Dans ce manuscrit de thèse nous présentons des nouveaux résultats concernant l'existence, la non-existence, la multiplicité et la régularité des solutions positives pour deux problèmes quasilinéaires elliptiques avec conditions de Dirichlet dans un domaine borné. Dans le chapitre 1 d'introduction, nous décrivons les deux problèmes que nous allons étudier et nous donnons les principaux résultats. Le premier, d'inconnue u, comporte un terme de source de gradient à croissance critique. Le second, d'inconnue v, contient un terme source d'ordre 0. Dans le chapitre 2 nous donnons des nouveaux résultats de régularité des solutions renormalisées utiles pour notre étude. A l'aide d'un changement d'inconnue, nous établissons un lien précis entre les problèmes en u et v. Le chapitre 3 est consacré à montrer ce lien et à donner une première application. Dans les chapitres 4 et 5 nous traitons de l'existence de solutions, la solution extrémale et sa régularité, l'existence d'une deuxième solution bornée du problème en v. Dans le chapitre 6 nous démontrons un résultat d'existence pour le problème en v avec des données mesures de Radon bornées quelconques. Dans le chapitre 7 nous obtenons des nouveaux résultats pour le problème en u en utilisant la connexion entre ces deux problèmes.

Dans cette thèse nous étudions la dynamique engendrée par une famille de flots Hamiltoniens. Un tel système dynamique à plusieurs générateurs est aussi appelé 'polysystème'. Motivés par des questions liées au phénomène de la diffusion d'Arnold, notre objectif est de construire des trajectoires du polysystème qui relient deux régions lointaines de l'espace des phases. La thèse est divisée en trois parties.Dans la première partie, nous considérons le polysystème engendré par les flots discrétisés d'une famille d'Hamiltoniens Tonelli. En utilisant une approche variationnelle issue de la théorie KAM faible, nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence des trajectoires souhaitées.Dans la deuxième partie, nous traitons le cas d'un polysystème engendré par un couple de flots Hamiltoniens à temps continu, dont l'étude rentre dans le cadre de la théorie géométrique du contrôle. Dans ce contexte, nous montrons dans certains cas la transitivité d'un polysystème générique, à l'aide du théorème de transversalité de Thom.La dernière partie de la thèse est dédiée à obtenir une nouvelle version du théorème de transversalité de Thom s'exprimant en termes d'ensembles rectifiables de codimension positive. Dans cette partie il n'est pas question de polysystèmes, ni d'Hamiltoniens. Néanmoins, les résultats obtenus ici sont utilisés dans la deuxième partie de la thèse

Dans cette thèse nous étudions la dynamique engendrée par une famille de flots Hamiltoniens. Un tel système dynamique à plusieurs générateurs est aussi appelé ‘polysystème’. Motivés par des questions liées au phénomène de la diffusion d’Arnold, notre objectif est de construire des trajectoires du polysystème qui relient deux régions lointaines de l’espace des phases. La thèse est divisée en trois parties.Dans la première partie, nous considérons le polysystème engendré par les flots discrétisés d’une famille d’Hamiltoniens Tonelli. En utilisant une approche variationnelle issue de la théorie KAM faible, nous donnons des conditions suffisantes pour l’existence des trajectoires souhaitées.Dans la deuxième partie, nous traitons le cas d’un polysystème engendré par un couple de flots Hamiltoniens à temps continu, dont l’étude rentre dans le cadre de la théorie géométrique du contrôle. Dans ce contexte, nous montrons dans certains cas la transitivité d’un polysystème générique, à l’aide du théorème de transversalité de Thom.La dernière partie de la thèse est dédiée à obtenir une nouvelle version du théorème de transversalité de Thom s’exprimant en termes d’ensembles rectifiables de codimension positive. Dans cette partie il n’est pas question de polysystèmes, ni d’Hamiltoniens. Néanmoins, les résultats obtenus ici sont utilisés dans la deuxième partie de la thèse / In this thesis we study the dynamics generated by a family of Hamiltonian flows. Such a dynamical system with several generators is also called ‘polysystem’.Motivated by some questions related to the phenomenon of Arnold diffusion, our aim is to construct trajectories of the polysystem which connect two far-apart regions of the phase space.The thesis is divided into three parts.In the first part, we consider the polysystem generated by the time-onemaps of a family of Tonelli Hamiltonians. By using a variational approach falling within the framework of weak KAM theory, we give sufficient conditions for the existence of the desired trajectories.In the second part, we address the case of a polysystem generated by twocontinuous-time Hamiltonian flows. This problem fits into the framework of geometriccontrol theory. In this context, we show in some cases the transitivity of a generic polysystem, by means of Thom’s transversality theorem.The third and last part of the thesis is devoted to the proof of a newversion of Thom’s transversality theorem, formulated in terms of rectifiable sets of positive codimension. Neither polysystems nor Hamiltonians are explicitly involved in this part. However, the results obtained here are used in the second part of the thesis.

