Soit f : X ? Y un morphisme de schémas et G un Y -schéma en groupes. Lorsque G est abélien, la suite spectrale de Leray associée à f, Ep,q= Hp(Y,Rq,f.Gx)=> Hp+q(X,Gx), nous donne une suite exacte en basses dimensions : 0 ?H1(Y,f*G_x)? H1(X,Gx)?H0(Y,R1f*Gx)? H2(Y,f*Gx)?H2(X, Gx)tr?H1(Y,R1f*Gx)?H3(Y,f*Gx). Le but de ce travail est d'étudier l'analogue de cette situation lorsque G n'est plus abélien. La notion de gerbe introduite par Grothendieck permet de construire un substitut au cobord d0,1H0(Y,R1f*Gx)? H2(Y,f*Gx). Ici nous étudions plus particulièrement l'obstruction à descendre une Gx-gerbe sur X en une f*Gx-gerbe sur Y. Pour cela, à partir de l'interprétation de Giraud du R1f*Gx, nous construisons un substitut non abélien du H1(Y,R1f*Gx) et du cobord d1.1 :H1(Y,R1f*GX)?H3(Y, f*Gx), en termes de condition de corps des modules et de 2-gerbes. Nous donnerons ensuite deux exemples de descente de gerbes dans le cas non abélien: le premier, considéré par Grothendieck, est celui des surface fibrées sur des droites, le deuxième, de nature arithmétique, concerne l'extension maximale abélienne d'un corps des fractions d'un anneau local, excellent, henselien de dimension 2. / Let f: X-Y be a morphism of schemes and G a group scheme over Y. If G is abelian, the Leray spectral sequence associated to f, Epq=HP(Y, Rqf*Gx)==>Hp+q(X,Gx), gives rise to an exact sequence in low dimensions: 0- H1(y ,f*Gx)- H1 (X,Gx)- W(Y,R If*GX)_ H2(y ,f*Gx)- H2(X, Gx)tr_ H1(Y,R1f*GX)_ H3(Y,f*Gx). ln this thesis, we consider the case of a non abelian group G. The notion of a gerb, due to Grothendieck allows us to get an equivalent morphism to d0,1:H0(Y,R1f*Gx)-H2(Y,f*Gx). Here we study the obstruction to a Gx-gerb on X to be the image of an f*Gx-gerb on Y. For this aim, we use the Giraud's iterpretation ofR1f*Gx, to build an equivalent object to H1(Y,R1f*Gx) and an equivalent morphism to d1,1: H1(Y,R1f*Gx)_H3(Y,f*GX), in terms of field of moduli condition and 2-gerbs. We will then give two results in the non abelian case: a cohomological one, wich is the case of a surface fibred on a curve, studied by Grothendieck, and a arithrnetical one wich deals with the maximal abelian extension of the fractions field of a local, heselian, excellent ring of dimension 2.

La cryptographie est devenue indispensable afin de garantir la sécurité et l'intégrité des données transitant dans les réseaux de communication modernes. Ces deux dernières décennies, des cryptosystèmes très efficaces, sûr et riches en fonctionnalités ont été construits à partir de variétés abéliennes définies sur des corps finis. Cette thèse contribue à certains aspects algorithmiques des variétés abéliennes ordinaires touchant à leurs anneaux d'endomorphismes. Cette structure joue un rôle capital dans la construction de variétés abéliennes ayant de bonnes propriétés. Par exemple, les couplages ont récemment permis de créer de nombreuses primitives cryptographiques avancées ; construire des variétés abéliennes munies de couplages efficaces nécessite de choisir des anneaux d'endomorphismes convenables, et nous montrons qu'un plus grand nombre de tels anneaux peut être utilisé qu'on ne pourrait croire. Nous nous penchons aussi le problème inverse qu'est celui du calcul de l'anneau d'endomorphisme d'une variété abélienne donnée, et qui possède en outre plusieurs applications pratiques. Précédemment, les meilleures méthodes ne résolvaient ce problème qu'en temps exponentiel ; nous concevons ici plusieurs algorithmes de complexité sous-exponentielle pour le résoudre dans le cas ordinaire. Pour les courbes elliptiques, nous algorithmes sont très efficaces, ce que nous démontrons en attaquant des problèmes de grande taille, insolvables jusqu'à ce jour. De plus, nous bornons rigoureusement la complexité de notre algorithme sous l'hypothèse de Riemann étendue. En tant que sous-routine alternative, nous nous considérons aussi une généralisation du problème du sac à dos dans les groupes finis, et montrons comment il peut être résolu en utilisant peu de mémoire. Enfin, nous généralisons notre méthode aux variétés abélienne de dimension supérieure, ce qui nécessite davantage d'hypothèses heuristiques. Concrètement, nous développons une bibliothèque qui permet d'évaluer des isogénies entre variétés abéliennes ; en utilisant cet outil important dans notre algorithme, nous appliquons notre méthode généralisée à des exemples illustratifs et de tailles jusqu'à présent inatteignables.

