Cette thèse se concentre sur la caractérisation ultrasonore de l’interphase os-implant. Cette région est une zone de transition où a lieu le processus d’ostéointégration (i.e. le processus de guérison du tissu entourant l’implant). Donc, cette interphase a un rôle crucial dans l’ancrage à long-terme de l’implant, puisqu’elle dépend de la quantité ainsi que la qualité du tissu osseux environnant. Ensuite, en plus d’être un milieu complexe en remodelage continu, l’os néoformé présente une nature multi échelle et qui évolue dans le temps. Toutes ces motivations rendent la caractérisation de l’interphase os-implant critique et difficile. Dans ce contexte, les méthodes ultrasonores sont largement utilisées aujourd’hui dans le domaine clinique pour leur capacité de donner des informations sur les propriétés biomécaniques du tissu osseux. Compte tenu de ces éléments, dans le but de caractériser les propriétés mécaniques et microstructurales de l’interphase os-implant à travers des méthodes ultrasonores, il est important de développer et valider des modèles mécaniques ainsi que de méthodes de traitement du signal. A cause de la complexité du problème, afin de décrire avec précision le tissu environnant à l’implant, il est d’abord essentiel une modélisation fiable du tissu osseux. Pour cela, on étudie l’interaction entre une onde ultrasonore et le tissu osseux, en considérant aussi les effets dues à la microstructure. Pour ce faire, un modèle continu généralisé a été utilisé. Dans ce contexte, un test de transmission/réflexion réalisé sur un échantillon poroélastique immergé dans un fluide a renforcé la fiabilité du modèle. Les champs de pression réfléchi et transmis sont influencés par les paramètres de la microstructure. De plus, les résultats issus de l’analyse de dispersion sont en accord avec ceux observés dans les expériences pour les échantillons poroélastiques. Après, le problème a été compliqué en considérant une interphase qui se situe entre l’os et l’implant. Ainsi, on peut gérer la complexité ajoutée par la présence du tissu néoformé. Comme on l’a déjà mentionné, une difficulté additionnelle est représentée par le fait que l’interphase est un milieu hétérogène, un mélange de phases solides et fluides dont les propriétés évoluent avec le temps. Donc, afin de modéliser l’interaction des ondes ultrasonores avec une interphase, on a considéré dans le modèle une couche très fine avec des propriétés élastiques et inertielles. En partant de ça, on a étudié les effets des propriétés de réflexion d’une transition entre un milieu homogène et un milieu microstructuré. De même, il a aussi été étudié la caractérisation du milieu via des techniques avances de traitement du signal. En particulier, la réponse dynamique due à l’excitation ultrasonore du système os-implant a été analysée à travers une approche multifractale. Une première analyse basée sur les coefficients des ondelettes a montré une signature multifractale pour les signaux dérivants des simulations et aussi des expériences. Ensuite, une étude de sensibilité a aussi montré que la variation des paramètres tels que la fréquence centrale et la densité de l’os trabéculaire ne contribue pas à un changement dans la réponse. L’originalité réside dans le fait qu’il s’agit d’un des premiers efforts d’exploiter l’approche multifractale dans la propagation ultrasonore dans un milieu hétérogène / This thesis focus on the ultrasonic characterization of bone-implant interphase. This region is a transition zone where the osteointegration process (i.e. the healing process of the tissues surrounding the implant) takes place. Thus, this interphase is of crucial importance in the long-term anchorage of the implant, since it depends on the quantity and quality of the surrounding bone tissue. However, other than being a complex medium in constant remodeling, the newly formed bone presents a multiscale and time evolving nature. All these reasons make the characterization of the bone-implant interphase critical and difficult. In this context, ultrasound methods are nowadays widely used in the clinic field because of their ability to give information about the biomechanical properties of bone tissue. On this basis, with the aim of characterizing the mechanical and microstructural properties of the bone-implant interphase by ultrasound methods, it is important to develop and validate mechanical models and signal processing methods. Due to the complexity of the problem, in order to precisely describe the bone tissue surrounding the implant, first