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Dans le cadre du présent travail nous nous sommes d'abord intéressés aux causes de la dissipation d'énergie dans les cricuits intégrés ainsi qu'aux métriques associées à la mesure des performances. Ensuite les technologies utilisées ont été présentées; il s'agit des technologies bidimensionnelle et tridimensionnelle SOI 100nm grille en T. La version tridimensionnelle est composée de deux couches de transistors tel que le type P soit au dessus du type N. Des méthodologies de conception ainsi que des bibliothèques de cellules standard ont dû être développées pour ces technologies. Finalement, des architectures pour l'arithmétique combinatoire faible consommation ont été modélisées, évaluées et dessinées avec des technologies citées précédemment. Les opérations abordées sont l'addition, la multiplication et la division.

L'arithmétique virgule flottante utilisée en machine pour le calcul scientifique introduit des erreurs dans le résultat des opérations. Le calcul sur ordinateur porte en effet sur des opérandes qui possèdent un nombre limité de chiffres significatifs, lesquels ne représenent qu'une approximation de la valeur exacte. Au fur et à mesure du déroulement des programmes, on assiste à une dégradation progressive de la précision des nombres manipulés. Ces accumulations d'erreurs peuvent conduire à des résultas invalides sans que l'utilisateur en soit averti. Parmi les solutions développées pour maîtriser les erreurs du calcul en machine, seule l'utilisation d'une arithmétique exacte conduit à un résultat dont on est sûr qu'il est correct. Malheureusement cette solution est obtenue par logiciel au prix d'un temps de calcul extrêmement long. Une des principales raisons de la lenteur de ce type de logiciel provient du fait qu'ils s'exécutent sur des processeurs qui ne disposent pas d'une arithmétique adaptée au calcul exact. Il faut donc faire une émulation de chaque opération élémentaire de l'arithmétique exacte en faisant appel à des routines logicielles utilisant les instructions disponibles sur le processeur. Cette émulatioan entraîne alors une dégradation des performances de l'arithmétique, et donc des logiciels, utilisés pour le calcul exact. On propose de développer un circuit qui réalisera au niveau matériel toutes les opérations élémentaires de l'arithmétique exacte. L'architecture du circuit sera optimisée pour répondre aux spécificités de cette arithmétique et plus particulièrement pour calculer sur des nombres de grande taille. Afin d'augmenter encore les performances des logiciels, on intègrera en matériel certaines fonctions usuelles du calcul exact.

Ces dernières années, les circuits asynchrones sont apparus comme une solution naturelle aux problèmes de conception des circuits synchrones lies aux technologies submicroniques. En s'affranchissant d'une horloge globale et en utilisant un mécanisme de synchronisation locale, les circuits asynchrones se montrent plus fiables, robustes et modulaires que leurs équivalents synchrones. En plus, l'absence de horloge globale permet d'adresser des contraintes de faible consommation, faible bruit et sécurité. Cependant, l'intérêt croissant dans les circuits asynchrones se heurte au manque actuel de méthodes et outils d'aide à la conception de tels circuits.<br />Dans ce cadre, ce travail de thèse porte sur l'étude de la conception de chemins de données asynchrones QDI (de l'anglais, « quasi-delay insensitive »). Initialement, cette thèse propose et évalue une méthode de comparaison de différentes implémentations des circuits asynchrones. Par la suite, les deux principaux opérateurs arithmétiques sont étudiés : les additionneurs et les multiplieurs. Dans cette étude, plusieurs architectures ont été évaluées et l'impact de différents codages de données ont été examinés. La méthode de comparaison et la génération d'opérateurs arithmétiques ont été automatisées de façon à permettre aux concepteurs de circuits de choisir l'implémentation plus adéquate aux contraintes de conception.<br />L'expertise obtenue par l'étude d'opérateurs arithmétiques a aussi permis de généraliser certaines recommandations à la conception de toutes chemins de données asynchrones. Ces recommandations sont à l'origine d'une méthodologie de conception de chemins de données asynchrones. Les résultats de ce travail enrichissent l'outil de conception qu'aide à combler l'espace entre les concepteurs et les circuits asynchrones.