La cryptographie est indispensable aux réseaux de communication modernes afin de garantir la sécurité et l'intégrité des données y transitant. Récemment, des cryptosystèmes efficaces, sûr et riches ont été construits à partir de variétés abéliennes définies sur des corps finis. Cette thèse contribue à plusieurs aspects algorithmiques de ces variétés touchant à leurs anneaux d'endomorphismes. Cette structure joue un rôle capital pour construire des variétés abéliennesmunies de bonnes propriétés, comme des couplages, et nous montrons qu'un plus grand nombre de telles variétés peut être construit qu'on ne pourrait croire. Nous considérons aussi le problème inverse qu'est celui du calcul de l'anneau d'endomorphismes d'une variété abélienne donnée. Les meilleures méthodes connues ne pouvaient précédemment résoudre ce problème qu'en temps exponentiel ; ici, nous concevons plusieurs algorithmes de complexité sous-exponentielle le résolvant dans le cas ordinaire. Pour les courbes elliptiques, nous bornons rigoureusement la complexité de nos algorithmes sous l'hypothèse de Riemann étendue et démontrons qu'ils sont extrêmement efficaces en pratique. Comme sous-routine, nous développons notamment un algorithme sans mémoire pour résoudre une généralisation du problème du sac à dos. Nous généralisons aussi notre méthode aux variétés abélienne de dimension supérieure. Concrètement, nous développons une bibliothèque qui permet d'évaluer des isogénies entre variétés abéliennes ; cet outil nous permet d'appliquer une généralisation de notre méthode à des exemples jusqu'alors incalculables. / Modern communications heavily rely on cryptography to ensure data integrity and privacy. Over the past two decades, very efficient, secure, and featureful cryptographic schemes have been built on top of abelian varieties defined overfinite fields. This thesis contributes to several computational aspects of ordinary abelian varieties related to their endomorphism ring structure. This structure plays a crucial role in the construction of abelian varieties with desirable properties, such as pairings, and we show that more such varieties can be constructed than expected. We also address the inverse problem, that of computing the endomorphism ring of a prescribed abelian variety. Prior state-of-the-art methods could only solve this problem in exponential time, and we design several algorithms of subexponential complexityfor solving it in the ordinary case. For elliptic curves, we rigorously bound the complexity of our algorithms assuming solely the extended Riemann hypothesis, and demonstrate that they are very effective in practice. As a subroutine, we design in particular a memory-less algorithm to solve a generalization of the subset sum problem. We also generalize our method to higher-dimensional abelian varieties. Practically speaking, we develop a library enabling the computation of isogenies between abelian varieties; this building block enables us to apply a generalization of our algorithm to cases that were previously not computable.

