Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-08-30T18:25:05Z No. of bitstreams: 1 Dissertação - João Raimundo S. Ferreira.pdf: 2182950 bytes, checksum: 78bbbba45ccd4a73ac66c4a785d0089a (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-08-30T18:25:19Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertação - João Raimundo S. Ferreira.pdf: 2182950 bytes, checksum: 78bbbba45ccd4a73ac66c4a785d0089a (MD5) / Made available in DSpace on 2017-08-30T18:25:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertação - João Raimundo S. Ferreira.pdf: 2182950 bytes, checksum: 78bbbba45ccd4a73ac66c4a785d0089a (MD5) Previous issue date: 2017-07-10 / FAPEAM - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas / In this dissertation we present the idea of proof of the theorem that on a non-singular cubic surface in P3 contains 27 straight lines. Also, they are shown as these lines intersect, Which planes form, which are sextuples of straight lines that do not intersect (Sextuplets of Schlaefli). An explicit example of the surface defined on Q such that all its lines are defined on Q is treated. Finally, it is shown that there is an isomorphism between a cubic surface and a 6-point swollen plane. This is a classic subject of nineteenth-century research, but it has development to this day. As an introduction, the dissertation contains the definition of the affine space, projective space, its subspaces, Grassmannian varieties of the subspaces and especially the G(2, 4) variety of the straight lines in P3. Then the initial construction of a straight line at P3 and P5 which cross it is treated. It is shown that there is one and only one cubic surface containing these 6 lines. Using the theorem that 4 straight in space have 2 secant lines, it is possible to construct all 27 straight lines on this surface. Also, its intersection matrix is found. This gives us solutions to various combinatorial problems related to this configuration of the lines. Projection of the surface of two straight lines allows to show that there is an isomorphism between the surface and a plane swollen in 6 points. In his turn, this isomorphism makes it easier to obtain the matrix of the intersection of the lines. Finally, explicit calculations for a simple configuration of the 6 straight lines are made. As a result, we obtain a surface such that all its 27 straight lines have rational coordinates. / Nesta dissertação é apresentada a ideia da prova do teorema que em uma superfície cúbica não singular em P3 contem 27 retas. Também, são mostrados como estas retas se intersectam, quais planos formam, quais são sêxtuplos das retas que não se cruzam (sêxtuplos de Schlaefli) etc. Um exemplo explícito da superfície definida sobre Q tal que todas suas retas são definidas sobre Q é tratado. Finalmente, mostra-se que existe um isomorfismo entre uma superfície cúbica e um o plano inchado em 6 pontos. Isto é uma matéria clássica de pesquisa de século XIX, mas ela tem desenvolvimento até hoje. Como introdução, a dissertação contém a definição do espaço afim, espaço projetivo, seus subespaços, variedades Grassmannianas dos subespaços e especialmente a variedade G(2, 4) das retas em P3. Em seguida, a construção inicial de uma reta em P3 e P5 retas quais cruzam a ela é tratada. Mostra-se que existe uma e somente uma superfície cúbica que contem a estas 6 retas. Usando o teorema que 4 retas no espaço têm 2 retas secantes, é possível construir todas as 27 retas nesta superfície. Também, é achada sua matriz de intersecção. Isto nos dá soluções de vários problemas combinatórios relacionados com esta configuração das retas. Projeção da superfície de duas retas reversas permite mostrar que existe um isomorfismo entre a superfície e um o plano inchado em 6 pontos. Por sua vez, este isomorfismo permite obter mais facilmente a matriz da interseção das retas. Finalmente, cálculos explícitos para uma configuração simples das 6 retas são feitos. Como um resultado, obtemos uma superfície tal que todas suas 27 retas têm coordenadas racionais.

Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-09-21T12:54:56Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Téo Felipe dos Santos.pdf: 991435 bytes, checksum: 0d708c549331be3e608715b521959c38 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-09-21T12:55:08Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Téo Felipe dos Santos.pdf: 991435 bytes, checksum: 0d708c549331be3e608715b521959c38 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-21T12:55:08Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Téo Felipe dos Santos.pdf: 991435 bytes, checksum: 0d708c549331be3e608715b521959c38 (MD5) Previous issue date: 2017-07-10 / We present in this work a study of lines in the P3, initially approached some concepts fundamental to the Algebraic Geometry, such as the projective space, projective varieties, dimension, degree and blowup. Next we study the set of the lines in the projective spaces and, more detailed, in the space P3. In which it is shown that they form an algebraic variety called the Grassman variety. We also studied the Schubert cycles and the Grassmannian Chow rings. These results apply to the study of lines on quadratic surfaces in P3. For example, it is shown that 4 lines in the general position on P3 have 2 secant lines, and that a quadratic surfaces swollen at 1 point is isomorphic to the plane swollen at 2 points. / Apresentamos neste trabalho um estudo de retas no P3, inicialmente abordamos alguns conceitos fundamentais à Geometria Algébrica, tais como o espaço projetivo, variedades projetivas, dimensão, grau e blowup (inchamento). Em seguida estudamos o conjunto das retas nos espaços projetivos e, mais detalhado, no espaço P3. No qual é mostrado que elas formam uma variedade algébrica chamada a variedade de Grassmann. Também estudamos os ciclos de Schubert e os anéis de Chow das grassmannianas. Estes resultados se aplicam ao estudo das retas nas superfícies quádricas em P3. Por exemplo, é mostrado que 4 retas na posição geral no P3 têm 2 retas secantes, e que uma quádrica inchada em 1 ponto é isomorfa ao plano inchado em 2 pontos.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2017-04-17T20:39:18Z No. of bitstreams: 1 alberthjohnnunezsullca.pdf: 789070 bytes, checksum: 6fff839362c420dcaaaf67f1f9975a5e (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2017-04-18T13:51:59Z (GMT) No. of bitstreams: 1 alberthjohnnunezsullca.pdf: 789070 bytes, checksum: 6fff839362c420dcaaaf67f1f9975a5e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-18T13:52:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 alberthjohnnunezsullca.pdf: 789070 bytes, checksum: 6fff839362c420dcaaaf67f1f9975a5e (MD5) Previous issue date: 2017-03-17 / Apresentamos neste trabalho uma decomposição celular CW das variedades Grassmannianas via teoria de Morse. Isto é feito de duas maneiras distintas por meio de representações matriciais das Grassmannianas chamadas modelo projeção e modelo reflexão. Definimos funções de Morse, a saber, uma função do tipo altura e uma função do tipo “distância ao quadrado”, respectivamente, para cada um dos modelos projeção e reflexão. Estudamos os seus pontos críticos e os índices dos mesmos, obtendo assim duas formas para calcular a decomposição celular CW. Em particular, no modelo projeção, isto é feito exibindo-se as curvas integrais associadas ao campo gradiente da função altura. / We present in this work a CW cellular decomposition of Grassmannian varieties via Morse theory. This is done in two different ways. By means of matrix representations of Grassmannian called model projection and reflection model. We define Morse functions, namely a height-type function and a "square-distance" function, respectively, for each of the projection and reflection models. We study their critical points and their indices, thus obtaining two ways to calculate the CW cellular decomposition. In particular, in the projection model, this is done by displaying the integral curves associated with the gradient field of the height function.