Orientador: Eduardo Garibaldi / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T22:18:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 FerreiraJunior_LinoRamada_M.pdf: 1117729 bytes, checksum: 6c350ee703712b44bec62c6e67597138 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Nesta dissertação, estudamos técnicas de otimização ergódica no contexto de uma dinâmica do tipo Anosov. Mostramos diferentes maneiras de abordar o problema de maximização da integral de potenciais holderianos definidos sobre um espaço métrico compacto na presença de uma dinâmica hiperbólica. Discutimos o formalismo termodinâmico sobre modelo expansivo, obtendo probabilidades maximizantes em temperatura nula. No caso hiperbólico, determinamos uma desigualdade cohomológica em um sistema anfidinâmico, da qual resulta subação lipschitziana para potenciais lipschitzianos associados a difeomorfismos de Anosov. Finalmente, argumentamos que probabilidades periódicas são maximizantes para abertos de funções na topologia lipschitziana / Abstract: In this master's thesis, we study ergodic optimization techniques in the context of an Anosov dynamical system. We present different approaches to the problem of maximization of the integral of Hölder potentials on a compact metric space in the presence of a hyperbolic dynamics. We discuss the thermodynamical formalism in an expansive model, obtaining maximizing probabilities at zero temperature. In the hyperbolic case, we determine a cohomological inequality in an amphidynamical system, from which follows a Lipschitz subaction for Lipschitz potentials associated with Anosov diffeomorphisms. Finally, we argue that periodic probabilities are maximizing for open sets of functions in the Lipschitz topology / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Nesse trabalho são apresentados alguns resultados sobre classificação de Ações Anosov de Rk em (k + 2)variedades fechadas. Obtivemos dois teoremas (Teoremas A e B) que classificam tais ações. Essencialmente, mostramos que a ação será uma Tk1 extensão de um fluxo Anosov. Na demonstração é usada teoria das folheações de codimensão um; técnicas desenvolvidas por Fenley, como o estudo da ação levantada no recobrimento universal e a construção de losangos invariantes nesse espaço; bem como resultados obtidos por Maquera e Barbot, que iniciaram os estudos de Ações Anosov visando a classificação topológica destas / In this work is presented some important results about Anosov actions of Rk in (k + 2)closed manifolds. We obtained two classification theorems (Theorems A and B) which give us, essentially, that the system is a Tk1-extension of an Anosov flow. In order to show that, we used the theory of foliations of codimension one, techniques developed by Fenley, such as study of the lift of the action in the universal cover and the construction of invariant lozenges, what is more, we used some results by Maquera and Barbot, who began the studies of Anosov Actions generalizing some classic results on the way to classificate them

Nesse trabalho são apresentados alguns resultados sobre classificação de Ações Anosov de Rk em (k + 2)variedades fechadas. Obtivemos dois teoremas (Teoremas A e B) que classificam tais ações. Essencialmente, mostramos que a ação será uma Tk1 extensão de um fluxo Anosov. Na demonstração é usada teoria das folheações de codimensão um; técnicas desenvolvidas por Fenley, como o estudo da ação levantada no recobrimento universal e a construção de losangos invariantes nesse espaço; bem como resultados obtidos por Maquera e Barbot, que iniciaram os estudos de Ações Anosov visando a classificação topológica destas / In this work is presented some important results about Anosov actions of Rk in (k + 2)closed manifolds. We obtained two classification theorems (Theorems A and B) which give us, essentially, that the system is a Tk1-extension of an Anosov flow. In order to show that, we used the theory of foliations of codimension one, techniques developed by Fenley, such as study of the lift of the action in the universal cover and the construction of invariant lozenges, what is more, we used some results by Maquera and Barbot, who began the studies of Anosov Actions generalizing some classic results on the way to classificate them

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-04-06T13:55:31Z No. of bitstreams: 1 pedroandrearroyosilva.pdf: 3231300 bytes, checksum: 51e0163236485b163a96fe6fafa4315e (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-04-24T03:52:09Z (GMT) No. of bitstreams: 1 pedroandrearroyosilva.pdf: 3231300 bytes, checksum: 51e0163236485b163a96fe6fafa4315e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-04-24T03:52:09Z (GMT). No. of bitstreams: 1 pedroandrearroyosilva.pdf: 3231300 bytes, checksum: 51e0163236485b163a96fe6fafa4315e (MD5) Previous issue date: 2013-07-17 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / O principal objetivo deste trabalho é o estudo da sensibilidade às condições iniciais sobre fluxos seccional-Anosov em variedades compactas tridimensionais para os quais o conjunto maximal invariante é igual ao conjunto não errante. Veremos que em conjuntos hiperbólicos e fluxos Anosov temos sensibilidade às condições iniciais. Generalizando o conceito de hiperbolicidade estudaremos os fluxos seccional hiperbólicos e seccional Anosov. Para este último demonstraremos que todo campo vetorial próximo destes fluxos é sensível às condições iniciais. / The main objective of this work is the study about sensitivity to initial conditions on seccional- Anosov flows on compact 3-dimensional manifolds for which the maximal invariant set and nonwandering sets coincide. We will see that in hyperbolic set and Anosov flow we have sensitivity to initial conditions. Extending the notion of hyperbolicity we study seccional hyperbolic flows and seccional-Anosov flows. For the latter we show that every vector field close to one of these flows is sensitive with respect to initial conditions.