an accurate modelling of bone tissue is essential. Thus, the interaction between an ultrasonic wave and bone tissue has been investigated by also taking into account the effects dues to the microstructure. To do this, a generalized continuum modelling has been used. In this context, a transmission/reflection test performed on a poroelastic sample dipped in a fluid enhanced the reliability of the model. The reflected and transmitted pressure fields result to be affected by the microstructure parameters and the results coming from the dispersion analysis are in agreement with those observed in experiments for poroelastic specimens. Then, the problem has been complicated by considering the interphase taking place between the bone and the implant. In this way, we could handle the complexity added by the presence of the newly formed tissue. As already said, the fact that this interphase is a heterogeneous medium, a mixture of both solid and fluid phases whose properties evolve with time is an additional difficulty. Thus, in order to model the interaction of ultrasonic waves with this interphase, a thin layer with elastic and inertial properties has been considered in the model. The effects on the reflection properties of a transition between a homogeneous and a microstructured continuum have been investigated.Therefore, the characterization of the medium also via advanced signal processing techniques is investigated. In particular, the dynamic response due to the ultrasonic excitation of the bone-implant system is analyzed through the multifractal approach. A first analysis based on the wavelet coefficients pointed out a multifractal signature for the signals from both simulations and experiences. Then, a sensitivity study has also shown that the variation of parameters such as central frequency and trabecular bone density does not lead to a change in the response. The originality lies in the fact that it is one of the early efforts to exploit the multifractal approach in the ultrasonic propagation inside a heterogeneous medium

L'invariance d'échelle constitue un paradigme souvent avancé pour l'analyse et la modélisation de données expérimentales issues d'applications de natures différentes. L'analyse multifractale fournit un cadre conceptuel pour ses études théorique et pratique. Dans ce contexte, l'objectif de cette thèse réside dans l'apport à l'analyse multifractale, de l'utilisation des coefficients d'ondelettes dominants, d'une part, et des techniques statistiques de type bootstrap, d'autre part. Dans la première partie de ce travail, les propriétés et performances statistiques de procédures d'analyse multifractale construites à partir de coefficients dominants sont étudiées et caractérisées. Il est notamment montré qu'elles se comparent favorablement à celles obtenues à partir de coefficients d'ondelettes. De plus, une extension aux signaux bidimensionnels (images) est proposée et validée. En complément sont étudiées plusieurs difficultés théoriques, d'importance cruciale pour une réelle mise en œuvre pratique de l'analyse multifractale : régularité minimale et espaces fonctionnels, effet de linéarisation, robustesse vis-à-vis d'éventuelles quantifications des données. La deuxième partie de ce travail de thèse s'intéresse à la construction, pour les attributs multifractals, d'intervalles de confiance et de tests d'hypothèse, à partir de techniques 'bootstrap'. L'originalité de notre approche réside dans la mise en œuvre du bootstrap par construction de blocs temps-échelle dans le plan des coefficients d'ondelettes. Cette procédure, validée par simulations numériques, permet d'obtenir des intervalles de confiance et d'effectuer des tests d'hypothèses à partir d'une seule observation des données, de longueur finie. Une étude précise des structures de dépendance des coefficients d'ondelettes et coefficients dominants complète ce travail. Elle montre notamment que l'augmentation du nombre de moments nuls de l'ondelette d'analyse, qui, pour le mouvement brownien fractionnaire, permet de réduire la portée de la structure de dépendance de longue à courte, est inopérante pour les cascades multiplicatives multifractales : si l'augmentation du nombre de moments nuls décorrèle effectivement les coefficients d'ondelette, elle échoue à faire disparaître la dépendance longue. Enfin, les procédures d'analyse multifractale par coefficients dominants et bootstrap sont illustrées sur deux applications : la turbulence hydrodynamique et la classification de texture d'images.