Dans le cas générique Yu. S. Ilyashenko a donné une solution pour le problème tangentielle du centre et le probème de la monodromie. Néanmoins, on ne connaît pas la solution pour tous les cas non-génériques. Dans cette thèse on étudie une famille des équations hamiltoniennes non-génériques dont l'hamiltonien est un produit de polynômes réels irréductibles de dégre supérieur ou égal à 1. On étudie cette famille dans le but d'avoir un modèle d'équation hamiltonienne qui nous permette de comprendre d'autres cas non-génériques. Cette famille ne satisfait pas necessairement les conditions de généricité de transversalité à l'infini et n'a pas nécessairement tous les points singuliers aux niveaux distincts. Nous considerons quelques conditions géomètriques sur les hamiltoniens qu'on appelle bon partage du plan proyective réel et bonne multiplicité à l'infini. Ces conditions nous servent pour calculer l'orbite par monodromie des cycles évanescents. On résout le problème de la monodromie pour deux sous-familles dans cette famille d'hamiltoniennes. Une d'elles satisfait que tous les points critiques de type centre sont à des niveux critiques distincts, et l'autre satisfait que l'hamiltonien est invariant par la réflexion par rapport à l'axe des y. En utilisant la solution du problème de la monodromie on résout aussi le problème tangentiel du centre pour ces familles. / In the generic case Yu. S. Ilyashenko gave a solution of the tangential center problem and the monodromy problem. However, a solution for all non-generic cases is not known. In this thesis we study a family of non-generic Hamiltonians, whose Hamiltonian is a product of real polynomials of degree equal or bigger than 1. We study this family with the idea that a good understanding of this Hamiltonian model could help us to understand other non-generic cases later. In this family the genericity assumption of transversality at infinity fails and the coincidence of the critical values for different critical points is allowed. We consider some geometric conditions on the Hamiltonians of this family that we call good divide of the real projective plane and good multiplicity at infinity. These conditions help us to compute the orbit under monodromy of vanishing cycles. We give a solution of the monodromy problem of two sub-families in this family. One of them satisfying that all the center critical points are at different critical levels, and the other satisfying that the Hamiltonian is invariant under the reflection with respect to the y-axis. Using the solution of the monodromy problem we also provide a solution of the tangential center problem for those families.

Le but de la thèse est d'établir une version quantitative du théorème suivant : toute sous-variété d'une variété abélienne n'admet qu'un nombre fini d'approximations d'exposant strictement positif. Cet énoncé a été obtenu par Faltings en 1991 ; la majeure partie des outils qu'il utilise sont communs avec sa preuve de l'ex-conjecture de Mordell-Lang. Il implique en particulier une extension du théorème de Siegel conjecturée par Lang : toute variété abélienne n'a qu'un nombre fini de points entiers. On utilise la méthode de Vojta en suivant les travaux de Rémond (version quantitative de Mordell-Lang) : le coeur de la thèse consiste à établir une inégalité à la Vojta explicite ; on établit ensuite une inégalité à la Mumford avant d'en déduire un décompte des approximations exceptionnelles. Toutefois, le cas où la variété approchée contient des translatés de sous-variétés abéliennes non nulles nécessite d'imposer une condition supplémentaire pour parvenir à un décompte explicite : sans ces conditions, un tel décompte impliquerait dans certains cas un résultat effectif, qui semble hors de portée à l'heure actuelle.