Thesis advisor: Kathryn Lindsey / We use interval maps to construct pseudo-Anosovs and relate important invariants of each regime. This work builds on techniques of André de Carvalho, Toby Hall, Bill Thurston, and others. We introduce a new perspective on the pseudo-Anosovs created in this way, showing how they constitute the vertices of a tree whose edges encode relations between them. We also characterize the pseudo-Anosovs arising from interval maps, and use this result to reprove a universal lower bound on their stretch factors originally due to Boissy-Lanneau. / Thesis (PhD) — Boston College, 2023. / Submitted to: Boston College. Graduate School of Arts and Sciences. / Discipline: Mathematics.

O objetivo principal desta dissertação é mostrar um resultado obtido por Plante, o qual estabelece que: qualquer fluxo de Anosov de codimensão um sobre uma variedade diferenciável compacta M de dimensão maior do que 3 com grupo fundamental solúvel é topologicamente equivalente à suspensão de um automorfismo hiperbólico do toro. Este resultado mostra a conjectura de Verjovsky no caso que o grupo fundamental da variedade é um grupo solúvel. A prova deste resultado é baseada no celebre resultado de Schwartzman, o qual fornece um criterio para garantir a existencia de seção transversal global para um fluxo não singular / O objetivo principal desta dissertação é mostrar um resultado obtido por Plante em [12] o qual estabelece que: qualquer fluxo de Anosov de codimensão um sobre uma variedade diferenciável compacta M de dimesão maior o que 3 com grupo fundamental solúvel é topologicamente equivalente à suspensão de um automorfismo hiperbólico do toro. Este resultado mostra a conjectura de Verjovsky no caso que o grupo fundamental da variedade é um grupo solúvel. A prova deste resultado é baseada no célebre resultado de Schwartzman [15], Teorema 2.17, o qual fornece um critério para garantir a existência de seção transversal global para um fluxo não singular

Dentre todos os sistemas dinâmicos os sistemas Anosov têm atraído a atenção de muitos matemáticos. No caso de fluxo Anosov em uma variedade fechada M de dimensão três, Sérgio Fenley definiu o conceito de losangos no recobrimento universal de M e obteve resultados importantes envolvendo losangos e automorfismos do recobrimento universal. Seguindo o que foi feito por Fenley, e utilizando o conceito de losangos no espaço das órbitas do fluxo levantado (no recobrimento universal), Thierry Barbot obteve condições suficientes para que um toro incompressível numa 3-variedade fechada suportando um fluxo Anosov seja isotópico a um outro que é transverso ao fluxo. Neste trabalho consideramos ações Anosov de \'R POT. k\' sobre uma variedade fechada M de dimensão k + 2. Primeiramente, conseguimos resultados análogos aos de Fenley (sobre existência de losangos) para estas ações, e usando isso, finalmente obtemos condições suficientes para que um toro incompressível seja isotópico a um toro transverso à ação. Este último resultado é uma generalização de Barbot mencionado acima / Among all dynamical systems the Anosov systems has attracted the attention of many mathematicians. In the case of an Anosov flow in a closed manifold M of dimension three, Sérgio Fenley defined the concept of lozenges in the universal covering of M and obtained important results involving lozenges and covering automorphism. Following what was made by Fenley, and using the concept of lozenge on the orbit space of the lifted flow (in the universal covering). Thierry Barbot obtains sufficient conditions for an incompressible torus in a closed 3-manifold supporting an Anosov flow to be isotopic to another which is transverse to flow. If this work we considered Anosov of \'R POT. k\' on a closed manifold M of dimension k + 2. First, we obtain analogous results those of Fenley (about existence of lozenges) for this actions, and using this, finally we obtain sufficient conditions for an incompressible torus to be isotopic to another torus which is transverse to action. This last result is a generalization of Barbot\'s result mentioned above