La lentille (Lens culinaris Med.) est une composante importante des régimes alimentaires de nombreuses populations à travers le monde mais sa consommation en Europe est relativement faible. L’Europe produit seulement 26% de sa consommation de lentille et ce déficit est en partie causé par d’importants verrous agronomiques comme la verse, les bruches et la compétition des adventices qui réduisent ses rendements, notamment en agriculture biologique. Les associations de cultures, définies comme la culture simultanée d’au moins deux espèces différentes sur une même surface pendant une durée significative, sont considérées comme une option pour lever ces verrous agronomiques et ainsi développer la production de lentille en agriculture biologique. Les objectifs de cette thèse étaient de (1) évaluer le potentiel des associations de lentille et de blé de printemps pour produire de la lentille en conditions d’agriculture biologique et (2) comprendre les principaux mécanismes sous-jacents à la performance des associations. Des essais agronomiques ont été mis en place en 2015 et 2016 en conditions d’agriculture biologique. Quatre variétés de lentille et de blé de printemps ont été conduites en culture pures et en plusieurs associations de type substitutif et additif. Nos résultats montrent que le rendement moyen des associations avant récolte mécanique était plus élevé que le rendement moyen des cultures pures. Néanmoins, le rendement de lentille en association était inférieur à celui de la lentille en culture pure en raison d’une compétition forte et précoce du blé pour les ressources qui a causé la diminution nombre de ramifications par plante de la lentille. Le prix de la lentille étant environ quatre fois plus élevé que celui du blé, la marge brute des associations avant récolte était inférieure à celle de la lentille en culture pure. Cependant, la verse de la lentille a été fortement réduite en association, entrainant une augmentation de l’efficacité de sa récolte mécanique. En conséquence les rendements de lentille issus de la récolte mécanique se sont avérés similaires en association et en culture pure. Enfin, après tri et nettoyage des graines, la marge brute des associations sur le rendement commercialisable était supérieure à celle des cultures pures. Nos résultats montrent que (1) les associations n’ont pas eu d’effet sur le taux de bruchage des lentilles, (2) l’association la plus performante est constituée de lentille à densité équivalente à la culture pure dans laquelle on ajoute 15-20% de blé, (3) la performance des associations est due à une utilisation complémentaire de l’azote rendue possible par la fixation symbiotique de l’azote par la lentille et (4) l’intensité des compétitions entre espèces dépendent de l’année, de la densité de blé et des génotypes. En conclusion, nos travaux indiquent que les associations de lentille et de blé de printemps peuvent permettre de développer la production de lentille en agriculture biologique mais qu’une meilleure compréhension des interactions de type génotype x environnement x conduite pourrait permettre de mettre au point des couverts encore plus performants. / Lentil (Lens culinaris Med.) is an important component of the human diet in the world, but in the meantime, Europe produces only 26% of the lentils it consumes. This is partly due to strong agronomic weaknesses that reduce yield such as lodging, bruchid beetles and weeds, especially in organic farming. Intercropping, the simultaneous growing of two or more species in the same field is tested here as an option to reduce these drawbacks and develop organic lentil production. The aims of this thesis were to (1) assess the potential of lentil-spring wheat intercrops to produce organic lentil, (2) understand the mechanisms that explain their performances, and (3) evaluate the profitability of such intercrops. A two-year field experiment was carried out in southwestern France in 2015 and 2016 under organic farming rules. Four lentil and two wheat cultivars were grown as sole crops and intercrops in multiple additive and substitutive designs. Our results showed that the total intercrop attainable grain yield was higher than the mean of sole crops. Yet, lentil yield in intercrop was lower than in sole crop as the result of a strong competition for resources from wheat in early lentil growth stages reducing the number of branches per plant of lentil. This led to lower gross margins of intercrops. However, lentil lodging was strongly reduced in intercrops thus its mechanical harvest efficiency increased. This led to similar mechanically harvested yields of lentil in intercrop and sole crop. Consequently, after mechanical harvest and grain cleaning, the marketable gross margin of intercrops was higher than that of sole crops. Our results suggest that (1) intercrop had no effect on bruchids, (2) the most effective intercrop is when lentil is at sole crop density and wheat at 15-20%, (3) intercrop performance is due to complementary use of N pools through legume N2 fixation and (4) the intensity of interspecific interactions depends on year, wheat density and genotypes. Our work indicates that lentil-spring wheat intercrop can develop organic lentil production but a better understanding of Genotype x Environment x Cropping system interactions may be useful to design optimized managements.