Dynamik auf Netzwerken ist ein mathematisches Feld, das in den letzten Jahrzehnten schnell gewachsen ist und Anwendungen in zahlreichen Disziplinen wie z.B. Physik, Biologie und Soziologie findet. Die Funktion vieler Netzwerke hängt von der Fähigkeit ab, die Elemente des Netzwerkes zu synchronisieren. Mit anderen Worten, die Existenz und die transversale Stabilität der synchronen Mannigfaltigkeit sind zentrale Eigenschaften. Erst seit einigen Jahren wird versucht, den verwickelten Zusammenhang zwischen der Kopplungsstruktur und den Stabilitätseigenschaften synchroner Zustände zu verstehen. Genau das ist das zentrale Thema dieser Arbeit. Zunächst präsentiere ich erste Ergebnisse zur Klassifizierung der Kanten eines gerichteten Netzwerks bezüglich ihrer Bedeutung für die Stabilität des synchronen Zustands. Folgend untersuche ich ein komplexes Verzweigungsszenario in einem gerichteten Ring von Stuart-Landau Oszillatoren und zeige, dass das Szenario persistent ist, wenn dem Netzwerk eine schwach gewichtete Kante hinzugefügt wird. Daraufhin untersuche ich synchrone Zustände in Ringen von Phasenoszillatoren die mit Zeitverzögerung gekoppelt sind. Ich bespreche die Koexistenz synchroner Lösungen und analysiere deren Stabilität und Verzweigungen. Weiter zeige ich, dass eine Zeitverschiebung genutzt werden kann, um Muster im Ring zu speichern und wiederzuerkennen. Diese Zeitverschiebung untersuche ich daraufhin für beliebige Kopplungsstrukturen. Ich zeige, dass invariante Mannigfaltigkeiten des Flusses sowie ihre Stabilität unter der Zeitverschiebung erhalten bleiben. Darüber hinaus bestimme ich die minimale Anzahl von Zeitverzögerungen, die gebraucht werden, um das System äquivalent zu beschreiben. Schließlich untersuche ich das auffällige Phänomen eines nichtstetigen Übergangs zu Synchronizität in Klassen großer Zufallsnetzwerke indem ich einen kürzlich eingeführten Zugang zur Beschreibung großer Zufallsnetzwerke auf den Fall zeitverzögerter Kopplungen verallgemeinere. / Since a couple of decades, dynamics on networks is a rapidly growing branch of mathematics with applications in various disciplines such as physics, biology or sociology. The functioning of many networks heavily relies on the ability to synchronize the network’s nodes. More precisely, the existence and the transverse stability of the synchronous manifold are essential properties. It was only in the last few years that people tried to understand the entangled relation between the coupling structure of a network, given by a (di-)graph, and the stability properties of synchronous states. This is the central theme of this dissertation. I first present results towards a classification of the links in a directed, diffusive network according to their impact on the stability of synchronization. Then I investigate a complex bifurcation scenario observed in a directed ring of Stuart-Landau oscillators. I show that under the addition of a single weak link, this scenario is persistent. Subsequently, I investigate synchronous patterns in a directed ring of phase oscillators coupled with time delay. I discuss the coexistence of multiple of synchronous solutions and investigate their stability and bifurcations. I apply these results by showing that a certain time-shift transformation can be used in order to employ the ring as a pattern recognition device. Next, I investigate the same time-shift transformation for arbitrary coupling structures in a very general setting. I show that invariant manifolds of the flow together with their stability properties are conserved under the time-shift transformation. Furthermore, I determine the minimal number of delays needed to equivalently describe the system’s dynamics. Finally, I investigate a peculiar phenomenon of non-continuous transition to synchrony observed in certain classes of large random networks, generalizing a recently introduced approach for the description of large random networks to the case of delayed couplings.