Este trabalho é destinado a mostrar soluções parciais para a conjectura de Verjovsky para ações, a qual afirma que: Toda ação Anosov de codimensão 1 irredutível de Rk sobre uma variedade compacta M de dimensão maior do que k+2 é topologicamente equivalente a suspensão de uma ação Anosov de Zk. Os teoremas principais da tese são dois. No primeiro, generalizamos um teorema devido a Barbot e Maquera [1], provando que sob as hipóteses da conjectura e supondo que se Ess ⊕ Euu é de classe C1, então a ação é topologicamente equivalente a suspensão de uma ação de Zk. Este resultado também é uma extensão de um teorema, para fluxos de Anosov (k = 1), devido a Ghys [2]. Para mostrar este resultado foi necessário desenvolver um análogo da teoria, que mostra a existência das partições de Markov para fluxos devido a Ratner [3], para ações Anosov. Finalmente, no segundo resultado principal, retiramos a hipótese da ação ser irredutível e provamos que se alguma das folheações fortes não é minimal então a conjectura é verdadeira. Para provar este resultado foi necessário estendermos um teorema de Plante [4]. / This work is destined to show parcial results for the Verjosvkys conjecture for actions, which says that Every irreducible codimension-one Anosov action of Rk on a manifold M of dimension at least k+3 is topologically conjugate to the suspension of a Anosov action of Zk. The main results are two. In the first, we show that if Ess ⊕ Euu is C1 then the Verjosvkys conjecture does hold, generalizing Barbot-Maqueras theorem [1]. This theorem is also an extension of a result, for flows, of Ghys [2]. An important step to show this theorem was to construct the Markov system for Anosov actions. The Markov system has similar properties of Markov partitions for Anosov flows obtained by Ratner,[3]. Finally, in the second main theorem, without irreducibility, we show that if some strong foliation is not minimal then the conjecture is true. For to prove this result, was necessary we extend a Plante\'s theorem,[4].

The problem of classifying the Anosov systems is of great interest in the theory of dynamical systems. The most important known examples are of algebraic nature and it has been conjectured on 1960s by S. Smale (SMALE, 1967) that these are in fact the only examples. This conjecture has been proved false for Anosov flows, where counter examples had been constructed for odd dimensional manifolds ((HANDEL; THURSTON, 1980) and (BARTHELMé et al., )). This non algebraic examples however are very pathological, and with some stronger hypothesis, for example, smoothness of the invariant bundles, the conjecture remains open. In 1992, it was published a paper (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) which proved that contact Anosov flows with smooth invariant bundles are in fact algebraic. In this monograph we seek to generalize the result obtained in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). For this end, we create an adequate definition for contact Anosov Rk-actions, and following the proof strategy used in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) we obtained a partial generalization of this result. / O problema da classificação dos sistemas Anosov são de grande interesse dentro da teoria dos sistemas dinâmicos. Os principais exemplos conhecidos são de natureza algébrica e foi levantada na década de 1960 a conjectura de que estes são os únicos exemplos (SMALE, 1967). Esta conjectura se mostrou falsa para fluxos Anosov (ações de R), onde foram construídos contraexemplos em variedades de dimensões impares ((HANDEL; THURSTON, 1980) e (BARTHELMé et al., )). Estes contra exemplos no entanto são de natureza patológica, e sob hipóteses um pouco mais fortes, por exemplo, suavidade dos fibrados invariantes, a conjectura permanece em aberto. Em 1992, foi publicado um artigo (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) provando que fluxos de contato Anosov com fibrados invariantes suaves são de fato algébricos . Neste trabalho procuramos generalizar o resultado obtido em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). Para isso criamos uma definição adequada para ações de Rk contato Anosov, que generalizam a noção de fluxo de contato Anosov, e seguindo a estratégia de prova utilizada em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992), obtivemos uma generalização parcial deste resultado.

The problem of classifying the Anosov systems is of great interest in the theory of dynamical systems. The most important known examples are of algebraic nature and it has been conjectured on 1960s by S. Smale (SMALE, 1967) that these are in fact the only examples. This conjecture has been proved false for Anosov flows, where counter examples had been constructed for odd dimensional manifolds ((HANDEL; THURSTON, 1980) and (BARTHELMé et al., )). This non algebraic examples however are very pathological, and with some stronger hypothesis, for example, smoothness of the invariant bundles, the conjecture remains open. In 1992, it was published a paper (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) which proved that contact Anosov flows with smooth invariant bundles are in fact algebraic. In this monograph we seek to generalize the result obtained in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). For this end, we create an adequate definition for contact Anosov Rk-actions, and following the proof strategy used in (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) we obtained a partial generalization of this result. / O problema da classificação dos sistemas Anosov são de grande interesse dentro da teoria dos sistemas dinâmicos. Os principais exemplos conhecidos são de natureza algébrica e foi levantada na década de 1960 a conjectura de que estes são os únicos exemplos (SMALE, 1967). Esta conjectura se mostrou falsa para fluxos Anosov (ações de R), onde foram construídos contraexemplos em variedades de dimensões impares ((HANDEL; THURSTON, 1980) e (BARTHELMé et al., )). Estes contra exemplos no entanto são de natureza patológica, e sob hipóteses um pouco mais fortes, por exemplo, suavidade dos fibrados invariantes, a conjectura permanece em aberto. Em 1992, foi publicado um artigo (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992) provando que fluxos de contato Anosov com fibrados invariantes suaves são de fato algébricos . Neste trabalho procuramos generalizar o resultado obtido em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992). Para isso criamos uma definição adequada para ações de Rk contato Anosov, que generalizam a noção de fluxo de contato Anosov, e seguindo a estratégia de prova utilizada em (BENOIST; FOULON; LABOURIE, 1992), obtivemos uma generalização parcial deste resultado.