La résolution de problèmes arithmétiques verbaux demeure très problématique pour l’élève du primaire. Les recherches dans ce domaine privilégient la compréhension de l’énoncé des problèmes. Une recension critique des écrits a confirmé une meilleure réussite avec un matériel disponible par rapport à une condition sans matériel sans pour autant expliciter avec finesse la genèse de cette différence. Dans cette recherche doctorale, six élèves d’une classe régulière de troisième année du primaire ont réalisé trois activités de résolution de problèmes arithmétiques verbaux de type additif dans un environnement familier avec des jetons disponibles comme matériel de manipulation. Une analyse de la réalisation de ces activités selon le prisme de la dialectique sujet/matériel a indiqué un rapport pictural ou symbolique de ces élèves avec un matériel autre que les jetons. Une microanalyse de ces activités a mis en relief l’évolution d’un matériel d’une forme plutôt personnelle à une forme plutôt conventionnelle dans la représentation de ces élèves. Cette évolution, souvent non consciente, présente un comportement de ces élèves dans cette activité qualifié d’être en mathématiques. Pourtant, la conscience de cette évolution peut mener à la réussite de la résolution de ces problèmes.

Cette thèse a pour objectif d’étudier l’influence du caractère statique ou dynamique des problèmes arithmétiques à énoncés verbaux sur les procédures correctes de résolution, ainsi que sur la nature des erreurs. 772 enfants de Cours Moyen ont résolus des problèmes complexes de deux types, des problèmes de complément et de transformation, dont la particularité tient aux deux procédures permettant d’accéder à la solution : la procédure par différence-complément, consistant à faire les calculs pas à pas, et la procédure par différence-comparaison, consistant à comparer les deux ensembles et à déduire que la différence entre les touts est la même que celles entre les parties. L’hypothèse testée et confirmée par la première expérimentation est que la nature statique des problèmes de complément favorise une procédure par différence-complément, alors que la nature dynamique des problèmes de transformation favorise une procédure par différence-comparaison. Une seconde expérimentation confirme ces résultats, et montre que lorsque les enfants doivent deviner la question aux énoncés privés de leur question initiale, ils privilégient les questions sur le tout, notamment pour les problèmes de transformation. Les procédures erronées relevées dans les protocoles ont permis d’établir une typologie des erreurs. Des protocoles d’élèves de SEGPA ont été analysés à leur tour, afin de classer les erreurs relevées dans la typologie. Cette étude a révélé que la production de certaines erreurs semble être fonction du type de problème. Les résultats mettent en évidence l’influence des aspects statiques et dynamiques des énoncés sur les procédures de résolution qu’elles soient correctes ou erronées. / This thesis studies the arithmetic word problems dynamic or static nature influence on solving procedures, as well as on errors. 772 children from 4th and 5th grades solved complex problems of two different types, combination problems and change problems. Their specificity is they can be solved by two different procedures: the complementation procedure consisting in a step by step computation, and the matching procedure, consisting in the computation of the difference between homologous quantities. The first experiment results support the hypothesis that the combination problem static nature leads to a complementation procedure, whereas the change problem dynamic nature leads to a matching procedure. The second experiment results are consistent with the first experiment, in addition, they show that when children are asked to guess the question to a problem, they give their preference to a question related to the whole rather than to the part, especially for change problems. The errors extracted from the protocols enabled us to build a typology of errors. Protocols from pupils with learning difficulties and attending an adapted Junior High School class were studied, and their errors were classified in our typology. This study revealed that some types of errors occurred more often in one or the other type of problems. The results pointed out that the statement static or dynamic nature influences the solving procedures, either correct or erroneous.

La résolution de problèmes arithmétiques verbaux demeure très problématique pour l’élève du primaire. Les recherches dans ce domaine privilégient la compréhension de l’énoncé des problèmes. Une recension critique des écrits a confirmé une meilleure réussite avec un matériel disponible par rapport à une condition sans matériel sans pour autant expliciter avec finesse la genèse de cette différence. Dans cette recherche doctorale, six élèves d’une classe régulière de troisième année du primaire ont réalisé trois activités de résolution de problèmes arithmétiques verbaux de type additif dans un environnement familier avec des jetons disponibles comme matériel de manipulation. Une analyse de la réalisation de ces activités selon le prisme de la dialectique sujet/matériel a indiqué un rapport pictural ou symbolique de ces élèves avec un matériel autre que les jetons. Une microanalyse de ces activités a mis en relief l’évolution d’un matériel d’une forme plutôt personnelle à une forme plutôt conventionnelle dans la représentation de ces élèves. Cette évolution, souvent non consciente, présente un comportement de ces élèves dans cette activité qualifié d’être en mathématiques. Pourtant, la conscience de cette évolution peut mener à la réussite de la résolution de ces problèmes.

