We present an axiomatization of relational varieties, i.e., classes of relational structures closed under formation of products and retracts, by a certain class of first-order sentences. We apply this result to categorically equivalent algebras and primal algebras. We consider the relational varieties generated by structures with minimal clone, rigid structures and two-element structures.

We present an axiomatization of relational varieties, i.e., classes of relational structures closed under formation of products and retracts, by a certain class of first-order sentences. We apply this result to categorically equivalent algebras and primal algebras. We consider the relational varieties generated by structures with minimal clone, rigid structures and two-element structures.

Although there is no natural internal product for hermitian forms over an algebra with involution of the first kind, we describe how tomultiply two ε-hermitian forms to obtain a quadratic form over the base field. This allows to define a commutative graded ring structure by taking together bilinear forms and ε-hermitian forms, which we call the mixedWitt ring of an algebra with involution. We also describe a less powerful version of this construction for unitary involutions, which still defines a ring, but with a grading over Z instead of the Klein group. We first describe a general framework for defining graded rings out of monoidal functors from monoidal categories with strong symmetry properties to categories of modules. We then give a description of such a strongly symmetric category Brₕ(K, ι) which encodes the usual hermitian Morita theory of algebras with involutions over a field K. We can therefore apply the general framework to Brₕ(K, ι) and theWitt group functors to define our mixed Witt rings, and derive their basic properties, including explicit formulas for products of diagonal forms in terms of involution trace forms, explicit computations for the case of quaternion algebras, and reciprocity formulas relative to scalar extensions. We intend to describe in future articles further properties of those rings, such as a λ-ring structure, and relations with theMilnor conjecture and the theory of signatures of hermitian forms.

In der Arbeit von K.-D. Kürsten und E.Wagner, On Representations of Partial *-Algebras Based on B-Weights, ZAA Vol 19(3), 2000, 623-638, wird in Proposition 3.3 eine verallgemeinerte GNS-Darstellung eingefuehrt. Die gleiche Aussage wird in Proposition 3.4 getroffen, allerdings sind die Voraussetzungen leicht abgeändert. Ziel dieser Arbeit ist es, ein Beispiel zu finden, das die zweite Variante der Voraussetzungen erfuellt.

This thesis treats combinatorial and topological properties of monoids with absorbing elements and their associated algebras.

Wir fixeren einen Körper k, der bezüglich eines nicht-archimedischen Absolutbetrags vollständig ist. In Kapitel 1 konstruieren wir eine Algebra U bestehend aus überkonvergenten Funktionen. Sie ist eine Unteralgebra der Tate-Algebra, wobei mittels einer sogenannten Filterfunktion, eine zusätzliche Wachstumsbedingung an die Koeffizienten der Potenzreihen in U gestellt wird. In diesem Kontext beweisen wir das folgende Resultat: U ist ein Noetherscher, Jacobsonscher, faktorieller Integritätsbereich, der bezüglich der Norm vollständig ist, und jedes Ideal in U ist abgeschlossen in der induzierten Topologie. In Kapitel 2 definieren wir die Kategorie der NMK-Algebren als die Kategorie der Quotienten der U. Indem wir in der größeren Kategorie der Frèchet-Räume arbeiten, beweisen wir die Noethernormalisierung und untersuchen die Morphismen zwishen NMK-Algebren. Schließlich zeigen wir, dass die Kategorie der NMK-Algebren abgeschlossen ist unter vervollständigten Tersorprodukten. In Kapitel 3 untersuchen wir geometrische Aspekte der Algebren U nämlich Eigenschaften der maximalen Ideale und die Regularität von U. Abschließend zeigen wir, dass für jedes U der assoziierte algebraische v exact in positiven Graden ist. / We fix a complete field k with respect to a non-Archimedean absolute value. In Chapter 1, we build the overconvergent function algebra U to be the subalgebra of the Tate algebra by putting a growth condition on the coefficients of the power series using a decreasing function which we call a filter function (satisfying certain conditions). With this setting we prove the following result: U is a Noetherian, Jacobson, unique factorization domain and it is complete with respect to the norm on it, moreover every ideal of U is closed with respect to the induced topology. In Chapter 2, we define a category of NMK-algebras as the category of all quotients of U. Working in the larger category of Frèchet spaces, we establish Noether normalization and investigate the morphisms between NMK-algebras. Finally, we show that the category of NMK-algebras is closed under completed tensor products. We investigate certain geometric aspects of the algebra U in Chapter 3, such as the properties of maximal ideals and regularity of U. Further, we show that for each U the associated algebraic de Rham complex is exact in positive degrees.

Diese Arbeit entwickelt aufbauend auf bekannten Resultaten die Modultheorie über der äußeren Algebra in Teilen weiter, insbesondere werden die Tiefe eines Moduls und Moduln mit linearer injektiver Auflösung untersucht. Angewendet werden die Resultate auf die Orlik-Solomon Algebra eines Matroids.

We prove that solid closure and graded dagger closure agree for homogeneous ideals in two dimensional $\mathbb{N}$-graded domains of finite type over a field. We also prove that dagger closure is trivial for ideals in regular rings containing a field and that graded dagger closure is trivial for $\mathbb{N}$-graded regular rings of finite type over a field. Finally, we prove an inclusion result for graded dagger closure for homogeneous primary ideals in certain section rings of abelian varieties.