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Die arbuskuläre Mykorrhiza (AM) ist eine mutualistische Symbiose, die die Phosphataufnahme und Pathogenresistenz von Pflanzen verbessern kann. In der vorliegenden Doktorarbeit wurde die Rolle der Protonen-pumpenden ATPase MtHA1 für die AM Symbiose in Medicago truncatula untersucht. In MtHA1 Mutanten konnten AM Pilze nur noch verkürzte Arbuskel ohne typische Verzweigungen ausbilden. Dies zeigte sich auch in Expressionsmustern von Genen, die für Proteine in verschiedenen Bereichen der periarbuskulären Membran kodieren. Außerdem waren AM Pilzbesiedelung, die verbesserte Nährstoffaufnahme und die Wachstumsförderung in MtHA1 mutierten Pflanzen reduziert. Die Mykorrhiza-induzierte Resistenz (MIR) wurde näher in M. truncatula Pflanzen untersucht, die von Aphanomyces euteiches infiziert waren, dem Erreger einer Wurzelfäule in Leguminosen. In einem geteilten Wurzelsystem, das eine hohe Expression von Verteidigungsgenen aufwies, unterdrückte ein AM Pilz diese Expression und erhöhte in Folge die Empfindlichkeit für das Pathogen. In Wurzeln von Topfkulturen dagegen konnte eine typische MIR beobachtet werden, die wahrscheinlich auf erhöhter Aktivität der Jasmonat/Ethylen-regulierten Verteidigungsantwort beruht, verursacht durch eine Unterdrückung der Salizylsäuresynthese. Im Ergebnis zeigt diese Arbeit die bedeutende Rolle des Gens MtHA1 für die Bildung und Funktion der arbuskelhaltigen Zellen. Die Mutation des Gens führt zur verminderten Arbuskelverzweigung, reduzierter Phosphataufnahme und Wachstumsförderung in der Mykorrhiza und schließlich zu einer geringeren Gesamtbesiedelung durch den AM Pilz. Genexpressionsanalysen weisen darauf hin, dass unterschiedliche Mechanismen den lokalen und systemischen Wechselwirkungen zwischen AM Pilzen und Pathogenen in der Wurzel zu Grunde liegen. Verschieden physiologische Zustände von geteilten Wurzelsystemen und Wurzeln in Topfkulturen erschweren allerdings einen direkten Vergleich der beiden experimentellen Ansätze. / Arbuscular mycorrhiza (AM) is a wide spread mutualistic symbiosis, which can improve phosphate acquisition and pathogen resistance of plants. In the current Ph.D. thesis the role of a proton pumping ATPase (MtHA1) for the AM symbiosis in Medicago truncatula was investigated. In MtHA1 mutant plants, different AM fungi only developed truncated arbuscules without forming typical hyphal branches, and this phenotype was mirrored by expression patterns of genes for proteins located in different areas of the periarbuscular membrane. AM fungal colonization, improved phosphate uptake and plant growth promotion were reduced in MtHA1 mutant plants. Mycorrhiza-induced resistance (MIR) and the nodule symbiosis were, however, not affected. MIR was further analyzed in the M. truncatula infected with Aphanomyces euteiches which causes a root-rot disease in legumes. In a split root system showing high levels of defense-gene expression, colonization of an AM fungus reduced this expression and in consequence increased susceptibility of the roots for the pathogen. In roots of pot cultures, however, a typical MIR was observed and could be based on the higher activity of jasmonate/ethylene-regulated defense responses due to suppression of salicylic acid biosynthesis. In conclusion, this work shows that the gene MtHA1 encoding a proton pumping-ATPase plays a critical role in the formation and function of arbuscule-containing cells. Expression of the mutated gene results in reduced formation of arbuscule branches. This in turn negatively influences mycorrhizal phosphate uptake, plant growth promotion and overall mycorrhizal colonization of the roots. Gene expression analyses indicate that different mechanisms underlay local and systemic interactions between the mycorrhizal fungus and the root pathogen. The different physiological stages of pot culture and split root system make a comparison of the two experimental approaches, however, difficult.