Este trabalho insere-se no contexto de métodos de multiplicadores para a resolução de problemas de programação convexa semidefinida e a análise de suas propriedades através do método proximal aplicado sobre o problema dual. Nosso foco será uma subclasse de problemas de programação convexa semidefinida com restrições afins, para a qual estudaremos relações de dualidade e condições para a existência de soluções dos problemas primal e dual. Em seguida, analisaremos dois métodos de multiplicadores para resolver essa classe de problemas e que são extensões de métodos conhecidos para programação não-linear. O primeiro, proposto por Doljansky e Teboulle, aborda um método de ponto proximal interior entrópico e sua conexão com um método de multiplicadores exponenciais. O segundo, apresentado por Mosheyev e Zibulevsky, estende para a classe de problemas de nosso interesse um método de lagrangianos aumentados suaves proposto por Ben-Tal e Zibulevsky. Por fim, apresentamos os resultados de testes numéricos feitos com o algoritmo proposto por Mosheyev e Zibulevsky, analisando diferentes escolhas de parâmetros, o aproveitamento do padrão de esparsidade das matrizes do problema e critérios para a resolução aproximada dos subproblemas irrestritos que devem ser resolvidos a cada iteração desse algoritmo de lagrangianos aumentados. / This work deals with multiplier methods to solve semidefinite convex programming problems and the analysis of their proprieties based on the proximal point method applied on the dual problem. We focus on a subclass of semidefinite programming problems with affine constraints, for which we study duality relations an conditions for the existence of solutions of the primal and dual problems. Afterwards, we analyze two multiplier methods to solve this class of problems which are extensions of known methods in nonlinear programming. The first one, introduced by Doljansky e Teboulle, approaches an entropic interior proximal algorithm and their relationship with an exponential multiplier method. The second one, presented by Mosheyev e Zibulevsky, extends a smooth augmented Lagrangian method proposed by Ben-Tal and Zibulevsky for the problems of our interest. Finally, we present the results of numerical experiments for the algorithm proposed by Mosheyev e Zibulevsky, analyzing some choices of parameters, the sparsity patterns of matrices of the problem and criteria to accept approximate solutions of the unconstrained subproblems that must be solved at each iteration of the augmented Lagrangian method.

Muitos problemas de otimização envolvem tanto variáveis inteiras quanto contínuas e podem ser modelados como problemas de programação não-linear inteira mista. Problemas dessa natureza aparecem com freqüência em engenharia química e incluem, por exemplo, síntese de processos, projeto de colunas de destilação, síntese de rede de trocadores de calor e produção de óleo e gás. Neste trabalho, apresentamos algoritmos baseados em Lagrangianos Aumentados e branch and bound para resolver problemas de programação não-linear inteira mista. Duas abordagens são consideradas. Na primeira delas, um algoritmo do tipo Lagrangianos Aumentados é usado como método para resolver os problemas de programação não-linear que aparecem em cada um dos nós do método branch and bound. Na segunda abordagem, usamos o branch and bound para resolver os problemas de minimização em caixas com variáveis inteiras que aparecem como subproblemas do método de Lagrangianos Aumentados. Ambos os algoritmos garantem encontrar a solução ótima de problemas convexos e oferecem recursos apropriados para serem usados na resolução de problemas não convexos, apesar de não haver garantia de otimalidade nesse caso. Apresentamos um problema de empacotamento de retângulos em regiões convexas arbitrárias e propomos modelos para esse problema que resultam em programas não-lineares com variáveis inteiras e contínuas. Realizamos alguns experimentos numéricos e comparamos os resultados obtidos pelo método descrito neste trabalho com os resultados alcançados por outros métodos. Também realizamos experimentos com problemas de programação não-linear inteira mista encontrados na literatura e comparamos o desempenho do nosso método ao de outro disponível publicamente. / Many optimization problems contain both integer and continuous variables and can be modeled as mixed-integer nonlinear programming problems. Problems of this nature appear frequently in chemical engineering and include, for instance, process synthesis, design of distillation columns, heat exchanger network synthesis and oil and gas production. In this work, we present algorithms based on Augmented Lagrangians and branch and bound for solving mixed-integer nonlinear programming problems. Two approaches are considered. In the first one, an Augmented Lagrangian algorithm is used for solving nonlinear programming problems that appear at each node in the branch and bound method. In the second approach, we use a branch and bound method for solving box-constrained problems with integer variables that appear as subproblems of the Augmented Lagrangian algorithm. Both algorithms guarantee to find an optimal solution for convex problems and have appropriate strategies to deal with non-convex problems, although there is no guarantee of optimality in this case. We present a problem of packing rectangles within an arbitrary convex region and propose models for this problem that result in nonlinear programs with integer and continuous variables. We have performed some numerical experiments and compared the results reached by the method described in this work and the results obtained by other methods. We have also performed experiments with mixed-integer nonlinear programming problems found in the literature and compared the performance of our method to that of other method publicly available.

Este trabajo presenta dos líneas de investigación desarrolladas en los últimos años en torno a la etapa de evaluación en datos de recuento. Los campos de estudio han sido: los datos de recuento, concretamente el estudio del modelo de regresión de Poisson y sus extensiones y la etapa de evaluación como punto de inflexión en el proceso de modelado estadístico. Los resultados obtenidos ponen de manifiesto la importancia de aplicar el modelo adecuado a las características de los datos así como de evaluar el ajuste del mismo. Por otra parte la comparación de pruebas, índices, estimadores y modelos intentan señalar la adecuación o la preferencia de unos sobre otros en determinadas circunstancias y en función de los objetivos del investigador. / This paper presents two lines of research that have been developed in recent years on the evaluation stage in count data. The areas of study have been both count data, specifically the study of Poisson regression modelling and its extension, and the evaluation stage as a point of reflection in the statistical modelling process. The results obtained demonstrate the importance of applying appropriate models to the characteristics of data as well as evaluating their fit. On the other hand, comparisons of trials, indices, estimators and models attempt to indicate the suitability or preference for one over the others in certain circumstances and according to research objectives.