Une formulation de jauge non-abélienne pour les hamiltoniens Rashba et Dresselhaus, relevants dans l’électronique de spin des matériaux non centrosymétriques est développée. Les champs de jauge définis sont proportionnels aux générateurs SU(2) et aux gradients des potentiels extrinsèque et intrinsèque d’origine, ce qui se traduit par une structure U(1) × SU(2). Nous avons déduit du lagrangien correspondant les équations du mouvement et les courants de spin conservés. On montre que la présence obligatoire d’un terme de masse de type Proca fixe la jauge et résout en conséquence la dépendance de la jauge dans le courant de spin et donc les ambiguïtés du courant de spin rapportées dans la littérature. Nous avons analysé certaines conséquences topologiques, mettant l’accent sur les modéles d’interféromètres et l’apparition de conditions de quantification semblables à celles de l’effet Hall quantique entier. Un dispositif de filtrage de spin par interférences est proposé dans un gaz d’électrons quasi-bidimensionnels GaAs/AlGaAs qui possède à la fois les couplages Rashba et Dresselhaus et un champ magnétique externe appliqué. Nous proposons un interféromètre de Mach Zehnder, accessible en électronique expérimentale et nous déterminons les conditions de filtrage de spin parfait. Nous trouvons deux régimes de filtrage de spin, celui où le filtrage est réalisé dans la base de quantification du faisceau entrant, qui tire parti de la nature purement non-abélien de rotations de spin, et l’autre, où l’on a besoin d’un axe préférentiel incliné pour observer le spineur de sortie polarisé. Nous étudions les états électroniques d’un anneau mésoscopique en présence de couplage spin-orbite Rashba et d’un champ de jauge U(1). Un couplage à un conducteur idéal est mis en oeuvre à la suite de la sonde de tension de Büttiker. Les courants permanents de charge et de spin sont calculés en présence de l’interaction SO et le couplage du réservoir pour deux scénarios distincts de la fraction d’électrons de remplissage. La dégradation des courants permanents dépend de manière uniforme du couplage du réservoir. Le problème des courants permanents de charge et de spin est également considéré sur un disque de Corbino construit à partir d’une feuille de graphène. L’hamiltonien en coordonnées cylindriques est soigneusement examinée afin de refléter hermiticité et la covariance. Nous utilisons la définition de la réponse linéaire afin de déterminer les courants persistants. Nous déterminons aussi les polarisations de spin et de pseudospin associées à ces courants d’équilibre. Les courants maximaux sont protégés contre les effets thermiques, ce qui les rend observables à des températures facilement accessibles / A non-Abelian gauge formulation for the Rashba and Dresselhaus hamiltonians, relevant in spintronics of non-centrosymmetric materials, is studied. The gauge fields defined are proportional to the SU(2) generators and also to potential gradients of extrinsic and intrinsic origin which results in a U(1) × SU(2) formulation. We derived from the corresponding lagrangian the equations of motion and conserved spin currents. It is shown that the mandatory presence of a Proca mass type term fixes the gauge and solves in consequence the gauge dependence of the spin current and therefore the ambiguities of the spin current reported in the literature. The invariant gauge subgroup of this theory will be studied. We will analyze some topological consequences of the gauge formulation of Rashba and Dresselhaus focusing on interferometers models and quantization conditions similar to the integer quantum Hall effect. A Spin filtering device, through quantum spin interference, is addressed in a quasi-2 dimensional GaAs/AlGaAs electron gas that has both Rashba and Dresselhaus spin-orbit couplings and an applied external magnetic field. We propose an experimentally feasible electronic Mach Zehnder Interferometer that determines perfect spin filtering conditions. We find two spin filtering regimes, one where filtering is achieved in the original incoming quantization basis, that takes advantage of the purely non-Abelian nature of spin rotations, and the other, where one needs a tilted preferential axis to observe the polarized output spinor. We also address the electronic states of a mesoscopic ring in the presence of Rashba Spin Orbit coupling and a U(1) gauge field. Spin symmetric coupling to an ideal lead is implemented following Büttiker’s voltage probe. The spin and charge persistent currents are computed in the presence of the SO interaction and the reservoir coupling for two distinct scenarios of the electron filling fraction. The degradation of the persistent currents depends uniformly on the reservoir coupling but due to the fact that currents emerge from different depths of the fermi sea, they depend non uniformly in temperature, “shielding” the currents with a protective gap. Finally the problem of persistent charge and spin currents is addressed on a Corbino disk built from a graphene sheet. We consistently derive the Hamiltonian including kinetic, intrinsic (ISO) and Rashba