Incidence coalgebras of categories as defined by Joni and Rota are studied, specifically in cases where a strict monoidal product on the underlying category turns the incidence coalgebra into a bialgebra or weak bialgebra. Examples of these incidence bialgebras in combinatorics are given, and include rooted trees and forests, skew shapes and bigraphs. The relations between incidence bialgebras of monoidal categories, incidence bialgebras of operads and posets, combinatorial Hopf algebras and the quiver Hopf algebras of Cibils and Rosso are discussed. Building on a result of Bergbauer and Kreimer, incidence bialgebras are seen as a useful setting in which to study aspects of combinatorial Dyson-Schwinger equations. The possibility of defining a grafting operator B+ and combinatorial DysonSchwinger equations for general incidence bialgebras is explored through the example of skew shapes.:1. Introduction 2. Background 3. Incidence bialgebras of monoidal categories and multicategories 4. Combinatorial Dyson-Schwinger equations

In dieser Arbeit werden die Grundlagen von zwei häufig auftretenden Merkmalen unserer Naturgesetze untersucht: Eichsymmetrien und Quantisierung. Durch die Betrachtung dieser Merkmale im mathematischen Rahmen von Homotopie-Algebren wollen wir neue Methoden zur Berechnung physikalischer Observablen beschreiben, insbesondere in der Kosmologie und der Quantenmechanik. Zunächst befassen wir uns mit dem Problem der Eichredundanzen, die es schwer machen zu erkennen, welche Größen eine physikalische Bedeutung haben. Im Jahr 1980 erreichte Bardeen dieses Ziel in der kosmologischen Störungstheorie zu erster Ordnung. Die Frage, ob dieses Verfahren auf die perturbative Expansion von Eichtheorien aller Ordnungen ausgedehnt werden kann, ist seitdem jedoch offen geblieben. Wir zeigen, dass die Umformulierung von Eichtheorien in eichinvariante Felder als ein Transfer von homotopie-algebraischer Strukturen verstanden werden kann. Unter Verwendung dieses mathematischen Rahmens erweitern wir dann die Gültigkeit der Bardeen-Variablen auf perturbative Eichtheorien zu allen Ordnungen. Nach der Einführung eines systematisches Verfahrens für die eichinvariante Störungstheorie betrachten wir die Berechnung von Observablen in der Doppelfeldtheorie um zeitabhängige Hintergründe. Indem wir die Doppelfeldtheorie um zeitabhängige Hintergründe quadratischer und kubischer Ordnung erweitern und die quadratische Wirkung in den eichinvarianten Variablen ausdrücken, schaffen wir eine Grundlage für zukünftige Berechnungen, insbesondere zur Untersuchung des Einflusses massiver Stringmoden in kosmologischen Hintergründen. Zum Schluss betrachten wir einen anderen Ansatz zur Berechnung von Erwartungswerten in der Quantenmechanik. Obwohl die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik für den Fortschritt der Quantentheorie von entscheidender Bedeutung war, fehlt ihr immer noch eine strenge mathematische Definition. Die Reduktion eines unendlich-dimensionalen Raums von klassisch erlaubten Trajektorien auf einen Erwartungswert, der lediglich eine Funktion der Anfangs- und Endrandbedingungen ist, hat jedoch eine homotopiealgebraische Interpretation. Mit Hilfe des Batalin-Vilkovisky-Formalismus, der eng mit Homotopie-Lie-Algebren verwandt ist, entwickeln wir einen homologischen Ansatz zur Berechnung von Quantenerwartungswerten. Als Beispiel betrachten wir den harmonischen Oszillator und zeigen, dass unsere Methode auch im Kontext der Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit verwendet werden kann, indem wir den Unruh-Effekt berechnen. / This thesis examines the underpinnings of two frequently manifest features of our laws of nature: gauge symmetries and quantization. By studying these features through the mathematical framework of homotopy algebras, we aim to describe new methods towards the computation of physical observables, in particular for cosmology and quantum mechanics. First, we deal with the problem of gauge redundancies, which make it difficult to discern which quantities have physical meaning. In 1980, Bardeen introduced a procedure to achieve this goal in first order cosmological perturbation theory. However, the question whether this procedure can be extended to the perturbative expansion of gauge theories to all orders has remained open since then. We show that, in general, the reformulation of gauge theories in gauge invariant fields has the interpretation of transferring homotopy algebraic structure. Utilising this mathematical framework, we then generalize Bardeen’s procedure to perturbative expansions of gauge theories to all orders in perturbations. After establishing a systematic procedure for gauge invariant perturbation theory, we set up the stage for computing observables in double field theory around time-dependent backgrounds. Double field theory not only has T-duality as a manifest symmetry, which is expected to be important in string cosmology proposals, but is also (in its weakly constrained form) a description of massive string modes, and hence is a suitable arena to investigate the imprint of massive string modes in cosmological backgrounds. By expanding double field theory around time-dependent backgrounds to quadratic and cubic order and expressing the quadratic action in terms of gauge invariant variables, we provide a basis for future computations. Finally, we describe a different approach for computing expectation values in quantum mechanics. Though having been essential for the progress of quantum theory, the path integral formulation of quantum mechanics still lacks a rigorous mathematical definition. However, the act of reducing an infinite-dimensional space of classically allowed trajectories into an expectation value which is merely a function of the initial and final boundary conditions does have a homotopy algebraic interpretation. Through the Batalin-Vilkovisky formalism, which is closely related to homotopy Lie algebras, we build a homological approach for computing quantum expectation values. We demonstrate our method for the harmonic oscillator and we show that our method can also be used in the context of quantum field theory in curved spacetime by rederiving the Unruh effect.