Dans ce travail nous étudions la complexité de certains fragments du mu-calcul selon deux points de vue: l’un syntaxique et l’autre topologique. Dans la première partie nous adoptons le point de vue syntaxique afin d'étudier le comportement du mu-calcul sur des classes restreintes de modèles. Parmi d'autres résultats, nous montrons en particulier que sur les modèles transitifs toute propriété définissable par une formule du mu-calcul est définissable par une formule sans alternance de points fixes. Pour ce qui concerne la perspective topologique, nous montrons d'abord que sur les modèles transitifs la logique modale correspond au fragment borélien du mu-calcul. Ensuite nous donnons une description effective des hiérarchies de Borel et de Wadge d'un sous-fragment sans alternance de cette logique sur les arbres binaires et vérifions que pour ce fragment les points de vue topologique et syntaxique coïncident. / In this work we study the complexity of some fragments of the modal mu-calculus from two points of view: the syntactical and the topological. In the first part of the dissertation we adopt the syntactical point of view in order to study the behavior of this formalism on some restricted classes of models. Among other results, we show that on transitive transition systems, every mu-formula is logically equivalent to an alternation free formula. For what concerns the topological point of view, we first prove that on transitive models, the modal logic is exactly the Borel fragment of the modal mu-calculus. Then we provide an effective description of the Borel and Wadge hierarchies of a sub-fragment of the alternation free fragment of the mu-calculus on binary trees. Finally we verify that for this fragment the syntactical point of view and topological point of view coincide.

Soit F une famille de sous-ensembles d'un espace polonais X. Soient A et B deux sous-ensembles de X. A est séparable de B par un ensemble de F s'il existe C dans F qui contient A et n'intersecte pas B. Lorsque A et B sont des sous-ensembles analytiques et F est une classe de Wadge de boréliens, la non séparabilité de A et B a été caractérisée par Louveau et Saint Raymond. Ils ont fourni un exemple minimum, pour un certain quasi-ordre, ce qui est connu sous le nom de dichotomie à la Hurewicz. Dans les espaces polonais produit, de nouvelles familles naturelles d'ensembles apparaissent. Un exemple, qui est lié à l'étude des graphes définissables, est la classe des produits de deux ensembles dans deux classes Borel F et F'. On caractérise separabilité des ensembles analytiques, lorsque F et F' sont des classes de Borel de petit rang. Une autre classe naturelle est celle des boréliens qui sont dans une certaine classe F si on affine les topologies originales en d'autres topologies polonaises. Nous appelons ces ensembles potentiellement dans F. Lecomte a caractérisé la séparabilité des ensembles analytiques par des ensembles potentiellement dans F, lorsque F est une classe de Wadge de boréliens. Une question naturelle est de se demander si nous pouvons avoir cette dichotomie pour un quasi-ordre plus fin qui utilise des fonctions injectives. Dans la deuxième partie du manuscrit, on caractérise la separabilité pour ce quasi-ordre lorsque A, B sont des ensembles analytiques et F est la classe des ensembles potentiellement dans C. Des hypothèses plus fortes sont nécessaires, de sorte que nous développons une notion qui généralise à la fois l'acyclicité et la locale dénombrabilité. / Let F be a family of subsets of a Polish space X. Given two subsets A and B of X, one says that A is separable from B by a set in F if there is C in F which contains A and does not intersect B. When A and B are analytic subsets and F is a Wadge class of Borel sets, the non separability of A and B was characterized by Louveau and Saint Raymond. They provided a minimum example, for some quasi-order, in what is known as a Hurewicz dichotomy. If we consider the product of two Polish spaces, new natural families of sets (and thus new separation problems) arise. An example, that is related to the study of definable graphs, is the class of products of sets in two Borel classes F and F'. We obtain a characterization of the separability when F and F' are Borel classes of low rank. Another natural class is the class of Borel sets which are in a certain class F if one refines the original topologies into other Polish topologies. We call these sets potentially in F. A dichotomy characterizing separability of analytic sets by sets potentially in F was proved by Lecomte when F is any Wadge class of Borel sets. However, a natural question is to ask whether we can have this dichotomy for a finer quasi-order, involving injective functions. In the second part of the manuscript, we give a characterization involving this other quasi-order when A,B are analytic sets and F is the class of sets potentially in C. Stronger hypothesis are needed, so we develop a notion that generalizes both acyclicity and local countability.

Das Ziel der Arbeit besteht darin, einen Beitrag zur Entwicklung der kombinatorischen Integralgeometrie zu leisten. In der Arbeit werden Bewertungen (Valuation) in den Räumen der Geraden und Ebenen im $\R^3$ betrachtet, die von Flagfunktionen abhängen. Unter geeigneten Glattheitsvoraussetzungen an die Flagfunktionen werden notwendige und hinreichende Bedingungen gegeben, die die Fortsetzung der entsprechender Bewertung zu einem signierten Maß sichern. Diese integralgeometrischen Untersuchungen führten zu einer Anzahl von interessanten Ergebnissen, speziell bei der Beschreibung von Metriken im Sinne von Hilberts viertem Problem.

Das Ziel der Arbeit besteht darin, einen Beitrag zur Entwicklung der kombinatorischen Integralgeometrie zu leisten. In der Arbeit werden Bewertungen (Valuation) in den Räumen der Geraden und Ebenen im $\R^3$ betrachtet, die von Flagfunktionen abhängen. Unter geeigneten Glattheitsvoraussetzungen an die Flagfunktionen werden notwendige und hinreichende Bedingungen gegeben, die die Fortsetzung der entsprechender Bewertung zu einem signierten Maß sichern. Diese integralgeometrischen Untersuchungen führten zu einer Anzahl von interessanten Ergebnissen, speziell bei der Beschreibung von Metriken im Sinne von Hilberts viertem Problem.

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