L'objectif principal de cette thèse est la description des propriétés de taille et de grande intersection des ensembles apparaissant lors de l'analyse multifractale de certains processus stochastiques. Dans ce but, nous introduisons de nouvelles classes d'ensembles à grande intersection associées à des fonctions de jauge générales et nous prouvons, à l'aide de techniques d'ubiquité, des résultats d'appartenance à ces classes pour certains ensembles limsup. Cela nous permet en particulier de décrire exhaustivement les propriétés de taille et de grande intersection des ensembles issus de la théorie classique de l'approximation diophantienne comme l'ensemble des points bien approchables par des rationnels ou l'ensemble des nombres de Liouville. Nous fournissons aussi des résultats du même type lorsque les rationnels intervenant dans l'approximation doivent vérifier certaines conditions, comme les conditions de Besicovitch. Nos techniques d'ubiquité nous permettent en outre de décrire complètement les propriétés de taille et de grande intersection des ensembles intervenant dans l'analyse multifractale des processus de Lévy et d'un modèle de séries lacunaires d'ondelettes. Nous obtenons des résultats similaires pour un nouveau modèle de séries aléatoires d'ondelettes dont les coefficients sont corrélés via une chaîne de Markov indexée par un arbre. Nous déterminons en particulier la loi du spectre de singularités de ce modèle. Pour mener cette étude, nous nous intéressons à une large classe de fractals aléatoires généralisant les constructions récursives aléatoires précédemment introduites par de nombreux auteurs.

L'objectif principal de ce travail est l'étude des vitesses de vent, dans la couche atmosphérique de surface, dans le cadre des processus multifractals. Nous montrons que les modèles de cascades aléatoires, originellement introduits pour représenter l'intermittence spatio-temporelle en turbulence pleinement développée, se révèlent pertinents pour décrire les fluctuations du vent aux méso-échelles. Sur le plan théorique, nous présentons un nouveau formalisme multifractal qualifié d'"asymptotique mixte" qui généralise l'analyse standard et permet d'estimer les "dimensions négatives" introduites par Mandelbrot il y a une vingtaine d'années. L'application de cette approche à des données de turbulence permet de distinguer divers modèles de cascades proposés pour décrire l'intermittence de la dissipation. En étudiant les incréments temporels et spatiaux de la vitesse du vent enregistrée en différents sites de Corse et des Pays-Bas, nous montrons la nature intermittente des fluctuations du vent dans la gamme méso-échelles. Notre analyse s'appuie sur la covariance de la magnitude, outil qui s'avère plus efficace pour étudier l'intermittence que l'étude des lois de puissance classique. Nos résultats suggèrent ainsi l'existence d'un mécanisme de cascade "universel" associé au transfert d'énergie entre les mouvements synoptiques et la turbulence micro-échelles dans la couche limite de surface. Ces observations nous conduisent à la construction d'un modèle de séries temporelles pour la dynamique du vent associé à une cascade aléatoire continue. Cette représentation reproduit remarquablement les distributions empiriques des vitesses et permet une prévision de la vitesse à court terme (1-12 heures) de meilleure qualité que les modèles de référence.

