité de la restriction du fibré tangent de l'intersection complète à une hypersurface générale.(iii) Non-annulation effective pour des variétés de Fano et ses applications : nous étudions la positivité de la seconde classe de Chern des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un. Ceci nous permet de montrer un théorème de non-annulation pour les variétés de Fano lisses de dimension n et d'indice n-3. Comme application, nous étudions la géométrie anticanonique des variétés de Fano et nous calculons les constantes de Seshadri des diviseurs anticanoniques des variétés de Fano d'indice grand.(iv) Diviseurs fondamentaux des variétés de Moishezon lisses de dimension trois et de nombre de Picard un : nous montrons l'existence d'un diviseur lisse dans le système fondamental dans certain cas particulier. / This thesis is devoted to the study of complex Fano varieties via the properties of subsheaves of the tangent bundle and the geometry of the fundamental divisor. The main results contained in this text are:(i) A generalization of Hartshorne's conjecture: a projective manifold is isomorphic to a projective space if and only if its tangent bundle contains an ample subsheaf.(ii) Stability of tangent bundles of Fano manifolds with Picard number one: by proving vanishing theorems on the irreducible Hermitian symmetric spaces of compact type M, we establish that the tangent bundles of almost all general complete intersections in M are stable. Moreover, the same method also gives an answer to the problem of stability of the restriction of the tangent bundle of a complete intersection on a general hypersurface.(iii) Effective non-vanishing for Fano varieties and its applications: we study the positivity of the second Chern class of Fano manifolds with Picard number one, this permits us to prove a non-vanishing result for n-dimensional Fano manifolds with index n-3. As an application, we study the anticanonical geometry of Fano varieties and calculate the Seshadri constants of anticanonical divisors of Fano manifolds with large index.(iv) Fundamental divisors of smooth Moishezon threefolds with Picard number one: we prove the existence of a smooth divisor in the fundamental linear system in some special cases.