Submitted by Kamila Costa (kamilavasconceloscosta@gmail.com) on 2015-08-07T13:59:57Z No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-07T14:09:31Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2015-08-07T14:11:00Z (GMT) No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) / Made available in DSpace on 2015-08-07T14:11:00Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao - Erivaldo R. Santana.pdf: 3301648 bytes, checksum: f3e68eae0be26f8d67132dc1bd792d18 (MD5) Previous issue date: 2015-04-30 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / This work bears the purpose of setting up the course of the circle quadrature solution attempts, as well as to mention its influences, contributions for the mathematics development until now and to incentive the geometry dynamics use. In it we produce a possible explanation of how geometry has been created besides of a brief study on the number followed of the production GeoGebra software, the too we have utilized to build up the figures and the work implementations. We will utilize the areas equivalence based on Euclides elements to solve an initial problem: that of constructing a quadrilateral equivalent to a given pentagon and, for such, it will be necessary the demonstration of some propositions. We will utilize the square to relate its areas with those of the polygonal figures through the âquadratureâ method. With such we will execute the rectangle, triangle, pentagon quadrature, and that of the convex n sides polygon. We will utilize Pitagoras theorem to sum up the squares areas by bringing up brief comments about its use. Afterward this method will also the utilized in the attempt of squaring the curvelin figures such as the circle which has later on originated the problem of the circle quadrature. For explain such a problem we will utilize the geometric construction along with the demonstration of two methods for obtaining the circle quadrature and its respective results and comparisons. In the sequence, we will know what the are constructive numbers, algebraic and transcendent, which will enable us to reach to a classification of the number and its relation to the circle quadrature problem, reaching out the answer to our problem. While defining the geometrical average we will demonstrate how to obtain some quadrature utilized in such an average in the proposed activities. In other words, we can say that this work aims to produce the circle quadrature problem, the investigation of the methods developed by mathematicians for the solution of this problem in the course of history and, finally, an ascertainment on the answer these methods point us. / Este trabalho tem o intuito de traçar o percurso das tentativas de solução da quadratura do círculo, bem como citar suas influências, contribuições para o desenvolvimento da matemática até os dias de hoje e incentivar o uso da geometria dinâmica. Nele apresentamos uma possível explicação de como surgiu a geometria, além de um breve estudo sobre o número , seguido de uma apresentação do software GeoGebra, ferramenta que utilizamos para construção das figuras e das implementações do trabalho. Utilizaremos a equivalência de áreas baseada na obra dos elementos de Euclides para resolvermos um problema inicial: o de construir um quadrilátero equivalente a um pentágono dado e, para isso, será necessária a demonstração de algumas proposições. Utilizaremos o quadrado para relacionarmos a sua área com as das demais figuras poligonais pelo método da "quadratura". Com isso, executaremos as quadraturas do retângulo, triângulo, pentágono e do polígono convexo de n lados. Utilizaremos o Teorema de Pitágoras para somarmos áreas de quadrados, tecendo breves comentários acerca de seu uso. Posteriormente esse método também foi utilizado na tentativa de quadrar-se áreas de figuras curvilíneas, como o círculo, no que mais tarde originou o problema da quadratura do círculo. Para a exposição deste problema mostraremos a construção geométrica e a demonstração de dois métodos para obtermos a quadratura do círculo e seus respectivos resultados e comparações. Em seguida, definiremos o que são números construtíveis, algébricos e transcendentes, o que nos possibilitará chegar a uma classificação do número e sua relação com o problema da quadratura do círculo, chegando à resposta do nosso problema. Ao definirmos a média geométrica, mostraremos como obter algumas quadraturas utilizando essa média nas atividades propostas. Em outras palavras, podemos dizer que este trabalho objetiva apresentar o problema da quadratura do círculo, a investigação de métodos desenvolvidos por matemáticos para resolução deste problema ao longo da história e finalmente uma constatação acerca da resposta que estes métodos nos apontam.

Un problème de géométrie algébrique réelle s'exprime sous forme d’un système d’équations et d’inéquations polynomiales, dont l’ensemble des solutions est un ensemble semi-algébrique. L'objectif de cette thèse est de montrer comment les algorithmes de ce domaine peuvent être décrits formellement dans le langage du système de preuve Coq.Un premier résultat est la définition formelle et la certification de l’algorithme de transformation de Newton présentée dans la thèse d'A. Bostan. Ce travail fait intervenir non seulement des polynômes, mais également des séries formelles tronquées. Un deuxième résultat est la description d'un type de donnée représentant les ensembles semi-algébriques. Un ensemble semialgébrique est représenté par une formule logique du premier ordre basée sur des comparaisons entre expressions polynomiales multivariées. Pour ce type de données, nous montrons comment obtenir les différentes opérations ensemblistes et allons jusqu'à décrire les fonctions semi-algébriques. Pour toutes ces étapes, nous fournissons des preuves formelles vérifiées à l'aide de Coq. Enfin, nous montrons également comment la continuité des fonctions semi-algébrique peut être décrite, mais sans en fournir une preuve formelle complète. / A real algebraic geometry problem is expressed as a system of polynomial equations and inequalities, and the set of solutions are semi-algebraic sets. The objective of this thesis is to show how the algorithms of this domain can be formally described in the language of the Coq proof system. A first result is the formal definition and certification of the Newton transformation algorithm presented in A. Bostan's thesis. This work involves not only polynomials, but also truncated formal series. A second result is the description of a data type representing semi-algebraic sets. A semi-algebraic set is represented by a first-order logical formula based on comparisons between multivariate polynomial expressions. For this type of data, we show how to obtain the different set operations all the way to describing semialgebraic functions. For all these steps, we provide formal proofs verified with Coq. Finally, we also show how the continuity of semi-algebraic functions can be described, but without providing a fully formalized proof.