spin-orbit interactions in cylindrical coordinates. The Hamiltonian is carefully considered to reflect hermiticity and covariance. We use the linear response definition in order to determine the charge persistent currents. We also determine the spin and pseudo spin polarizations associated with such equilibrium currents. For the intrinsic case one can also compute the correct currents by properly defining the bare velocity operator associated with ISO problem or alternatively the ISO group velocity operator associated with the free case. Charge currents for both SO couplings reach maximal values in the vicinity of half integer flux quanta. Such maximal currents are protected from thermal effects because contributing levels plunge (~1K) into the Fermi sea at half integer flux values. Such a mechanism, makes them observable at readily accessible temperatures. Spin currents only arise for the Rashba coupling, due to the spin symmetry of the ISO spectrum. For the Rashba coupling, spin currents are canceled at half integer fluxes but they remain finite in the vicinity, and the same scenario above protects spin currents / Se estudia una formulación de calibre no abeliana de los hamiltonianos Rashba y Dresselhaus, relevantes en espintrónica de materiales no centrosim étricos. Los campos de calibre definidos son proporcionales a los generadores SU(2) y también a los gradientes de potencial de origen extrínseco e intrínseco que se traducen en una formulación U(1) × SU(2). Derivamos del Lagrangiano correspondiente las ecuaciones del movimiento y las corrientes de espín conservadas. Se demuestra que la presencia obligatoria de un término de masa tipo Proca fija el calibre y resuelve en consecuencia la dependencia de calibre en la corriente de esp´n y, por lo tanto, las ambig¨uedades asociadas a la definición de la corriente de espín reportadas en la literatura. Se estudia el subgrupo invariante de esta teoría. Analizamos algunas de las consecuencias topológicas de la formulación de calibre de Rashba y Dresselhaus centrándonos en modelos de interferómetros y condiciones de cuantización similares al efecto Hall cuántico entero. Se propone un dispositivo de filtrado de espín basado en interferencia cuántica de espín, en un gas de electrones cuasi-bidimiensional GaAs/AlGaAs que posee acoplamientos spin-órbita tanto Rashba como Dresselhaus y un campo magnético externo aplicado. Proponemos un interferómetro electrónico tipo Mach-Zehnder experimentalmente factible que determina perfectamente las condiciones de filtrado de espín. Nos encontramos con dos regímenes, un primer régimen donde se logra el filtrar en la base original de cuantización, que toma ventaja de la naturaleza puramente no abeliana de las rotaciones de esín, y el otro, donde se necesita un eje preferencial inclinado (tilted) para observar el espinor polarizado de salida. Estudiamos los estados electrónicos de un anillo mesoscópico en presencia de acoplamiento espín orbita tipo Rashba y un campo de calibre U(1). El acoplamiento simétrico en espín a un cable ideal se implementa siguiendo el procedimiento de punta de prueba de B¨uttiker. La corrientes persistentes de carga y de espín se calculan en presencia de la interacción SO acopladas con un reservorio, tomando en cuenta dos escenarios distintos para de la fracción de electrones de llenado. La degradación de las corrientes persistentes depende de manera uniforme del acoplamiento con el reservorio debido al hecho de que las corrientes emergen de diferentes profundidades del mar de Fermi, y por lo tanto para algunos regímenes particulares de flujo magnético dependen de manera no uniforme de la temperatura, produciendo un “ blindaje” de las corrientes frente a la temperatura mediante una brecha de energía protectora. Se aborda el problema de las corrientes persistentes de carga y espín en un disco Corbino, construido a partir de una hoja de grafeno. Consistentemente derivamos el Hamiltoniano incluyendo su parte cinética, interacciones espín - órbita intrínseca (ISO) y Rashba en coordenadas cilíndricas. El Hamiltoniano es construido cuidadosamente para reflejar la hermeticidad y covariancia. Utilizamos teoría de respuesta lineal con el fin de determinar las corrientes persistentes de carga. También determinamos las polarizaciones de espín y de pseudoespín asociados con estas corrientes de equilibrio. Para el caso intrínseco también se pueden calcular las corrientes definiendo correctamente el operador velocidad (bare) y calculando con las funciones de onda ISO o alternativamente, el operador de velocidad de grupo ISO para las funciones de onda libres. Las corrientes de carga para ambos acoplamientos SO alcanzan valores máximos en las proximidades de semi-enteros de cuantos de flujo. Tales corrientes máximas están protegidos de los efectos térmicos ya que los niveles que contribuyen se hunden (~ 1K) en el mar de Fermi para valores semi-enteros de flujo. Este mecanismo los hace observable a temperaturas de fácil acceso. Las corrientes de espín sólo surgen en presencia de acoplamiento Rashba, debido a la simetría de espín del espectro ISO. [...]