Cette thèse est consacrée à la construction et l'analyse multifractale de fonctions aléatoires et de leurs graphes. La construction de ces objets se fait dans le cadre de la théorie des T-martingales de Kahane, et plus spécifiquement des [0, 1]-martingales. Cette théorie est fréquemment utilisée pour construire des martingales à valeurs dans les mesures de Borel positives dont la limite soit presque sûrement singulière par rapport à la mesure de Lebesgue. Ceci se fait en perturbant cette dernière à l'aide d'une suite de densités aléatoires qui sont des martingales positives d'espérance 1. Ici, nous autorisons ces martingales à prendre des valeurs complexes, et plutôt que des martingales à valeurs dans les mesures, nous considérons des martingales à valeurs dans les fonctions continues à valeurs complexes, puis la question de leur convergence uniforme presque sûre. Nous obtenons une condition suffisante de convergence pour les éléments d'une large classe de [0, 1]-martingales complexes. Les limites non dégénérées sont toutes candidates à être des fonctions multifractales. L'étude de leur nature multifractale révèle de nouvelles diffiultés. Nous la menons de façon complète dans le cas des "cascades b-adiques indépendantes" complexes. Ceci conduit à de nouveaux phénomènes. En particulier, nous construisons des fonctions continues statistiquement autosimilaires dont le spectre de singularité est croissant et entièrement supporté par l'intervalle [0;\infty]. Nous considérons également de nouveaux spectres de singularité associés au graphe, à l'image, ainsi qu'aux ensembles de niveau d'une fonction multifractale f donnée. Ces spectres s'obtiennent de la façon suivante. Soit Eh l'ensemble iso-Hölder de f associé à l'exposant h. Soit h le sous-ensemble du graphe de f obtenu en y relevant Eh. Pour tout h, on cherche la dimension de Hausdorff de h, celle de f(Eh), et celle des ensembles du type h \ Ly, où Ly est l'ensemble de niveau y de f. Pour les cascades b-adiques indépendantes non conservatives à valeurs réelles, nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image, et pour les spectres associés aux ensembles de niveau, nous obtenons un résultat en regardant des lignes de niveau dans "Lebesgue presque toute direction". Enfin, nous considérons les mêmes questions que précédemment pour une autre classe de foncions aléatoires multifractales obtenues comme séries d'ondelettes pondérées par des mesures de Gibbs. Nous obtenons presque sûrement les spectres associés au graphe et à l'image.

Le but de cette thèse est de définir puis d'étudier différentes notions d'irrégularité uniforme ou ponctuelle permettant de traduire le fait qu'une fonction peut avoir des 'grands accroissements' à toutes les échelles. Pour cela on 'inverse' les notions de régularité Höldérienne usuelles. L'objectif principal du travail est ensuite de relier ces différentes notions à la théorie des ondelettes. Les critères ondelettes établis vont ainsi permettre de définir des fonctions ou des champs aléatoires dont le comportement est différent suivant la gamme d'échelles considérée. Par ailleurs, si on se place du point de vue ponctuel, une question naturelle est celle de la définition d'une analyse multifractale -dite faible- liée à la notion d'irrégularité ponctuelle. Les ondelettes vont alors permettre de définir des séries d'ondelettes multifractales pour l'irrégularité ponctuelle. Enfin, nous étudions des exemples de champs aléatoires où des propriétés de régularité directionelle apparaissent. Nous nous sommes ainsi centré sur l'étude d'un modèle de champ aléatoire gaussien particulier vérifiant une relation d'autosimilarité matricielle. Nous avons ensuite généralisé ce modèle et introduit des champs gaussiens autosimilaires par rapport à un groupe

La caractérisation de texture est centrale dans de nombreuses applications liées au traitement d’images. L’analyse de textures peut être envisagée dans le cadre mathématique de l’analyse multifractale qui permet d’étudier les fluctuations de la régularité ponctuelle de l’amplitude d’une image et fournit les outils pratiques pour leur évaluation grâce aux coefficients d’ondelettes ou aux coefficients dominants. Bien que mise à profit dans de nombreuses applications, l’analyse multifractale souffre à présent de deux limitations majeures. Premièrement, l’estimation des paramètres multifractaux reste délicate, notamment pour les images de petites tailles. Deuxièmement, l’analyse multifractale a été jusqu’à présent uniquement considérée pour l’analyse univariée d’images, alors que les données à étudier sont de plus en plus multivariées. L’objectif principal de cette thèse est la mise au point de contributions pratiques permettant de pallier ces limitations. La première limitation est abordée en introduisant un modèle statistique générique pour le logarithme des coefficients dominants, paramétrisé par les paramètres multifractaux