Pour une fonction additive f et une fonction multiplicative g , soit E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . Dans cette thèse, nous améliorons le résultat de De Koninck, Doyon et Letendre relatif à l’ordre de grandeur de E ( ω, g ; x ) et E (Ω , g ; x ) . Nous obtenons aussi des résultats généralisant l’inégalité d’Hardy-Ramanujan et le théorème de Landau. De plus, nous appliquons la méthode de Selberg-Delange de façon à obtenir une formule relative à la fréquence des fonctions ω ( n ) et Ω( n ) en progression arithmétique. Finalement, nous trouvons une condition suffisante pour qu’une fonction arithmétique quel- conque possède une fonction de répartition et obtenons une version quantitative du théorème d’Erdős-Wintner. / For an additive function f and a multiplicative function g , let E ( f, g ; x ) := # { n ≤ x : f ( n ) = g ( n ) } . In this thesis, we improve the result of De Koninck, Doyon and Letendre regarding the order of magnitude of E ( ω, g ; x ) and E (Ω , g ; x ) . We also obtain results which generalise the Hardy-Ramanujan inequalities and the Landau theorem. Moreover, we use the Selberg-Delange method in order to obtain a formula on the frequency of the fonctions ω ( n ) and Ω( n ) in arithmetic progression. Finaly, we find a sufficient condition for an arithmetical function to possess a distribution function and obtain a quantitative version of the Erdős-Wintner theorem.

Dans ce mémoire, on s'intéresse aux convolutions de fonctions arithmétiques. D'abord on rappelle les grandes notions de base : fonctions additives et fonctions multiplicatives, convolution de Dirichlet, convolutions arithmétiques régulières et fonctions génératrices. Ensuite, on étudie différents opérateurs de moyenne sur certains ensembles de diviseurs et leurs inverses. Aussi, on porte son attention à l'étude des valeurs moyennes de certaines fonctions en améliorant de façon significative leur terme d'erreur O(Î^J ) en un terme O(lo J:+\x) pour un entier positif m arbitraire. Finalement, on analyse quelques caractérisations de fonctions arithmétiques basées sur diverses convolutions.

La complexité arithmétique est l'étude des ressources nécessaires pour calcu- ler des polynômes en n'utilisant que des opérations arithmétiques. À la fin des années 70, Valiant a défini (de manière semblable à la complexité booléenne) des classes de polynômes. Les polynômes, ayant des circuits de taille polyno- miale, considérés faciles forment la classe VP. Les sommes exponentielles de ces derniers correpondent alors à la classe VNP. L'hypothèse de Valiant est la conjecture que VP ̸= VNP.Bien que cette conjecture soit encore grandement ouverture, cette dernière semble toutefois plus accessible que son homologue booléen. La structure algé- brique sous-jacente limite les possibilités de calculs. En particulier, un résultat important du domaine assure que les polynômes faciles peuvent aussi être cal- culés efficacement en paralèlle. De plus, quitte à autoriser une augmentation raisonnable de la taille, il est possible de les calculer avec une profondeur de calcul bornée par une constante. Comme ce dernier modèle est très restreint, de nombreuses bornes inférieures sont connues. Nous nous intéresserons en premier temps à ces résultats sur les circuits de profondeur constante.Bürgisser a montré qu'une conjecture (la τ-conjecture) qui borne supérieu- rement le nombre de racines de certains polynômes univariés, impliquait des bornes inférieures en complexité arithmétique. Mais, que se passe-t-il alors, si on essaye de réduire, comme précédemment, la profondeur du polynôme consi- déré? Borner le nombre de racines réelles de certaines familles de polynômes permetterait de séparer VP et VNP. Nous étudierons finalement ces bornes su- périeures sur le nombre de racines réelles.