Cette thèse porte sur la théorie BF abélienne sur une variété fermée de dimen-sion 3. Elle est formulée en termes de classes de jauge qui sont en fait des classes de cohomologie de Deligne-Beilinson. Cette formulation offre la possibilité d’extraire les quantités mathématiquement pertinentes d’intégrales fonctionnelles formelles. La fonction de partition et les valeurs moyennes d’observables sont ainsi calculées. Ces calculs complètent ceux effectués pour la théorie de Chern-Simons abélienne et ces résultats sont liés entre eux de même qu’avec les invariants de Reshetikhin-Turaev et de Turaev-Viro abéliens. Deux extensions de ce travail sont discutées. Premièrement, une approche graphique est proposée afin de traiter l’invariant classique SU(N) de Chern-Simons. Deuxièmement, une interprétation géométrique de la procédure de fixation de jauge est présentée pour la théorie de Chern-Simons abélienne dans mathbb{R}^{4l+3}. / In this study, the abelian BF theory is considered on a closed manifold of di-mension 3. It is formulated in terms of gauge classes which appear to be Deligne-Beilinson cohomology classes. Such a formulation offers the possibility to extract the quantities mathematically relevant quantities from formal functional integrals. This way, the partition function and the expectation value of observables are computed. Those computations complete the ones performed with the abelian Chern-Simons theory and the results appear to be connected together and also with abelian Reshetikhin-Turaev and Turaev-Viro topological invariants. Two extensions of this study are also discussed. Firstly, a graphical approach is proposed to deal with the SU(N) classical Chern-Simons invariant. Secondly, a geometric interpretation of the gauge fixing procedure is presented for the abelian Chern-Simons theory in mathbb{R}^{4l+3}.

Dans cette thèse, je présente une étude que j'ai réalisée à l'université Paris-sud sous la direction de Thierry Jolicœur sur les phases des Hall Quantiques Fractionnaire (HQF) dans la géométrie du cylindre.Après une rapide introduction dans le premier chapitre, je présente dans le second quelques concepts de base de l'effet HQF et j'introduit certains aspects de la géométrie cylindrique.Le chapitre 3 est consacré à l'étude de la limite du cylindre fin, c'est à dire lorsque la circonférence du cylindre est de l'ordre de quelques longueurs magnétiques. Dans cette limite, on sait que la fonction d'onde de Laughlin au remplissage 1/q se réduit à un cristal unidimensionnel, où une orbitale sur q est occupée. Dans le but d'étudier un limite intermédiaire, nous conservons les quatre premiers termes du développement de l’Hamiltonien lorsque la circonférence est petite devant la longueur magnétique. On trouve alors une expression exacte de l'état fondamental au moyen d'opérateurs de "squeezing" ou de produits de matrices. Nous trouvons également une écriture similaire pour les quasi- trous, les quasi-électron et la branche magnétoroton.Dans les chapitres 4 et 5, je me concentre sur l'étude des excitations de bord chirales des phases de HQF. Je présente une étude microscopique de ces états de bord dans la géométrie du cylindre, lorsque les quasi-particules peuvent passer d'un bord à l'autre par effet tunnel. J'étudie d'abord dans le chapitre 4 la phase de HQF principale dont l'état fondamental est bien décrit par la fonction d'onde de Laughlin. Pour un échelle d'énergie plus faible que le gap du volume, le théorie effective est donnée par un fluide d'électrons unidimensionnel bien particulier : un liquide de Luttinger chiral. À l'aide de diagonalisations numériques exactes, nous étudions le spectre des états de bord formé de le combinaison des deux bord contre-propageant sur chacun des cotés du cylindre. Nous montrons que les deux bords se combinent pour former un liquide de Luttinger non-chiral, où le terme de courant reflète le transfert de quasi-particules entre les bords. Cela nous permet d'estimer numériquement les paramètre de Luttinger pour un faible nombre de particules, et nous trouvons une valeur cohérente avec la théorie de X. G. Wen.J'analyse ensuite dans le chapitre 5 les modes de bord des phases de HQF au remplissage 5/2. À partir une construction basée sur la Théorie des Champs Conformes (TCC), Moore et Read (Nucl. Phys. B, 1991) ont proposé que la physique essentielle de cette phase soit décrite par un état apparié de fermion composites. Une propriété importante de cet état est que ses excitations émergentes permutent sous une statistique non-abéliène. Lorsqu'elles sont localisées sur les bords, ces excitations sont décrites par un boson chiral et un fermion de Majorana. Dans la géométrie du cylindre, nous montrons que le spectre des excitations de bord est fomé des tours conformes du modèle IsingxU(1). De plus, par une méthode Monte-Carlo, nous estimons les différentes dimensions