d’intérêt. Ce modèle statistique permet de contrebalancer la variabilité résultant de l’analyse d’images de petite taille et de formuler l’estimation dans un cadre bayésien. Cette approche aboutit à des procédures d’estimation robustes et efficaces, que ce soit pour des images de petites ou grandes tailles. Ensuite, l’analyse multifractale d’images multivariées est traitée en généralisant ce cadre bayésien à des modèles hiérarchiques capables de prendre en compte l’hypothèse d’une évolution lente des propriétés multifractales d’images multi-temporelles ou multi-bandes. Ceci est réalisé en définissant des lois a priori reliant les propriétés dynamiques des paramètres multifractaux des différents éléments composant le jeu de données. Différents types de lois a priori sont étudiés dans cette thèse au travers de simulations numériques conduites sur des images multifractales multivariées synthétiques. Ce travail est complété par une étude du potentiel apport de l’analyse multifractale et de la méthodologie bayésienne proposée pour la télédétection à travers l’exemple de l’imagerie hyperspectrale. / Texture characterization is a central element in many image processing applications. Texture analysis can be embedded in the mathematical framework of multifractal analysis, enabling the study of the fluctuations in regularity of image intensity and providing practical tools for their assessment, the coefficients or wavelet leaders. Although successfully applied in various contexts, multi fractal analysis suffers at present from two major limitations. First, the accurate estimation of multifractal parameters for image texture remains a challenge, notably for small sample sizes. Second, multifractal analysis has so far been limited to the analysis of a single image, while the data available in applications are increasingly multivariate. The main goal of this thesis is to develop practical contributions to overcome these limitations. The first limitation is tackled by introducing a generic statistical model for the logarithm of wavelet leaders, parametrized by multifractal parameters of interest. This statistical model enables us to counterbalance the variability induced by small sample sizes and to embed the estimation in a Bayesian framework. This yields robust and accurate estimation procedures, effective both for small and large images. The multifractal analysis of multivariate images is then addressed by generalizing this Bayesian framework to hierarchical models able to account for the assumption that multifractal properties evolve smoothly in the dataset. This is achieved via the design of suitable priors relating the dynamical properties of the multifractal parameters of the different components composing the dataset. Different priors are investigated and compared in this thesis by means of numerical simulations conducted on synthetic multivariate multifractal images. This work is further completed by the investigation of the potential benefit of multifractal analysis and the proposed Bayesian methodology for remote sensing via the example of hyperspectral imaging.

Ce travail de thèse aborde le problème de l'alignement d'images 2D obtenues en tomographie électronique dans la perspective d'une reconstruction tridimensionnelle et la détection des ribosomes à partir de l'objet reconstruit. Une méthode d'optimisation globale est proposée pour minimiser un coût qui permet d'effectuer l'alignement 3D et la reconstruction de manière conjointe. La thèse traite également le problème de la segmentation des images 3D reconstruites avec une méthode de classification probabiliste. Cependant, la nature des images de cryo-tomographie révèle des problèmes de bruit et de contraste. Deux méthodes de filtrage 3D ont été proposées comme prétraitement du processus de segmentation. La première méthode est basée sur l'intégration fractionnaire. La seconde est basée sur l'analyse multi-fractale. L'institut de recherche biomédicale IGBMC de Strasbourg a fourni les images de projection utilisées dans cette thèse. / This thesis deals with the problem of the alignment of 2D images obtained by transmission electron microscopy in the perspective of a three-dimensional reconstruction and the detection of ribosomes from the reconstructed object. A global optimization method is proposed to minimize a cost that allows the 3D alignment and reconstruction to be carried out jointly. The thesis also deals with the problem of segmentation of reconstructed 3D images with a probabilistic classification method. However, the nature of cryo-tomography images reveals noise and contrast problems. For this reason, two methods of 3D filtering have been proposed as pre-processing of segmentation, one is based on fractional integration, and the other on a multi-fractal analysis. The institute of biomedical research IGBMC in Strasbourg provides the projection images used in this thesis.