d'échelle sur des grands systèmes (environ 50 électrons), et nous trouvons des valeurs en accord avec les prédictions de la TCC.Dans le dernier chapitre de ce manuscrit, je présente un travail que j'ai réalisé à UBC (Vancouver) en collaboration avec Marcel Franz sur les phase de Hall quantiques de spin induites dans le graphène par des adatomes. Dans ce système, les adatomes induisent un couplage spin-orbite sur les électrons des la feuille de graphène et introduisent du désordre qui est susceptible de détruire le gap spectral. Nous montrons dans ce chapitre que le gap spectral est préservé lorsque des valeurs réalistes de paramètres sont usités. De plus, au moyen de calculs analytiques à base énergie et de diagonalisations numériques exactes, nous identifions un signal caractéristique dans la densité d'états locale mettant en évidence la présence d'un gap topologique. Ce signal pourrait être observé au moyen d'un microscope à effet tunnel. / I present in this thesis a study that I did in the university Paris-sud under the supervision of Thierry Jolicœur onto Fractional Quantum Hall (FQH) phases in the cylinder geometry. After a short introduction in the first chapter, I present some basic concept relative to the FQH effect in the second one and introduce some essential features relative to the cylinder geometry, useful for the chapters 3, 4, and 5. The chapter 3 is dedicated to the study of the thin cylinder limit, i.e. when the circumference of the cylinder is of the order of a few magnetic length. In this limit, it is known that the Laughlin wave function at the filling factor 1/q is reduced to a one dimensional crystal in the lowest Landau level orbitals where one every q orbitals is occupied. We Taylor expand the Hamiltonian when the circumference is small compare to the magnetic length in order to study an intermediate limit. When only the first four terms of the development are kept, it is possible to find exact representations of the ground state with "squeezing" operators or matrix products. We also find similar representations for quasiholes, quasielectrons and the magnetorton branch. These results have been published in the article Phys. Rev. B 85, 155116 (2012). In the chapter 4 and 5 I focus onto the gapless chiral edge excitations of FQH phases. I present a microscopic study of those edges states in the cylindrical geometry where quasiparticles are able to tunnel between edges. I first study the principal FQH phase at the filling fraction 1/3 whose ground state is well described by the Laughlin wave function in the chapter 4. For an energy scale lower than the bulk gap, the effective theory is given by a very peculiar one dimensional electron fluid localized at the edge: a chiral Luttinger liquid. Using numerical exact diagonalizations, we study the spectrum of edge modes formed by the two counter-propagating edges on each side of the cylinder. We show that the two edges combine to form a non-chiral Luttinger liquid, where the current term reflects the transfer of quasiparticles between edges. This allows us to estimate numerically the Luttinger parameter for a small number of particles and find it coherent with the one predicted by X. G. Wen theory. We published this work in Phys. Rev. B 86, 115214 (2012). I then analyze edge modes of the FQH phase at filling fraction 5/2 in the chapter 5. From a Conformal Field Theory (CFT) based construction, Moore and Read (Nucl. Phys. B, 1991) proposed that the essential physics of this phase is described by a paired state of composite fermions. A striking property of this state is that emergent excitations braid with non-Abelian statistics. When localized along the edge, those excitations are described through a chiral boson and a Majorana fermion. In the cylinder geometry, we show that the spectrum of edge excitations is composed of all conformal towers of the IsingxU(1) model. In addition, with a Monte Carlo method, we estimate the various scaling dimensions for large systems (about 50 electrons), and find them consistent with the CFT predictions.In the last chapter of my manuscript, I present a work that I did in UBC (Vancouver) in collaboration with Marcel Franz onto quantum spin Hall phases in graphene induced by adatoms. In this system, adatoms induce a spin orbit coupling for electrons in the graphene sheet and create some disorder which might be responsible for destruction the spectral gap. We show in this chapter and in the article [Phys. Rev. B 89, 201410(R) (2014)] that the spectral gap remains open for a realistic range of parameters. In addition, with analytical computations in the low energy approximation and numerical exact diagonalizations, we find characteristic signal in the local density of states highlighting the presence of topological gap. This signal might be observed in scanning tunneling spectroscopy experiments.

Cette thèse est composée de deux parties indépendantes et d'une annexe. Le thème principal de la première partie tourne autour des groupes de réflexions tandis que la deuxième partie aborde la notion de catégorie stable. L'annexe s'attarde sur les conventions de signes dans les catégories de complexes. <br /><br />Dans la première partie, on considère un groupe de réflexion G agissant sur l'espace vectoriel V dans sa représentation de réflexions. On étudie alors la composante isotypique relativement à un caractère linéaire de G de l'algèbre produit tensorielle de l'algèbre symétrique du dual de V et de l'algèbre extérieure d'une représentation de dimension finie de G. On construit une structure d'algèbre sur cette composante isotypique. On montre aussi que la structure d'algèbre construite est en fait une structure d'algèbre extérieure. On termine cette partie en illustrant ces résultats pour quelques groupes de réflexions particuliers.<br /><br />La deuxième partie est consacrée à la généralisation d'un théorème de Rickard. Lorsque M est un foncteur ayant un adjoint à droite et à gauche, on définit la notion de catégorie M-stable d'une catégorie abélienne ou triangulée. La catégorie M-stable hérite d'une structure de catégorie triangulée. Dans le cas abélien, la catégorie M-stable est aussi, de façon analogue à la catégorie stable usuelle, un quotient d'une catégorie M-dérivée.

Périodes et ``quasi-périodes'' (aussi appelées, resp., périodes de première et deuxième espèce) d'une variété abélienne $A$ définie sur un sous-corps de $\CC$ s'obtiennent par intégration, le long des chemins fermés sur $A(\CC)$, des différentielles rationnelles sur $A$, méromorphes et sans résidus de sorte que ces intégrales soient bien définies; les premières sont obtenues en se restreignant aux différentielles régulières. Au premier chapitre de la thèse, la ``méthode modulaire'' de Barré, Diaz, Gramain, Philibert et Nesterenko est utilisée et quelque peu raffinée pour obtenir notamment une mesure d'approximation algébrique du quotient d'une période d'une courbe elliptique définie sur $\bar\QQ$ par sa quasi-période associée; ceci améliore un résultat récent de N. Saradha, en lui faisant presque contenir celui obtenu en 1980 par Reyssat avec la ``méthode elliptique''. Puis, dans la deuxième partie, nous étudions diverses extensions possibles des théorèmes de Chudnovsky (des années 70) sur l'indépendance algébrique de quasi-périodes de courbes elliptiques; ceci inclut des extensions aux variétés abéliennes de dimension quelconque, ainsi que des résultats d'approximation (algébrique) simultanée précisant les assertions d'indépendance algébrique. Au coeur des deux parties, bien que celles-ci soient par ailleurs très différentes, se trouve une astuce suggérée par Chudnovsky au début des années 80, consistant à faire apparaître et exploiter des propriétés de ``G-fonctions'' (ou ``condition d'Eisenstein'' de Polya et Szegö) dans les estimations arithmétiques de la preuve de transcendance; pour ce faire on utilise, dans la deuxième partie, des généralisations en plusieurs variables du théorème d'Eisenstein et de la fonction sigma de Weierstrass qui avaient servi à Chudnovsky, et dans la première, les liens entre les fonctions modulaires (thêta notamment) et hypergéométriques.