Dans cette thèse, on étudie principalement l’équation de Boltzmann homogène 3D pour les potentiels durs et les potentiels modérément mous et l’équivalence entre une EDS à sauts et l’EDP correspondante. En particulier, on calcule le spectre multifractal de certains processus stochastiques, on étudie le caractère bien-posé et la propagation du chaos pour l’équation de Boltzmann. Dans le premier chapitre, on étudie les propriétés trajectorielle pathologiques du processus stochastique (Vt)t_0 représentant l’évolution de la vitesse d’une particule typique dans un gaz modélisé par l’équation de Boltzmann pour les potentiels durs ou modérément mous. Nous montrons que ce processus est multifractal et qu’il a un spectre déterministe. Pour les potentiels durs, nous donnons aussi le spectre multifractal du processus $X_t =\int_0^t V_s ds$, représentant l’évolution de la position de la particule typique. Dans le deuxième chapitre, nous étudions l’unicité de la solution faible à l’équation de Boltzmann dans la classe de toutes les solutions mesures, pour les potentiels modérément mous. Ceci nous permet aussi d’obtenir un taux quantitatif de propagation du chaos pour le système de particules de Nanbu. / This thesis mainly studies the 3D homogeneous Boltzmann equation for hard potentials and moderately soft potentials and the equivalence between some jumping SDE and the corresponding PDE. In particular, we compute the multifractal spectrum of some stochastic processes, study the well-posedness and the propagation of chaos for the Boltzmann equation. The purpose of the first chapter is to study the pathwise properties of the stochastic process $(V_t)_{t\geq0}, representing the time-evolution of the velocity of a typical particle in a gas modeled by the Boltzmann equation for hard or moderately potentials. We show that this process is multifractal and has a deterministic spectrum. For hard potentials, we also give the multifractal spectrum of the process $X_t =\int_0^t V_s ds$, representing the time-evolution of the position of the typical particle. The second chapter is devoted to study the uniqueness of the weak solution to the Boltzmann equation in the class of all measure solutions, in the case of moderately soft potentials. This allows us to obtain a quantitive rate of propagation of chaos for Nanbu particle system for this singular interaction. Finally in the third chapter, we extend Figalli’s work [19] to study the relation between some jumping SDE and the corresponding Fokker-Planck equation. We prove that for any weak solution $(ft)_{t\in[0,T]}$ of the PDE, there exists a weak solution to the SDE of which the time-marginals are given by the family $(f_t)_{t\in[0,T]$

Dans cette thèse, on étudie diverses propriétés dimensionnelles de la régularité de processus de difusions à sauts, solution d’une classe d’équations différentielles stochastiques à sauts. En particulier, on décrit la fluctuation de la régularité höldérienne de ces processus et celle de la dimension locale pour la mesure d’occupation qui leur est associée en calculant leur spectre multifractal. La dimension de Hausdorff de l’image et du graphe de ces processus ont aussi étudiées.Dans le dernier chapitre, on applique une nouvelle notion de dimension de grande échelle pour décrire l’asymptote à l’infini du temps de séjour d’un mouvement brownien en dimension 1 sous des frontières glissantes / In this dissertation, we study various dimension properties of the regularity of jump di usion processes, solution of a class of stochastic di erential equations with jumps. In particular, we de- scribe the uctuation of the Hölder regularity of these processes and that of the local dimensions of the associated occupation measure by computing their multifractal spepctra. e Hausdor dimension of the range and the graph of these processes are also calculated.In the last chapter, we use a new notion of “large scale” dimension in order to describe the asymptotics of the sojourn set of a Brownian motion under moving boundaries